辽宁省盘锦市2023-2024学年高二上学期期中联合考试数学模拟试题（含答案）

这是一份辽宁省盘锦市2023-2024学年高二上学期期中联合考试数学模拟试题（含答案），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一卷（80分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）
1．在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
2．过点且斜率为的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是正实数，则“”是“圆与圆有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知 ，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是
A．B．
C．D．
8．如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧交所形成的曲线长为（ ）

A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．(多选)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（ ）
A．2B．1C．0.5D．0.3
10．设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
12．在边长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．异面直线与MN所成的角为
B．二面角的正切值为
C．点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍
D．过A，M，N三点的平面截该正方体所得截面的周长是
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）
13．已知直线：与直线：垂直，则m的值为
14．方程化简后为 ．
15．已知直线经过，点，求点到的距离
16．如图，某正方体的顶点A在平面内，三条棱都在平面的同侧.若顶点B，C，D到平面的距离分别为，，2，则该正方体外接球的表面积为 .
第二卷（70分）
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知直线与直线的交点为M.
(1)求过点M且与直线平行的直线的方程.
(2)求过点M且到点的距离为2的直线的方程；
18．如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，， ，求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，直线过定点.
(1)设点的轨迹为曲线，求的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，求面积取最大值时，直线的方程.
20．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
21．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图阳马中.平面.点在侧棱上，.
（1）证明:平面；
（2）求二面角的余弦值
22．分别过椭圆左､右焦点､的动直线，相交于点，与椭圆分别交于､与､不同四点，直线､､､的斜率分别为､､､，且满足，已知当与轴重合时，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，，使得为定值？若存在，求出､点坐标，若不存在，说明理由.
1．B
【分析】根据空间向量运算求得正确答案.
【详解】，A选项错误.
，B选项正确.
，C选项错误.
，D选项错误.
故选：B
2．C
【分析】先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可.
【详解】过点且斜率为的直线的方程是，
即.
故选：C
3．C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
4．B
【分析】两圆有公共点则，列出不等式求解m的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】的圆心，半径，
的圆心，半径，
两圆圆心距，
因为两圆有公共点，
所以，解得，
显然，所以“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件.
故选：B
本题考查圆与圆的位置关系，由集合的包含关系判断必要、充分条件，属于中档题.
5．B
【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.
圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.
圆心距为，由于，即，
所以，两圆相交，公切线的条数为.
故选：B.
6．A
【分析】先证明出，.以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求解.
【详解】由题意：,所以，所以.同理.
所以可以以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则,,,.
所以，.
设异面直线与所成角为，则.
故选：A
7．B
【分析】求轨迹方程可设动点，，再利用求出关于的坐标关系式，再将坐标表达式代入椭圆方程即可．
【详解】设动点，，因为，故 ，化简得，又在椭圆上，故，化简得，故选B．
求轨迹方程可直接设所求点坐标为，再根据题目所给信息，用含有的表达式表达已知方程上的动点，再带入满足的方程化简即可．
8．D
【分析】根据长方体的几何性质，结合锐角三角函数定义、通过建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可.
【详解】因为点的轨迹与侧交，
所以点的轨迹在侧面内，
由长方体性质可知：都与平面垂直，
而在平面内，所以，
由，
可知，即，故，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，故所求点满足，
化简得，
故所求的即为此圆在矩形内的部分，
即圆心角为，半径为2的圆弧，长度为．
故选：D

关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间两点间距离公式进行求解.
9．CD
【分析】根据椭圆的标准方程形式列出，解不等式即可.
【详解】∵方程x2＋ky2＝2，即表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，故0故选：CD.
10．AC
【分析】设圆的方程为，根据直线过圆心，点A在圆上，直线与圆相交的弦长为列方程组，求出圆心和半径，则圆的方程也出来了.
【详解】设圆的方程为，
由已知可知，直线过圆心，故①．
因为点A在圆上，所以②．
因为直线与圆相交的弦长为，所以③．
解由①②③组成的方程组，
得或
故所求方程为或．
故选：AC.
11．BD
【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D．
【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ．
故选：BD．
12．BCD
【分析】对于A，连接，可得异面直线与MN所成的角，然后在中求解即可，对于B，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断，对于C，利用等体积法求解，对于D，作出截面，再求其周长
【详解】对于A，连接，因为M，N分别是，的中点，所以∥，因为∥，所以∥，所以异面直线与MN所成的角，因为为等边三角形，所以，所以异面直线与MN所成的角为，所以A错误，
对于B，如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
向量为平面的一个法向量，
设二面角的大小为，由图可知为锐角，则
，
所以
所以，所以B正确，
对于C，设，分别到平面的距离为，
因为，
所以,
所以，
所以，所以，
所以点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍，所以C正确，
对于D，作直线，分别延长交于，
连接交于，连接交于，连接，则五边形为过A，M，N三点的截面，因为正方体的棱长为1，所以，
因为∽，所以，
所以，
所以，
所以，，
同理可得，，
所以五边形的周长为，所以D正确，
故选：BCD
13．
由两直线垂直的充要条件可得，从而可求得m的值.
【详解】∵，∴.
故答案为.
本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，属于基础题.
14．
【分析】运用方程的几何意义得出结果.
【详解】解：∵，
故令，，
∴，
∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，
即，，，
∴方程为.
故答案为.
15．##
【分析】先求出，再根据点线距离的向量公式即可求解.
【详解】根据题意：，，
则，，
所以点P到l的距离为.
故答案为.
16．
【分析】取空间的一个基底，设正方体的棱长为a，是平面的一个方向向上的单位法向量. 由题得在方向上的投影向量的长度分别为，，2得，由，得，得正方体外接球表面积.
【详解】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.
由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，2.
于是，即，即，即.
同理，.
从而，由，得，
即，解得，
所以正方体的外接球半径为，外接球的表面积为.
故
考虑到可以利用空间向量表示条件中的点到平面的距离，所以选择基底，设单位法向量解决问题，得，即，即，即.同理可得，，即可得到.
17．(1)
(2)或；
【分析】（1）先求出，再由点斜式方程求解即可；
（2）讨论所求直线方程斜率不存在，不满足题意；直线方程斜率存在，设为，由点到直线的距离求出，即可得出答案.
【详解】（1）由可得：，所以
过点且与平行的直线的斜率为：，
所求的直线方程为：，即．
（2）若所求直线方程斜率不存在设为：，
到点的距离为1，不满足题意；
若所求直线方程斜率存在，设为，即，
∵到直线的距离为2，
∴，解得或，
∴直线方程为或；
18．
【分析】先求出的坐标，再求出平面的法向量的坐标，再利用线面角的向量公式求解.
【详解】由题得，，，，
设平面的法向量为，则
解得，令得，则，
设直线与平面夹角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)
(2)或．
【分析】（1）设出点，根据且是的中点，求出点坐标，代入圆中化简即可得出结果；
（2）根据直线过定点，分析斜率存在不存在，设出直线方程，进而求出点到直线的距离，再根据勾股定理求得弦长，写出面积，利用基本不等式求得面积最值，考虑不等式取等的条件，即可求得面积取最大值时，直线的方程.
【详解】（1）解：设点，因为的坐标是，且是线段的中点，
所以，又有点在圆上运动，
所以点坐标满足圆的方程，
即，整理得，
故点的轨迹为；
（2）由（1）知点的轨迹方程为，
即轨迹是以点为圆心，半径的圆，
①若直线斜率不存在，则直线，
因为圆心到直线的距离为2等于半径，
此时直线与圆相切，不存在两个不同交点，故不符合题意舍；
②若直线的斜率存在，设直线，即，
由直线与圆相交于两点，圆心到直线的距离小于半径，
即，解得，
根据圆的性质可知：，
因为，
当且仅当，即时取等，
所以当时，有最大值为，此时，
解得或，此时直线的方程为或．
20．(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明在侧棱的中点，再由线面平行的判定证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
设
由得
即，解得，即
故在侧棱的中点；
连接交于点，连接，则为三角形的中位线
平面平面
平面；
（2）设为平面的一个法向量，则
而，，则
取，；
设是平面的一个法向量，则
而，
则
取
于是，
而二面角为钝角，故二面角的余弦值为
思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：
（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）
（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值
22．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意当与轴重合时垂直于轴，进而根据长轴长与通径长求解即可；
（2）先讨论直线或斜率不存在时得点坐标为或，再讨论直线斜率存在时，设斜率分别为，进而将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理得，，进而结合已知得，进而根据斜率关系得点轨迹为，再综合即可得点点在椭圆上，进而得其焦点即为所求定点，.
【详解】（1）解：当与轴重合时，，即，
由椭圆的对称性得直线垂直于轴，
∴，解得，
椭圆的方程为.
（2）解：焦点坐标分别为，
当直线或斜率不存在时，点坐标为或，
当直线斜率存在时，设斜率分别为，则直线的方程为：
设，
所以联立方程 得，
，
，
同理得，
∵，即，
，即，
∵动直线，相交于点，∴，
，
设，则，即
由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足，
点点在椭圆上，
存在点其坐标分别为，使得为定值