辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分150分，考试时间120分钟）
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2. 沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左视图是从几何体的左面看到的图形，画出这个几何体的左视图即可求解．
【详解】解：该几何体的左视图为
，
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的定义，会画简单几何体的三视图是解答的关键，注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
3. 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形．
【详解】解：连接、，

四边形是矩形，
，
、分别是、的中点，
，，
同理，，，，，
，
四边形为菱形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
4. 如图，正方形的边长为2，将正方形绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】点B绕原点O逆时针旋转后落在x轴负半轴上，根据的长度即可确定点的坐标．
【详解】解：连接，如图，

∵正方形的边长为2，
∴，，，
由勾股定理得：；
∵，
∴点B绕原点O逆时针旋转后落在x轴负半轴上，
∴，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是关键．
5. 对于实数a，b定义运算“*”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义的运算可得关于x的一元二次方程，再用判别式法进行判别即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
∵
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算，一元二次方程根的判别式，理解新定义是关键．
6. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）
A. 23B. 23或33C. 24D. 24或30
【答案】B
【解析】
【分析】先求方程的解 ，再根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
∴7，11，5能组成三角形，
∵，
∴7，11，15能组成三角形，
∴该三角形的周长是或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
7. 如图，正比例函数（为常数，且）和反比例函数（为常数，且）的图像相交于和两点，则不等式的解集为（ ）

A. 或B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得，然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．
【详解】解：正比例函数（为常数，且）和反比例函数（为常数，且）的图像相交于和两点，
，
的解集为或，
故选：．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
8. 某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，设该公司这两年缴税的年均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据两次增长，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，在矩形中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交，于点，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接，由题意知，，，是线段的垂直平分线，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解方程，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接，

由题意知，，，是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）

A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】先根据定理证出，从而可得，即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论③；过点D作，则的长度为的最小值，根据三角形的面积即可判断结论④．
【详解】解：四边形是正方形，，
，
在和中，
，
，
，结论①正确；
平分，，
，
，
，
，
，
，
，结论②不正确；
，
，
，
，
即，结论③正确；
如图，过点D作，则的长度为的最小值，

∵，
即，
解得，即的最小值为，,
结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①③④，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键．
第二部分 非选择题（120分）
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
11. 已知，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：设，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12. 某市在进行城市绿化工程，环卫部门要考察某种绿植在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种绿植进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
估计这种绿植移植成活的概率是________（结果保留小数点后一位）．
【答案】0.9
【解析】
【分析】根据移植总数的增加，成活频率稳定在0.9，所以把此频率作为这种绿植移植成活的概率．
【详解】解：这种绿植移植成活的概率为0.9；
故答案：0.9
【点睛】本题考查了用频率估计概率，在大量重复试验下，频率在某个固定值附近摆动，把这个固定值作为概率．理解这点是解题的关键．
13. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵sinA=，
∴设BC=4x，AB=5x，
由勾股定理得：AC=3x，
∴tanB=．
故答案是．
考点：互余两角三角函数的关系．
14. 一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是_________号窗口．
【答案】3
【解析】
【分析】根据给出的两个物高与影长即可确定光源的位置；
【详解】如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口，
故答案是3．
【点睛】本题主要考查了中心投影，准确分析判断是解题的关键．
15. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义可得，结合根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
∵该方程有实数根，
∴，
解得：，
综上：m的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根据判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
16. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，以原点O为位似中心，相似比为2，把扩大，得到，则点A的对应点坐标为________．
【答案】或
【解析】
【分析】分与两种情况计算坐标即可．
【详解】解：当时，的坐标为，即；
当时，的坐标为，即；
【点睛】本题考查了图形的位似，把一个图形扩大，分k为正与负两种情况考虑．
17. 如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】解：∵点E为的中点，
∴的面积的面积，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
则，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18. 如图，矩形的对角线和交于点O，，，在的延长线上有一动点E，连接，将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为_____．

【答案】2
【解析】
【分析】过点F作于点G，证明，得出，，则点F在射线上，当时，取最小值，过点O作于点H，根据勾股定理可得和矩形的性质求出，即可求解．
【详解】解：过点F作于点G，

∵绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点E在的延长线上，
∴点F在射线上，
当时，取最小值，
过点O作于点H，
根据勾股定理可得：，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等是判定，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，正确画出辅助线，构造全等三角形，推出点F的运动轨迹．
三、解答题（共96分）
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面同分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后计算出x的值并代入计算即可．
【详解】解：原式
，
，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，特殊角度锐角三角函数的计算，熟练掌握平方差公式和分式的混合运算法则以及熟记各个特殊角度锐角三角函数值是解题的关键．
20. 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
学生假期阅读量条形统计图 学生假期阅读量扇形统计图

（1）本次调查的学生共有_____人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是______．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）50，；
（2）图见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）用C类别的人数除以其所占的百分比可求得本次调查总人数，用乘以B类别人数所占比例可求解；
（2）由调查总人数减去已知组类别的人数求出A类别的人数，进而补全条形统计图即可；
（3）利用列表法求得所有等可能的结果总数，再找出符合条件的结果，进而利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本题调查的学生人数为（人），
B所对应的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：50，；
【小问2详解】
解：A类别人数：（人），补全条形统计图如图所示；
【小问3详解】
解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为.
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用列表法或树状图法求概率，理解题意，能从统计图中获取所需信息是解答的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
【答案】（1），．
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解．
【小问1详解】
解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得，，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得
，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的表达式为：
【小问2详解】
由（1）得，一次函数的解析式为，
令，则；
令，则，，
，
，，
，
，
设点
，解得，
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
22. 北京时间年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及名航天员同时在轨驻留．为弘扬航天精神，某初中在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即），小明同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若小明的身高（即，）为（即四边形为矩形），请你帮助小明计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到参考数据：，，）

【答案】米．
【解析】
【分析】设与相交于点，根据题意可得：米，米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设与相交于点，由题意得：米，米，，
设米，则米，
在中，，，
米，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
（米），
答：条幅底端到地面的距离的长度约为米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. 今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条元，当销售单价定为元时，每天可售出条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低元，则每天可多售出条．若设这批节日彩灯的销售单价为(元)，每天的销售量为(条)．
（1）求每天的销售量(条)与销售单价(元)之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为元？
【答案】（1）；
（2）元．
【解析】
【分析】（1）根据题意的数量关系，求出函数关系式即可；
（2）转化为解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
根据题意，得销售量与销售单价之间为一次函数关系，
当时，；当时，；
设销售量与销售单价之间的函数关系为，
则：，解得：，
∴销售量与销售单价之间函数关系为，
【小问2详解】
根据题意，得，
整理，得：，
解得：，，
∵采取适当的降价措施，
∴，
∴当销售单价为元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准数量关系，列出函数关系式．
24. 如图，矩形的对角线与相交于点，将沿直线折叠，点的对应点记为点，边交于点，连接，．

（1）求证：；
（2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；
（2）四边形是菱形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质及折叠的性质可知，最后利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据直角三角形的性质及矩形的性质可知，，再根据折叠的性质可知，最后利用菱形的判定解答即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠的性质，得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
由折叠的性质，得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，掌握矩形的性质及折叠的性质是解题的关键.
25. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．

（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段EF的长．
【答案】【小问1】，；
【小问2】，理由见解析；
【小问3】线段EF的长为或．
【解析】
【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论；
（2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可；
（3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1），；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
则，即；
（2）；
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
（3）过点C作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
若点E在线段上，

∵，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
若点E在的延长线上时，

同理，，
∴，
同理，，
综上，线段EF的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
26. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D．

（1）求出点A，B的坐标；
（2）若，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是直线上一点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的点Q的标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）存在，或或或．
【解析】
【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可得到点A，B的坐标；
（2）分别过点B，C作轴于点M，轴于点N，证得，得到 ，由 及求出，利用点C在图象上，求出点C的坐标，由此求出，得到；
（3）分三种情况：①当为菱形的边，为边时，②当为菱形的边，为边时，③当为对角线时，，利用勾股定理及菱形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
整理，得
解得，，
，；
【小问2详解】
分别过点B，C作轴于点M，轴于点N，则，
又，
，
，
由（1）得，，
，，
又，
，，
点C在图象上，
当时，，
，
∴，
，
，
，
；
【小问3详解】
设，
①当为菱形的边，为边时，
∵，，
∴，
解得或，
∴或，
由平移得或；
②当为菱形的边，为边时，
∵，
∴
解得或（舍去），
∴，
∴；
③当为对角线时，，
∴
∴
解得，
∴，
∴
点Q的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合知识是解题的关键．
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.800
0.870
0.923
0.883
0890
0915
0.905
0.897
0.902
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）