山东省济南市莱芜区汶源学校2023—2024学年上学期九年级数学期末模拟试题三

这是一份山东省济南市莱芜区汶源学校2023—2024学年上学期九年级数学期末模拟试题三，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（10*4=40）
1．如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
2．点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
3．在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A．34B．12C．D．
4．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
1. 4. 5.
5．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
6．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
7．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2
7. 8. 10.
9．一次函数y＝ax+1与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（6*4=24）
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
12．有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是 ．
13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
14．如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y的图象经过点C，y（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ ．
14. 16.
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 ．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为
三、解答题
17．（6分）计算：|﹣2|+（）﹣1（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．
18．（6分）如图，正比例函数yx的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．
19．（6分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（1.732，结果保留一位小数）
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
21．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
22．（8分）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．
参考数据：sin24.2°≈0.41，cs24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
23．（10分）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1（x＜0）、y2（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2023—2024学年上学期九年级数学期末模拟试题三
时间：120分钟 分数：150分
一、选择题（10*4=40）
1．如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形．
故选：A．
2．点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
【解析】选D．∵k＝4＞0，∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，且1＜2＜3＜4，∴y4最小．
3．在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】选A．∵总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，∴摸到红球的概率P.
4．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】选B．把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC，DC2，DE5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．
∴sin∠APC＝sin∠EDC，∴cs∠APC．
5．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【解析】选D．如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝5，∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP5.
6．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【解析】选A．∵∠A＝∠D，∠A＝48°，∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°.
7．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解析】选D．设点B的坐标为（a，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，∴a5，解得：a＝11，
经检验，a＝11是原分式方程的解.
8．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2
【解析】选C.在Rt△AOC中，AC25（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积2π×7×25＝175π（cm2）.
9．一次函数y＝ax+1与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【解析】选B．分两种情况：
（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y图象在第二、四象限，无选项符合；
（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y图象在第一、三象限，故B选项正确．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【解析】选A．∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），∴c＝﹣1，
∵1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，
∵y＝ax2﹣2ax﹣1，
当x＝﹣1时，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a，故②正确，
当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，
∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，
∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞Y2，
∴y2＜y3＜y1，故④错误，
∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，
当有四个交点或3个时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，
当有两个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，
二、填空题（6*4=24）
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
【解析】如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB13，∴sinA．
答案：．
12．有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是 ．
【解析】根据题意列表如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为.
答案：．
13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，3） ．
【解析】将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）.
答案：（1，3）．
14．如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y的图象经过点C，y（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．
【解析】由题知，反比例函数y的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y（k≠0）的图象经过点B，
∴k＝3a•3，
答案：3．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 ．
【分析】设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB10，则AB•CDAC•BC＝S△AOB，所以10CD8×6，则r＝CD，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵AB•CDAC•BC＝S△AOB，
∴10CD8×6，
解得CD，
∴r＝CD，
故答案为：．
【点评】此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．6π﹣9B．12π﹣9C．6πD．12π
【解析】选B．∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝3，
∴DF＝6，
阴影部分的面积63＝12π﹣9，
三、解答题
17．（6分）（2023•怀化）计算：|﹣2|+（）﹣1（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2+3﹣3+1+1
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）（2023•岳阳）如图，正比例函数yx的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．
【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；
（2）设点D的坐标为（x，0）．根据线段垂直平分线的性质得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．
【解答】解：（1）解方程组（x＞0），
得，
∴点A的坐标为（3，4）；
（2）设点D的坐标为（x，0）．
由题意可知，BC是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
∴x，
∴D（，0），OD．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
19．（6分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（1.732，结果保留一位小数）
【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案．
【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，
∴∠DMN＝∠MDN＝30°，
∴DN＝MN＝35m，
在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35（m），
∴DC＝DE+CE1.51.5≈31.8（m）．
答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【解析】（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴的长l．
21．（8分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【解析】（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；
答案：；
（2）画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，则乙不输的概率是．
22．（8分）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．
参考数据：sin24.2°≈0.41，cs24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，
在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°，
∴OA＝sin∠ORA×AR
＝sin24.2°×40
≈16.4（m），
OR＝cs24.2°×40
≈36.4（m），
在Rt△BOR中，
OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m），
∴AB＝OB﹣OA
＝27.3﹣16.4
＝10.9（m），
答：无人机上升高度AB约为10.9m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
23．（10分）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【解析】（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得：，∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）设每月所获的利润为W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
【分析】（1）连接OC，根据垂直定义可得∠D＝90°，根据已知易得＝，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠OCA，从而可得∠DAC＝∠OCA，进而可得AD∥OC，最后利用平行线的性质可得∠OCF＝∠D＝90°，即可解答；
（2）①过点O作OG⊥AE，垂足为G，根据垂径定理可得AG＝EG＝1，再根据垂直定义可得∠AGO＝∠DGO＝90°，从而可得∠D＝∠AGO＝90°，进而可得OG∥DF，然后利用平行线的性质可得∠AFD＝∠AOG，从而可得sin∠AOG＝sin∠AFD＝，最后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
②根据平角定义可得∠OCD＝90°，从而可得四边形OGDC是矩形，然后利用矩形的性质可得OC＝DG＝3，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD⊥DF，
∴∠D＝90°，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EG＝AE＝1，
∵OG⊥AD，
∴∠AGO＝∠DGO＝90°，
∵∠D＝∠AGO＝90°，
∴OG∥DF，
∴∠AFD＝∠AOG，
∵sin∠AFD＝，
∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝，
在Rt△AGO中，AO＝＝＝3，
∴⊙O的半径为3；
②∵∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形，
∴OC＝DG＝3，
∵GE＝1，
∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，
∴线段DE的长为2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1（x＜0）、y2（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
【解析】（1）∵点A在函数y1（x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2，
∴﹣2，解得x＝﹣1，∴点A的横坐标为﹣1；
（2）∵点B在函数y2（x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2，
∴B（2，），∴PC＝OQ，BQ＝2，
∵A（﹣1，﹣2），∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2，BC＝1+2＝3，
∴S＝S△ABC﹣S△PQCAC•BCPC•CQ1＝3k
26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y＝kx+t，将B、C两点坐标代入求解即可得到直线BC的解析式．
（2）由题可得M坐标，分别求出OC，OM，CM，对等腰三角形OCM中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对P点在B点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CNB，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠POQ＝135°时，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC