四川省成都外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省成都外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了本试卷分为第I卷两部分，考试结束后，将答题卡交回，设函数且，若，则，已知，则的大小关系为，已知实数，则下列说法正确的有，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷选择题部分，共60分
一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
4.设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5.设函数且，若，则（ ）
A.3 B.±3 C. D.
6.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是的概率为.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）
（参考数据：）
A.2.9 B.3.2 C.3.8 D.3.9
8.已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知实数，则下列说法正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.下列说法正确的有（ ）
A.命题“”的否定为“”
B.若，则
C.若幂函数在区间上是减函数，则或-1
D.方程有一个正实根，一个负实根，则.
11.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A.
B.若，则
C.若，则
D.，使得
12.直线与函数的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷非选择题部分，共90分
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数且，则函数恒过定点__________.
14.函数的递减区间为__________.
15.如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是__________.
16.定义在上的函数满足，且当时，，对，使得，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本小题12分）计算求值.
（1）
（2）已知，求
19.（本小题12分）已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集.
20.（本小题12分）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积与时间（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中均为常数.
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒.
21.（本小题12分）函数的定义域为且对一切，都有，当时，有.
（1）求的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若，解不等式.
22.（本小题12分）已知函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数的值；
（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围.
成都外国语学校2023-2024学年度上期12月月考
高一数学试卷（答案）
一､单选题：
1-4DABC 5-8AACA
二､多选题：
9.ABC 10.AD 11.BD 12.BCD
12.【详解】函数的图象如下图所示：
当时，，此时或；
当时，此时函数单调递减，
当时，此时函数单调递增，
此时或或，
直线与函数有四个不同的点，必有，
此时，其中，
且，
因此有，显然，
因此，所以选项A不正确，选项B､C正确；
因为，
结合图象知：，因此选项正确，
三､填空题：
13. 14. 15. 16.
16.【详解】当时，，
由于为对称轴为开口向下的二次函数，在上单调递增，
可得在上单调递减，在上单调递增，，
在上的值域为，在上的值域为，
在上的值域为，
，
故当，
在上的值域为，
当时，为增函数，在上的值域为，
，解得，故的范围是；
当时，为单调递减函数，在上的值域为，
，解得故的范围是，
综上可知故的范围是，
四､解答题：
17.（1）解：由得或.
所以.当时，.
所以.
（2）由题意知.又，
因为，所以.所以.
所以实数的取值范围是.
18.（1）解：原式.
（2）解：.
.
又.
.
19.解：（1）要使函数有意义，
则，解得，
故所求函数的定义域为；
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则，
且，故为奇函数；
（3）因为，所以，即，
可得，解得，又，所以，
所以不等式的解集是.
20.解：（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，
二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，
根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即
由题意可得：，
解得：，
所以该模型的解析式为：，
（2）由（1）知：，由题意知：，
也即则有
即，故，所以至少需要4秒.
21.解：（1）令，则由得：
（2）令，则
，即在上是增函数
（3）且
由得：
由（2）知：为定义在上的增函数
，解得：不等式的解集为
22.解：（1）函数的图像过点，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，
令，得，
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，
所以，解得，
因为，所以的取值为2或3.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
所以，只需，
即，
设在上单调递增，
又，故，即，所以，