宁夏中卫中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（含答案详解）

这是一份宁夏中卫中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（含答案详解），共13页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

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第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分．）
1. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为第二或第四象限角；
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为第一、第四及 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴上的角．
∴取交集可得， SKIPIF 1 < 0 是第四象限角．
故选：D．
2. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】运用代入法进行求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3. SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】运用诱导公式，结合特殊角的正切值进行求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
4. 命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】将特称命题的否定为全称命题即可
【详解】命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定为
“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”．
故选：C
5. 已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.
【详解】因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A，B，C错误.
故选：D.
6. 函数 SKIPIF 1 < 0 零点所在的区间是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由函数可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的区间.
【详解】∵函数 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据函数的零点的判定定理可得，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
7. SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得函数周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的周期为1，
因为 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
8. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由不等式的可加性得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确.
故选：D.
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分．）
9. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值可以是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】AB
【解析】
【分析】根据并集的结果可得 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 的取值；
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：AB
10. 下列函数中最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，且为偶函数的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
【详解】解：对于A，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数为偶函数，因为 SKIPIF 1 < 0 的图像是由 SKIPIF 1 < 0 的图像在 SKIPIF 1 < 0 轴下方的关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称后与 SKIPIF 1 < 0 轴上方的图像共同组成，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误，
故选：AC
11. 对于函数 SKIPIF 1 < 0 下列结论正确的是（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是2
C. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
D. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
【答案】BC
【解析】
【分析】由正弦函数的性质对四个选项一一验证.
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 .
对于A：函数的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 .故A错误；
对于B：函数的最大值为2.故B正确；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .故C正确；
对于D：要求 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以对称中心为 SKIPIF 1 < 0 .故D错误.
故选：BC
12. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系成立的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C不正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：判断底数与1的大小关系，结合指数函数和对数函数的单调性是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．
【详解】解：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14. SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用三角变换直接求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1
15. 设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】25
【解析】
【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
详解：由均值不等式的结论有： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
据此可知： SKIPIF 1 < 0 的最大值为25.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16. 已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是___________.
【答案】(0，1)
【解析】
分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，
由图可知k∈(0，1).
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ）
17 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求：
（1） SKIPIF 1 < 0 的值；
（2） SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数平方关系及 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行计算.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期和值域；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减区间．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式和值域即可求解；
（2）根据正弦函数的单调区间即可求解.
【小问1详解】
由正弦函数的最小正周期公式和值域可知：函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由正弦函数的单调区间可知：令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图像过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 解析式；
（2）求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据函数的图像过点 SKIPIF 1 < 0 ，列出方程组，解之即可求解；
(2)结合（1）的结论，利用指数函数的单调性解指数式不等式即可求解.
【小问1详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图像过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知 SKIPIF 1 < 0 ．求：
（1） SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求角 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）直接根据二倍角的正切公式即可得解；
（2）利用两角和的正切公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，结合范围即可得结果.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值及其相应 SKIPIF 1 < 0 的取值集合；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】（1）最大值为1，相应的 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 的最大值，利用整体法求出相应的 SKIPIF 1 < 0 的取值集合；
（2）在第一问的基础上， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，结合函数的单调性求出值域.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值为1，
相应的 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值1，
其中 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）写出函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域并判断其奇偶性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 为偶函数
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）先列不等式组求得函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域再利用定义判断其奇偶性即可；（2）先将 SKIPIF 1 < 0 转化为对数不等式，再列不等式组即可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
可得函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数
【小问2详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
五、附加题（本题共15分）
23. 对于函数 SKIPIF 1 < 0 ， 若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的 “不动点”;若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“稳定点”.记函数 SKIPIF 1 < 0 的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（1）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，求A和B；
（2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析；
（3） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 求解，即可得结果；
（2）问题化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有交点，根据交点横纵坐标的关系知 SKIPIF 1 < 0 ，即可证 SKIPIF 1 < 0 .
（3）问题化为 SKIPIF 1 < 0 有实根、 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 无实根，或与 SKIPIF 1 < 0 有相同的实根，求参数a范围.
【小问1详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，证明如下：
由题意，不动点为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点横坐标，稳定点为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点横坐标，
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有交点，则横纵坐标相等，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，则：
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 有实根，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题设；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 有实根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 无实根，或有与 SKIPIF 1 < 0 相同的实根，
当 SKIPIF 1 < 0 无实根，有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 有实根，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为 SKIPIF 1 < 0 有实根、 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 无实根或与 SKIPIF 1 < 0 的实根相同.