四川省成都外国语学校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案）

成都外国语学校高2022级高二上期9月月考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．2 B． C． D．4

2．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．3 D．4

3．在中，若，则C等于（    ）

A．45° B．60°或120° C．135° D．45°或135°

4．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分．已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．该次课外知识测试及格率为90%

B．该次课外知识测试得满分的同学有30名

C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D．若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名

5．已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

6．将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

7．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面为（    ）

A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形

8．为所在平面内一点，且，则动点的轨迹必通过的（    ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知圆锥顶点为S，底面圆心为为底面的直径，与底面所成的角为，则（    ）

A．  B．该圆锥的母线长为6

C．该圆锥的体积为 D．该圆锥的侧面积为

10．已知的角所对的边分别为且，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．

C．为等腰非等边三角形 D．为等边三角形

11．如图，在四边形中，，E为的中点，与相交于，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．在上的投影向量为

C． D．若，则

12．在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．若，则平面

C．若，则与平面所成角为

D．若平面，则与所成角的正弦最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13．用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人．则该校高中学生总数是________人．

14．在中，是边上一点，且，P是上的一点，若，则实数的值为_________．

15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为_________．

16．已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为_________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．四棱锥的底面为正方形，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若平面，证明：．

18．设为平面内的四点，且．

（1）若，求点的坐标；

（2）设向量，若向量与平行，求实数的值．

19．为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间分成8组，得到如下的频率分布直方图：

（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）．

20．已知函数的图象如图所示

（1）求函数的解析式及单调递增区间；

（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．

21．在中，角所对的边分别是，且．

（1）求角的大小；

（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围．

22．如图，是平面四边形，为正三角形，．将沿翻折，过点作平面的垂线，垂足为．

（1）若点在线段上，求的长；

（2）若点在内部，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

成都外国语学校高2022级高二上期9月月考

数学参考答案

一、单项选择题：

1、A  2、A  3、D  4、C  5、B  6、D  7、A  8、C

二、多项选择题：

9、AB  10、BD  11、ABC  12、ACD

三、填空题：

13、1800  14、  15、  16．

四、解答题

17．【详解】（1）设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面．

（2）因为底面是正方形，所以，

又因为平面平面，所以，

又平面，所以平面，

因为平面，所以．

18．【详解】（1）设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以．

（2）因为，

所以，

因为向量与平行，因此，解得，

所以实数的值为．

19．【详解】（1）由直方图可得，样本落在

的频率分别为

，由，解得，

则样本落在的频率分别为，所以月用电量的平均值为

（2）为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；

的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数．

因为，

则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，

于是．

又，所以对应的用电量为350．

所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是．

20．【详解】（1）由图可知：，所以，所以由图易得，

则，又，则，则

所以，所以．

令，解得，

所以的单调递增区间为．

（2）由题．当时，．

因为对任意的恒成立，

则，即所以．

21．由正弦定理得，

可化为：，

即

又由于，

所以

可得

即，

由于，所以，

化简为，因为，则，

所以，所以．

【小问2详解】

由正弦定理知，所以，

那么

，

又由，解得，

所以，即，

故的面积的取值范围为．

22．【详解】平面平面，

，

在中，，

在中，，

，

由于为等腰直角三角形，为中点，

（2）方法一：当点在内部，知平面平面，则，设是的中点，连接，

为正三角形，，

平面平面，

平面为二面角的平面角．

设点到平面的距离为，则，

过点作，连接，由平面在的中垂线上，

设，则，由等体积法得：，

，即，

，解得，所以．

方法二：

当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上．

为二面角的平面角．

由于平面，

过点作交于，连接，

，

又因为平面，

平面平面平面，

过点作，交于点，

又平面平面平面．

设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，

，解得，

在中，可设

由于，解得．

在中，，

所以．