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    2024届西藏自治区拉萨市高三上学期第一次模拟考试文科数学试题
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    2024届西藏自治区拉萨市高三上学期第一次模拟考试文科数学试题

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    这是一份2024届西藏自治区拉萨市高三上学期第一次模拟考试文科数学试题,共12页。试卷主要包含了的值为,将函数,函数的部分图象大致为,已知抛物线等内容,欢迎下载使用。

    数学文科
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知全集,,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知复数,则在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    3.双曲线的焦点坐标为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    4.的值为( )
    A.0B.C.D.
    5.将函数()的图象向左平移个单位长度,得到偶函数的图象,则( )
    A.B.C.D.
    6.函数的部分图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    7.已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上,且,为坐标原点,则( )
    A.B.C.4D.5
    8.四面体中,在各棱中点的连线中任取1条,则该条直线与平面相交的概率是( )
    A.B.C.D.
    9.若变量,满足约束条件则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    10.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为,底边上的高为1的等腰三角形,则该圆雉的侧面积为( )
    A.B.C.D.
    11.已知函数,当时,恒有,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    12.“不以规矩,不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺,用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板,首先用矩测量其直径,如左图,矩的较长边为,较短边为,然后将这个圆形木板截出一块四边形木板,该四边形的顶点都在圆周上,如右图,若,,则( )
    A.B.C.D.
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.已知,向量,.若,则______.
    14.已知正数,满足,则的最小值为______.
    15.如果两个球的表面积之比为4:9,那么两个球的体积之比为______.
    16.函数是奇函数,则实数______.
    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
    (一)必考题:共60分.
    17.(12分)已知等比数列的公比,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)若为等差数列,且,,求的前项利.
    18.(12分)如图,正方体的棱长为2.
    (1)证明:平面;
    (2)求点到平面的距离.
    19.(12分)果切是一种新型水果售卖方式,商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后,包装组合销售,在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下,果切更能满足消费者的即食需求.
    (1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为:1,7,4,7,4,6,6,3,7,5,求这10个数据的平均数与方差;
    (2)统计600名中国果切消费者的年龄,他们的年龄均在5岁到55岁之间,按照,,,,分组,得到如下频率分布直方图.
    (ⅰ)估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数;
    (ⅱ)估计这600名中国果切消费者年龄的中位数(结果保留整数).
    20.(12分)设椭圆:()的上顶点为,左焦点为.且,在直线上.
    (1)求的标准方程;
    (2)若直线与交于,两点,且点为中点,求直线的方程.
    21.(12分)已知函数.
    (1)证明:,有;
    (2)设(),讨论的单调性.
    (二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
    22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
    在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
    (1)求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程;
    (2)过直线上一点作曲线的切线,切点为,求的最小值.
    23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】
    已知函数.
    (1)求不等式的解集;
    (2)证明:,,使得.
    拉萨市2024届高三第一次模拟考试
    数学文科参考答案及评分细则
    1.【答案】A
    【解析】因为,,所以,因为,所以,故选A.
    2.【答案】B
    【解析】,则在复平頁内对应的点为,位于第二象限,故选B.
    3.[答案]C
    【解析】因为,,所以,得,所以焦点坐标为和,故选C.
    4.【答案】D
    【解析】,故选D.
    5.【答案】A
    【解析】将的图象向左平移个单位长度,得到的图象,
    因为为偶函数,且,所以,得,故选A.
    6.【答案】A
    【解析】因为,又函数的定义域为,故为奇函数,排除CD;
    根据指数函数的性质,在上单调递增,当时,,故,则,排除B,故选A.
    7.【答案】B
    【解析】设,由得,又,得,所以,,故选B.
    8.【答案】D
    【解析】设各棱中点依次为,,,,,确定的直线有15条:,,,,,,,,,,,,,,,其中在3条与平面平行,3条在平面内,所以与平面相交的有9条,故所求概率.故选D.
    9.【答案】C
    【解析】根据约束条件画出如图所示的可行区域,再利用几何意义知表示点与点连线的斜率,易知直线的斜率最小,由得,所以,故选C.
    10.【答案】B
    【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,腰长为,底边长为2,所以圆锥的母线长,底面圆半径,所以该圆锥的侧面积为,故选B.
    11.【答案】B
    【解析】依题意可得在区间上单调递减,则在区间上恒成立.
    因为,所以在区间上恒成立,而在区间上单调递减,
    ∴,的取值范围是,故选B.
    12.【答案】A
    【解析】因为,所以为圆的直径,由题意得,因为在以为直径的圆上,所以,故选A.
    13.【答案】
    【解析】因为,所以,即.
    14.【答案】2
    【解析】依题意,,
    当且仅当时取等号.
    15.【答案】8:27(填也可以)
    【解析】因为球的表面积公式为,体积公式为,所以由两个球的表面积之比为4:9可得它们的半径之比为2:3,所以它们的体积之比为8:27.
    16.【答案】-2
    【解析】因为是奇函数,所以,所以.
    17.解:(1)因为等比数列的公比,
    所以,,
    所以.
    (2)由(1)得,,(8分)
    所以的公差,(9分)
    所以,(10分)
    所以.
    【评分细则】
    如用其他解法,若正确,也给满分.
    18.(1)证明:∵,平面,平面,
    ∴平面.(4分)
    (2)解:设点到平面的距离为,
    因为
    所以
    .即,解得.
    所以点到平面的距离为.
    【评分细则】
    如果第一问使用其他方法证明且步骤无误,不扣分.
    19.解:(1),
    .
    (2)(ⅰ)600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为
    .
    (ⅱ)由,,可得,
    所以,解得,
    所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24.(12分)
    【评分细则】
    1.第(2)小题第(ⅱ)问,结果不保留整数,扣1分;
    2.如用其他解法,若正确,也给满分.
    20.解:(1)直线与轴交于点,与轴交于点,
    所以,,,
    因此的标准方程为.
    (2)当直线3的斜率不存在时,:,联立解得或
    故,,不满足,即不是的中点.不符合题意.
    当直线的斜率存在时,设直线:,,.
    联立可得,
    即.
    所以.
    由于为的中点,所以,即,解得.
    管上,直线的方程为,即.
    【评分细则】
    第(2)题中也可以通过其他方法得出斜率的值,步骤结果无误,可给满分.
    21.(1)证明:因为,,所以,
    当时,,单调递減,
    当时,,单调递增,
    所以.
    (2)解:因为,
    所以,
    因为,令,得或,
    若,则,时,,单调递减,和时,,单调递增;
    若,则,,在上单调递增;
    若,则,时,,单调递减,和时,,单调递增,
    综上所述,当时,在上单堿递减,在和上单调递增;当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在和上单调递增.
    【评分细则】
    如有其他解法若正确,也给满分.
    22.解:(1)依题意,由,消去,得直线的直角坐标方程为;
    因为,故,
    即曲线的普通方程为.
    (2)由(1)知,曲线表示以为圆心,1为半径的圆.
    所以,要使得最小,只需最小,
    又,
    所以的最小值为.
    【评分细则】
    如用其他解法,结果正确步聚无误给满分.
    23.(1)解:因为,所以.
    当时,原式化为,解得,则;
    当时,原式化为,解得;
    当时,原式化为,解得,则,
    综述,原不等式的解集为.
    (2)证明:依題意,,
    当且仅当时取等号,
    又,
    当且仅当时取等号,
    故,,使得.
    【评分细则】
    第(1)问写成集合形式和区间形式都给分,写成不等式形式扣1分.
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