2024-2025学年安徽省阜阳市九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省阜阳市九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数一定是二次函数的是( )
A. y=ax2+bx+cB. y=−x−4C. y=2x2−3xD. v=3s2+s−2
2.方程4x2−2x=−1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A. 4、−2、−1B. 4、2、−1C. 4、−2、1D. 4、2、1
3.若二次函数y=ax2的图象经过点A(3,−6)，则该图象必经过点( )
A. (−3,6)B. (−3,−6)C. (6,−3)D. (6,3)
4.关于x的一元二次方程2x2+bx−1=0的根的情况是( )
A. 实数根的个数由b的值确定B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
5.下列关于二次函数y=3x2−1的图象说法中，错误的是( )
A. 它的对称轴是直线x=0B. 它的图象有最低点
C. 它的顶点坐标是(0,−1)D. 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
6.若m、n是关于x的方程2x2−4x+1=0的两个根，则1m+1n的值为( )
A. 4B. −4C. 14D. −14
7.一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=−12x2+4x−3相同，顶点为(−3,2)，则此抛物线的解析式为( )
A. y=−12(x−3)2+2B. y=−12(x+3)2+2
C. y=−12(x−3)2−2D. y=−12(x+3)2−2
8.《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立.甲行率六，乙行率四.乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会.问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲走了多少步( )
A. 24B. 30C. 32D. 36
9.某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙(墙长22米)的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为( )
A. 10米B. 12米C. 15米D. 不存在
10.函数y=ax2−x+2和y=−ax−a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.二次函数y=x2+4x+6的顶点坐标是______．
12.由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为______．
13.已知关于x的一元二次方程c(1−x2)−2bx=a(1+x2)，其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为______．
14.抛物线y=mx2+2m的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B．
(1)点B坐标为______；
(2)点C(2,2m−1)，D(4,0)，且线段CD与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.解方程：x2−3x=0．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
直线y=−x+3与抛物线y=ax2交于点(2,n)．
(1)求a和n的值；
(2)对于二次函数y=ax2，当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2ax=3−a2．
(1)判断方程根的情况；
(2)设x1，x2是方程的两个根，求(x1−x22)2的值．
18.(本小题8分)
如图，将一些小圆按规律摆放：
(1)第5个图形有______个小圆，第n个图形有______个小圆(用含n的代数式表)；
(2)能用114个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由．
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=20cm，点M从点A开始沿AC以3cm/s的速度向点C运动(到点C时停止)，过点M作MN//AB，交BC与点N，并设点M的运动时间为t s．
(1)当t为何值时，△MCN的面积为98cm2？
(2)若S四边形ABNM=2125S△ABC，求t的值．
20.(本小题10分)
如图，抛物线y=−3x2+m与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线y=12(x+1)2相交于点B、C(点B在点C的左面)，若BC=4，求m的值．
21.(本小题12分)
已知二次函数y=13(x−3n)2+4−2n．
(1)求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上．
(2)若点A(b+2,a)，B(6n+b−4,a)都在二次函数图象上，求证：a≥53．
22.(本小题12分)
某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶.该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶．
(1)如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？
(2)同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元.为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于
(1)中的售价且不高于60元，则洗发水至少需打几折？
23.(本小题14分)
如图，抛物线y=−14x2+mx+n与x轴相交于B，C两点(点B在点C的左边)，与y轴相交于点A，直线AC的函数解析式为y=−12x+2．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、y=−x−4是一次函数，故本选项不符合题意；
C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、v=3s2+s−2是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
此题考查二次函数的定义，解题的关键是理解：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数(a,b,c是常数，a≠0)，叫做二次函数．
2.【答案】C
【解析】解：∵4x2−2x=−1，
∴4x2−2x+1=0，
∴a=4，b=−2，c=1．
故选：C．
根据ax2+bx+c=0(a≠0).其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵−b2a=0，
∴二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∴A(3,−6)关于y轴对称的点为(−3,−6)，
∴该图象必过点(−3,−6)，
故选：B．
求得二次函数y=ax2的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性即可解答．
本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题知，
Δ=b2−4×2×(−1)=b2+8≥8>0，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：因为二次函数解析式为y=3x2−1，
所以抛物线的对称轴为直线x=0，且开口向上，顶点坐标为(0,−1)．
故ABC选项不符合题意．
因为抛物线开口向上，
所以在对称轴左侧，y随x的增大而减小．
故D选项符合题意．
故选：D．
根据所给二次函数解析式，结合二次函数的性质依次对所给选项进行判断即可解决问题．
本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据根与系数的关系得m+n=2，mn=12，
所以1m+1n=m+nmn=212=4．
故选：A．
先利用根与系数的关系得到m+n=2，mn=12，再通分得到1m+1n=m+nmn，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
7.【答案】B
【解析】解：∵一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=−12x2+4x−3相同，顶点为(−3,2)，
∴该抛物线的解析式为：y=−12(x+3)2+2，
故选：B．
根据抛物线的形状、开口方向与抛物线y=−12x2+4x−3相同得出a=−12，再结合顶点为(−3,2)即可得出抛物线的解析式．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，AC表示正东方向，AB表示正南方向，
∴∠A=90°
设甲、乙的时间都是x，则AC=4x，AB+BC=6x，
又∵AB=10．
∴BC=6x−10
由勾股定理得：(4x)2+102=(6x−10)2，
∴16x2+100=36x2−120x+100
∴20x2−120x=0，
∴x1=0(舍去)，x2=6
∴甲走的路程为AB+BC=6x=36(步)，
故选：D．
设甲、乙的时间都是x，则AC=4x，AB+BC=6x，再由勾股定理计算即可得出答案．
本题考查了方向角，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为(49+1−2x)米，
由题意列方程可得：x(49+1−2x)=300，
解得x1=10，x2=15，
当菜地垂直于墙的一边的长为10米时，平行于墙的一边的长为30米，大于墙长的22米，
所以菜地垂直于墙的一边的长为15米．
故选：C．
根据题意设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可．
本题考查的是一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
10.【答案】A
【解析】解：由所给一次函数图象可知，
−a<0，
即a>0，
所以抛物线的开口向上，且对称轴x=−−12a=12a>0．
故A选项符合题意．
由所给一次函数图象可知，
−a<0，
即a>0，
所以抛物线的开口向上，且对称轴x=−−12a=12a>0．
故B选项不符合题意．
−−12a=12a>0
由所给一次函数图象可知，
−a>0，
即a<0，
所以抛物线的开口向下．
故C选项不符合题意．
由所给一次函数图象可知，
−a<0，
即a>0，
所以抛物线的开口向上．
故D选项不符合题意．
故选：A．
根据所给二次函数和一次函数的解析式，再结合二次函数与一次函数的图象与性质对所给选项依次进行判断即可．
本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，熟知二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
11.【答案】(−2,2)
【解析】解：把二次函数化为顶点式为：y=x2+4x+6=(x+2)2+2；
∴顶点坐标为：(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数顶点坐标式．
12.【答案】y=462(1−x)2
【解析】解：根据题意可得：
y与x之间的函数关系为：y=462(1−x)2．
故答案为：y=462(1−x)2．
原价为462元，第一次降价后的价格是462(1−x)元，第二次降价后的价格为462(1−x)2元，则函数解析式即可求得．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
13.【答案】直角三角形
【解析】解：原方程可以化为：(a+c)x2+2bx+a−c=0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
由题意得出Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，推出a2=b2+c2，即可得解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．
14.【答案】(0,−2m) −14≤m<0
【解析】解：(1)∵抛物线y=mx2+2m与y轴交于点A，
∴A(0,2m)，
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴B(0,−2m)，
故答案为：(0,−2m)；
(2)当m>0时，
通过观察可得：C在直线l上，若要CD与抛物线有一个交点，
则2m−1≥m⋅22+2m，
解得m≤−14(舍)，
当m<0时，
2m−1≤m⋅22+2m，
解得m≥−14，即−14≤m<0．
(1)求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标；
(2)根据题意，分两种情况分别求：当m>0和m<0时，根据“线段CD与抛物线恰有一个公共点”列出不等式，再结合图象可确定m的范围．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
15.【答案】解：x2−3x=0，
分解因式得：x(x−3)=0，
可得：x=0或x−3=0，
解得：x1=0，x2=3．
【解析】将方程左边的多项式提取公因式x，分解因式后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
16.【答案】解：(1)把(2,n)代入y=−x+3，得n=−2+3=1，
把(2,1)代入y=ax2，得4a=1，
解得：a=14，
∴n=1，a=14；
(2)由(1)知：a=14，
∴y=14x2，
∴当y随x的增大而增大时，x≥0．
【解析】(1)把(2,n)代入y=−x+3可以求出n的值，再把(2,1)代入y=ax2即可求出a的值；
(2)根据二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)原方程化为x2+2ax+a2−3=0，
∴Δ=(2a)2−4(a2−3)=12>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)由题意得：x1+x2=−2a，x1x2=a2−3，
∴原式=x12−2x1x2+x224=x12+2x1x2+x22−4x1x24=(x1+x2)2−4x1x24=(−2a)2−4(a2−3)4=3．
【解析】(1)将方程化为一般式，再根据根的判别式计算即可得出答案；
(2)由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2a，x1x2=a2−3，代入计算即可得出答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
18.【答案】34 (n2+n+4)
【解析】解：(1)由图可得，第1个图形小圆的个数为6=1×2+4，
第2个图形小圆的个数为10=2×3+4，
第3个图形小圆的个数为16=3×4+4，
第4个图形小圆的个数为24=4×5+4，
∴第5个图形小圆的个数为5×6+4=34，
第n个图形小圆的个数为n(n+1)+4=n2+n+4，
故答案为：34，(n2+n+4)；
(2)能，理由：
n2+n+4=114，即n2+n−110=0，
解得n1=−11(不合，舍去)，n2=10，
∴能用114个小圆摆成这样的图形，摆成的是第10个图形．
(1)根据所给图形找出变化规律即可求解；
(2)把114代入(1)中所得规律，解方程即可判断求解．
本题考查了图形的变化规律，根据所给图形找出变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题可知，AM=BN=3tcm，
∴S△MCA=12(20−3t)2=98，
解得t1=2，t2=343(舍)，
∴当t为2时，△MCN的面积为98cm2
(2)∵S△ABC=12×20×20=200cm2，
又∵S四边形ABNM=2125S△ABC，
∴S△MCN=425S△ABC=425×200=32，
又∵S△MCN=12(20−3t)2，
∴12(20−3t)2=32
可得t1=4，t2=283(舍)，
∴t=4．
【解析】(1)根据题意得出AM=BN=3tcm，根据三角形面积公式得出S△MCA=12(20−3t)2=98，求出t即可；
(2)根据S△ABC=12×20×20=200cm2，S四边形ABNM=2125S△ABC，得出12(20−3t)2=32，求出t的值即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
20.【答案】解：∵抛物线y=−3x2+m，
∴A(0,m)，12(x+1)2=m，
∴x2+2x+1−2m=0，
设B(x1,m)，C(x2,m)，
则x1+x2=−2，x1x2=1−2m，
∴BC=x2−x1= (x1+x2)2−4x1x2= (−2)2−4(1−2m)=4，
∴m=2．
【解析】根据解析式求得点A(0,m)，令12(x+1)2=m，设B(x1,m)，C(x2,m)，进而根据根与系数的关系得出x1+x2=−2，x1x2=1−2m，根据BC=x2−x1，即可求解．
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)由二次函数y=13(x−3n)2+4−2n知，抛物线顶点坐标为(3n,4−2n)，
设x=3n，y=4−2n=−23×3n+4，则y=−23x+4，
∴抛物线的顶点始终在直线y=−23x+4上；
(2)由题可得(b+2)+(6n+b−4)=6n，则b=1，
∴A(3,a)，
把A(3,a)代入=13(x−3n)2+4−2n得a=13(3−3n)2+4−2n=3(n−43)2+53≥53，
∴a≥53．
【解析】(1)由二次函数解析式得出顶点坐标为(3n,4−2n)，设x=3n，y=4−2n，则y=−23x+4，即可得解；
(2)由二次函数的性质得出b=1，从而得出A(3,a)，再将A(3,a)代入二次函数解析式即可得出答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并灵活运用是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)设每瓶售价定为a元，则(a−40)[20+2(60−a)]=(60−40)×20，
解得a1=50，a2=60(舍)，
∴每瓶售价定为50元；
(2)设洗发水打a折，则50≤62.5a≤60，
解得：0.8≤a≤0.96，
答：洗发水至少需打八折．
【解析】(1)设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
(2)设该商品打m折，根据销售价格不超过(1)中的售价列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)对于一次函数y=−12x+2．
令x=0，得y=2，令y=0，得x=4，
∴A(0,2)，C(4,0)；
(2)将A(0,2)，C(4,0)代入y=−14x2+mx+n得：
2=n0=−14×42+4m+n，
解得m=12n=2，
∴y=−14x2+12x+2；
(3)方法一：由(2)可得抛物线对称轴为直线x=1，
∴B(−2,0)，
∴S△ABC=12×2×6=6，
如图1，过点M作直线l/​/y轴交直线AC于点N，

设M(a,−14a2+12a+2)则N(a,−12a+2)，
∴MN=−14a2+12a+2−(−12a+2)=−14a2+a，
∴S四边形ABCM=6+12×(−14a2+a)×4=−12(a−2)2+8，
∵0∴当a=2时，四边形ABCN最大值为8且M(2,2)；
方法二：由(1)知：y=−14x2+12x+2，
∴抛物线的对称轴是直线x=1，
∵C(4,0)，∴B(−2,0)，
如图2，连接OM，设M(a,−14a2+12a+2)，

∴S四边形ABCM=S△ABO+S△AOM+S△COM
=12×2×2+12×2a+12×4(−14a2+12a+2)
=−12a2+2a+6
=−12(a−2)2+8，
∴当a=2时，四边形ABCM的面积有最大值，最大值为8，此时M(2,2)．
【解析】(1)在直线y=−12x+2中分别令x=0和y=0，可得A和C的坐标；
(2)将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；
(3)方法一：过M点作MH⊥x轴，与AC交于点N，设M(a,−14a2+12a+2)则N(a,−12a+2)，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接OM，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第(3)题关键在求函数的解析式．