辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高考适应性考试数学模拟试题

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数 学
本试卷共19题。全卷满分120分。考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足且有，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，均为锐角，且，则的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
4．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是 （ ）
A． B． C． D．
5．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线交于点（，）和（，），则 （ ）
参考数据：取.
A．814 B．900 C．914 D．1000
6．表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．设，，，则 （ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得2分，选错得0分。
9．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，（ ）
A．B．C．D．
10．定义：若数列满足，存在实数M，对任意，都有，则称M是数列的一个上界．现已知为正项递增数列，，下列说法正确的是（ ）
A．若有上界，则一定存在最小的上界
B．若有上界，则可能不存在最小的上界
C．若无上界，则对于任意的，均存在，使得
D．若无上界，则存在，当时，恒有
11．已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有 种.
13．已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则 .
14．已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中丹东九九草莓的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种九九草莓整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.
(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个草莓，若当中没有烂果，则买下这盒草莓，否则不会购买此种草莓.求甲购买一盒草莓的概率；
(2)顾客乙第1周网购了一盒这种草莓，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒草莓的概率.
16．（15分）
如图，在直三棱柱中，，点在棱上，且,为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)若,求二面角的余弦值．
17．（15分）
记为数列的前n项和，且满足．
(1)若，求证：数列是等差数列；
(2)若，设，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
18．（17分）
已知函数且.
(1)设，讨论的单调性；
(2)若且存在三个零点.
1）求实数的取值范围；
2）设，求证：.
19．（17分）
已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点.
(1)证明和均为定值;
(2)设线段的中点为，求的最大值；
(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.
辽东十一所重点高中联合教研体2024届高考适应性考试模拟试题
数 学·参考答案
一、单选题：1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．D
二、多选题：9．CD 10．ACD 11．CD
三、填空题：12．14 13． 14．/0.1875
四、解答题：
15．（1）由题意可得：甲不购买一盒草莓情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，
甲购买一盒草莓的概率.
（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：
故乙第5周网购一盒草莓的概率.
16．（1）解法一
如图，延长与的延长线交于点，
因为,为的中点，所以，
连接与交于点，则，
取的中点，连接，则，故，
因为，所以，所以，
又平面，平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解法二
如图，延长与的延长线交于点，连接，
因为,为的中点，所以，
所以，
又平面，平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）由，易得，则两两垂直，
以A为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
则，
由题意可得二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
17．（1）当时，，
当时，，
整理得，则，
两式相减，得，
因为，所以，所以数列是等差数列．
（2）当时，，
令，得，则，
因为，所以，
因为，所以，
所以数列是首项为－r，公比为2的等比数列，
所以，所以．
因为，
所以，
则，
所以是递增数列，是递减数列，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
18．（1）,,
因为,定义域为
当时,,解,得,解,得
当时,,解,得,解,得
综上, 当时, 增区间为,减区间为,
当时, 增区间为,减区间为,
（2）1）因为且存在三个零点.
所以有3个根
当时, ,
在上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.
当,,即有两个根,
令,可转化为与有两个交点
,
可得,,是单调递增的, 可得,,是单调递减的,
其中,当,
所以可得,
即得.
2）因为且存在三个零点.
设，,易知其中 ,,
因为,所以,故可知;①
由1）可知与有两个交点,
,是单调递增的, ,,,所以;②
,
若,则
若,
构造函数,
设,
因为
又因为,
所以③
因为
又因为
所以
即得④
由③④可知, ,在上单调递增, 可得
,可知与同号
所以,
在上单调递增.
,,又由1)可知
所以,
,,是单调递增的,
所以⑤
由①②⑤可知
19．（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以
∵在椭圆上
∴ ①
又∵，
∴ ②
由①②得，．此时；
（ⅱ）当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得

故即
又，
∴
∵点到直线的距离为
∴
又
整理得
此时

综上所述结论成立．
（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知
，
因此．
（ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知

所以

．当且仅当，
即时，等号成立．
综合（1）（2）得的最大值为.
（3）椭圆C上不存在三点，使得
证明：假设存在，满足
由（1）得，，，， ，
解得：，.
因此从集合中选取，从集合中选取；
因此只能从点集这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与矛盾.
所以椭圆C上不存在三点，使得
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
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╳
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╳
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