精品解析：天津市南开区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

天津市南开区2022-2023学年高一上学期期末考试数 学

总分数 150分   时长:120分钟

一、单项选择题 （共8题，总计40分）

1. 设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩UB=（    ）

A {x|0≤x＜1} B. {x|0＜x≤1} C. {x|x＜0} D. {x|x＞1}

【答案】B

【解析】

【分析】利用补集的意义求出，再由交集的意义求解即得.

【详解】因全集U=R，且B={x|x＞1}，则，

又A={x|x＞0}，于是有A∩UB＝{x|0＜x≤1}.

故选：B

2. 设全集U=R，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化简集合A，B，再根据ven图求解.

【详解】解：全集U=R，集合 ，，

由ven图知：图中表示集合为，

故选：D

3. 下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；    ②与；

③与；    ④与

A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④

【答案】C

【解析】

【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.

【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；

②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；

③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；

④与是同一函数；

所以是同一函数的是③④.

故选：C.

4. 已知函数，则

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：.故选D.

考点：分段函数求值.

5. 已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（　　）

A. （0，1）

B. （1，2）

C. （2，3）

D. （3，+）

【答案】D

【解析】

【分析】利用零点存在定理求解.

【详解】解：因为函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）单调，

所以函数在区间（0，1）上至多有一个零点，

因为f（x0）=0，且x0∈（0，1），

所以，

解得，

所以实数a的取值范围是（3，+），

故选：D

6. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．

考点：函数模型的应用．

7. 某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是

A. y=100x B. y=50x2–50x+100

C. y=50×2x D. y=100log2x+100

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设的选项给定的函数，逐一进行验证，即可得到能较好反映销售量和投放市场月数之间的关系，得到答案.

【详解】对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C．

【点睛】本题主要考查了函数的解析式应用问题，其中熟记指数函数、二次函数及对数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

8. 定义运算为： 如，则函数的值域为（    ）

A. R B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】根据题意将函数解析式写出即可得到答案．

【详解】根据题意知表示取和中较小者，即，∴在区间上是增函数，

在区间上是减函数，∴．

故选：B．

二、多项选择题 （共4题，总计20分）

9. 已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（　　）

A. （-，2] B. （-，2）

C. [2，+） D. （2，+）

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数f（x）的定义域，得到函数f（x）在上的单调性，进而求得其值域求解.

【详解】解：因为函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，

所以函数f（x）=m+log2x2，且函数f（x）在上递增，

所以函数f（x）的值域为，

因为f（x）≤4，

所以，解得，

故选：A

10. 已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[-1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（　　）

A. 增函数 B. 减函数

C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

【答案】A

【解析】

【分析】先由f（x+1）=，得到是以2为周期的周期函数，再利用偶函数在对称区间上的单调性求解.

【详解】解：因为函数f（x）满足f（x+1）=，

所以，

所以是以2为周期的周期函数，

又因为是定义域为R的偶函数，且在[-1，0]上是减函数，

所以在[0，1]上是增函数，

那么f（x）在[2，3]上是增函数，

故选：A

11. 已知函数 在上对任意的都有成立，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意知函数是R上的单调递增函数，利用增函数的性质建立不等式，求出a的取值范围即可．

【详解】因为在R上对任意的都有成立，可以知道函数是R上单调递增函数，

则函数满足，解得.

故选为B.

【点睛】本题考查了函数的单调性，及指数函数与一次函数的性质，属于中档题．

12. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由题可得存在满足

,

令,

因为函数和在定义域内都是单调递增的,

所以函数在定义域内是单调递增的,

又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),

所以,

故选：B.

考点：指对数函数 方程 单调性

二、填空题 （共4题，总计20分）

13. 已知，则x的值为__________．

【答案】0或2

【解析】

【分析】根据，由，，， 并利用集合的特性判断求解.

【详解】因为，

所以当时，集合为 不成立；

当 时，集合为 ，成立；

当 时，解得 （舍去）或，

若，则集合为，成立.

所以x的值为0或2

故答案为：0或2

14. 函数f（x）=log2（2-x2）的单调减区间是________.

【答案】（0，）

【解析】

【分析】利用复合函数的单调性求解.

【详解】解：令，

解得，

又t在上递减，在上递增，

所以函数f（x）=log2（2-x2）的单调减区间是（0，），

故答案为：（0，）

15. 函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出点P的坐标，再代入幂函数的解析式求得，即可得（9）．

【详解】令，

所以，

即；

设，则，；

所以，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及幂函数的性质，属于容易题．主要方法是待定系数法．

16. 有下列四个命题：①函数f（x）=为偶函数；②函数y=的值域为|y|y≥0|；③已知集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为；④函数y=ax（a>0，且a≠1）与函数y=logaax（a>0，且a≠1）的定义域相同.其中正确命题的序号是________.

【答案】②④

【解析】

【分析】①由奇偶性的定义判断；②由函数的值域求解判断；③由A∪B=A，即AB求解判断；④根据指数函数的定义域和值域判断.

【详解】因为，所以 f（x）不偶函数，故错误；

由，得，则函数定义域为，所以函数y=值域为|y|y≥0|，故正确；

因为集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，且A∪B=A，即AB，

当a=0时，成立，当时，，则或，即或，所以实数a的取值集合为，故错误；

函数y=ax（a>0，且a≠1）的定义域为R，又函数y=ax（a>0，且a≠1）的值域为 ，则函数y=logaax（a>0，且a≠1）的定义域为R，故相同，故正确.

故答案为：②④

三、解答题 （共6题，总计70分）

17. 已知集合，集合，集合.

（1）求，；

（2）若，求m的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据反比例函数的图像，可得，利用交集和并集的定义，可得答案；

（2）根据二次函数的性质与集合的包含关系，可得，即可得答案.

【小问1详解】

根据题意，可得，

，.

【小问2详解】

令，由题意可得

解得.

18. 已知函数.

（1）求该函数的定义域；

（2）求该函数的单调区间及值域.

【答案】（1）   

（2）单调递增区间为；单调递减区间为；值域为

【解析】

【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；

（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.

【小问1详解】

由得：，的定义域为.

【小问2详解】

令，在上单调递增；在上单调递减；

又在上单调递减，

的单调递增区间为；单调递减区间为，

，，

的值域为.

19. 已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数在时的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的定义列出方程，即可求得.

（2）将函数分离常数，即可求得其值域.

小问1详解】

是奇函数，则，

即，

化简可得

所以，解得或.

又，所以，即，

所以.

【小问2详解】

，且

，可得的值域为.

20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

【答案】（1）

（2）3333辆/小时

【解析】

【详解】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b

再由已知得，解得

故函数v（x）的表达式为

（2）依题并由（1）可得

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200

当20≤x≤200时，

当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．

所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．

综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

答：（1）函数v（x）的表达式

（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

21. 已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.

（1）求f（0）；

（2）证明：函数y=f（x）是奇函数；

（3）证明：函数y=f（x）是R上的减函数.

【答案】（1）f（0）=0   

（2）证明见解析    （3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用赋值法求解；

（2）利用函数奇偶性定义证明；

（3）利用函数单调性定义证明.

【小问1详解】

解：因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），

所以令a=b=0，得f（0）=0.

【小问2详解】

由f（a+b）=f（a）+f（b），

得f（x-x）=f（x）+f（-x）.

即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，

∴f（-x）=-f（x），

即函数y=f（x）是奇函数.

【小问3详解】

设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0

而f（a+b）=f（a）+f（b），

∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）<f（x2），

∴函数y=f（x）是R上的减函数.

22. 已知，函数

（1）求f（1）的值；

（2）求函数f（x）的零点.

【答案】（1）0    （2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用分段函数求解；

（2）利用零点的定义求解.

【小问1详解】

当时，，所以（1）

【小问2详解】

（ⅰ）当时，令，即，解得．所以1是函数的一个零点．

所以1是函数f（x）的一个零点.

（ⅱ）当时，令，即．

当时，由得，

所以是函数的一个零点；

当时，方程无解；

当时，由得（不合题意，舍去）．

综上所述，当时，函数的零点是1和；当时，函数的零点是1.