2024自治区拉萨高三上学期第一次模拟考试数学（文）含解析

这是一份2024自治区拉萨高三上学期第一次模拟考试数学（文）含解析，共21页。试卷主要包含了 的值为， 将函数， 函数的部分图象大致为， 已知抛物线等内容，欢迎下载使用。

数学文科
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第二象限D. 第四象限
3. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 的值为（ ）
A. 0B. C. D.
5. 将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知抛物线：焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. 4D. 5
8. 四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面相交的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 若一个圆锥轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A B.
C. D.
11. 已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
12. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（ ）

A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，向量，.若，则______.
14. 已知正数，满足，则的最小值为______.
15. 如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．
16. 函数是奇函数，则实数______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知等比数列的公比，且.
（1）求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，，求的前项利.
18. 如图，正方体的棱长为2.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
19. 果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.
（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差；
（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图.
（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；
（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）.
20. 设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.
21 已知函数.
（1）证明：，有；
（2）设（），讨论的单调性.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）证明：，，使得.
拉萨市2024届高三第一次模拟考试
数学文科
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案.
【详解】因为，，所以，
因为，所以.
故选：A
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第二象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】，则在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B．
3. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，进而求得焦点坐标.
【详解】因为，，所以，得，
所以焦点坐标为和.
故选：C
4. 的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求得正确答案.
【详解】.
故选：D
5. 将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换求得的解析式，然后根据为偶函数求得.
【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
因为为偶函数，且，所以，得.
故选：A
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据趋于正无穷时函数值大于0可得到答案.
【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B.
故选：A.
7. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.
【详解】设，由得，又，得，
所以，.
故选：B
8. 四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面相交的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】设各棱中点依次为，，，，，，如图所示，确定的直线有15条：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中在条与平面平行：，
3条在平面内：，
其余与平面相交，共有9条，
故所求概率.
故选：D
9. 若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出可行域，然后利用斜率的知识求得的最小值.
【详解】根据约束条件画出如图所示的可行区域，
再利用几何意义知表示点与点连线的斜率，
直线的斜率最小，由，得，
所以.
故选：C
10. 若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积.
【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，
所以圆锥的母线长，底面圆半径，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B
11. 已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由在区间上恒成立列不等式，分离参数，根据函数的单调性求得的取值范围.
【详解】依题意可得在区间上单调递减，则在区间上恒成立.
因为，所以在区间上恒成立，
而在区间上单调递减，
∴，的取值范围是.
故选：B
12. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得圆的直径，结合正弦定理，即可求得的长.
【详解】因为，所以为圆的直径，
根据题意，可得，
又因为在以为直径的圆上，即以为直径的圆为的外接圆，
由正弦定理，可得.
故选：A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，向量，.若，则______.
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】根据向量平行列方程，从而求得的值.
【详解】因为，所以，即.
故答案为：
14. 已知正数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】正数，满足，利用“1”的代换，将已知转化为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】正数，满足，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
15. 如果两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出半径之比，从而可求体积之比.
【详解】根据球的表面积公式，可求得两个球的半径之比为，
利用球的体积公式可得出两个球的体积比为
故答案为：.
16. 函数是奇函数，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】根据是奇函数，由求解.
【详解】因为是奇函数，
所以，
，
所以.
故答案为：-2
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知等比数列的公比，且.
（1）求通项公式；
（2）若为等差数列，且，，求的前项利.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得.
（2）求得的首项和公差，从而求得.
【小问1详解】
因为等比数列公比，
所以，，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，，
所以的公差，
所以，
所以.
18. 如图，正方体的棱长为2.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得结论成立.
（2）利用等体积法求得点到平面的距离.
【小问1详解】
由于，所以四边形是平行四边形，
所以，
平面，平面，∴平面.
小问2详解】
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
即，解得.
所以点到平面的距离为.
19. 果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.
（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差；
（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图.
（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；
（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）.
【答案】（1）5；3.6
（2）（ⅰ）120；（ⅱ）24.
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法求得正确答案.
（2）（ⅰ）根据频率分布直方图求得正确答案；（ⅱ）根据中位数的求法求得正确答案.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
（ⅰ）600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为:
.
（ⅱ）由，，可得，
所以，解得，
所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24.
20. 设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，可直接求出点，，从而确定基本量的值，进而求出椭圆的方程；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，直曲联立，解方程即可进行取舍；当斜率存在时，直曲联立，结合韦达定理和中点坐标公式列方程即可求.
【小问1详解】
由题意，直线与轴的交点为，与轴的交点为，
所以，，，
因此标准方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，：，
联立，解得或，
故，，不满足，即不是的中点，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线：，，.
联立可得，
即.
所以.
由于为的中点，所以，即，解得.
综上，直线的方程为，即.
21. 已知函数.
（1）证明：，有；
（2）设（），讨论的单调性.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求得的最小值，从而证得结论成立.
（2）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案.
【小问1详解】
因为，，所以，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
因为，令，得或，
若，则，时，，单调递减，
和时，，单调递增；
若，则，，在上单调递增；
若，则，时，，单调递减，
和时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过消参的方法求得直线的直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化公式求得曲线的普通方程.
（2）根据直线和圆相切时的几何性质来求得的最小值.
【小问1详解】
依题意，由，消去，得直线的直角坐标方程为；
因为，故，
即曲线的普通方程为.
【小问2详解】
由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆.
所以，要使得最小，只需最小，
又，
所以的最小值为.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）证明：，，使得.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过分类讨论去绝对值，从而求得不等式的解集.
（2）先利用绝对值三角不等式求得的最小值，然后利用基本不等式证得结论成立.
【小问1详解】
因为，所以.
当时，原式化为，解得，则；
当时，原式化为，解得；
当时，原式化为，解得，则，
综述，原不等式的解集为.
【小问2详解】
证明：依题意，，
当且仅当时取等号，
又，
当且仅当时取等号，
故，，使得.