2023-2024学年山东省济南市莱芜区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市莱芜区九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。

2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．
4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡．
选择题部分 共40分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
2. 下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数，一次函数和二次函数的图象及性质，根据图象及性质逐项判断即可，熟练掌握反比例函数，一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】、由可知，则在每一象限内，随的增大而减小，此选项符合题意；
、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意；
、由可知抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，此选项不符合题意；
、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意；
故选：．
3. 不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个；其中红色棋子15个．每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是，则蓝色棋子个数是（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了已知概率求数量问题，设蓝色棋子有个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．熟知概率计算公式是解题的关键．
【详解】解：设蓝色棋子有个，由题意得，，
解得：，
经检验：是方程的解，
∴蓝色棋子有5个，
故选：A．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角
D. 圆的切线垂直于半径
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，圆内接四边形，切线的性质，掌握相关知识点，逐一进行判断，是解题的关键．
【详解】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项错误；
B、平分弦（不是直径）直径垂直于弦，选项错误；
C、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，选项正确；
D、圆的切线垂直于过切点的半径，选项错误；
故选C．
5. 如图，在中，，则（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正切．熟练掌握是解题关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：D．
6. 如图，是的切线，是切点，是弦，过圆心，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，由圆周角定理及直角三角形的性质可得，即可求解．解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B.
7. 如果，点，都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可．掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
∵，点，都在反比例函数的图象上，
∴，
故选：D．
8. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆锥的有关计算，设此圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的周长等于底面圆的周长，列方程求解即可．解题的关键是掌握弧长公式，理解扇形的周长等于底面圆的周长．
【详解】解：设此圆锥底面圆的半径为，
根据扇形的周长等于底面圆的周长可得，，
解得，
圆锥底面圆的半径为，
故选：C．
9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数图象的知识，关键是掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质．先根据二次函数的图象确定系数，，，然后判断出一次函数和反比例函数图象所在的象限逐一判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴，
∴，
∴直线过二、三、四象限，反比例函数的图象位于一、三象限，
故选A．
10. 已知：二次函数．下列结论：
①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大；
②当时，抛物线与轴有两个交点；
③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是；
④抛物线与直线可以存在唯一公共点．
⑤若是抛物线上的两点，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据的符号，对称轴判断①；根的判别式判断②；根据时，，时，，列出不等式组，求出的值，判断③；根的判别式，判断④，增减性判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大；故①正确；
当时，，
∴抛物线与与轴没有交点，故②错误；
若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，
则：时，，时，，
∴，
∴；故③正确；
联立，得：，
，
∴抛物线与直线有2个交点，故④错误；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵，
∴；故⑤正确；
故选B．
非选择题部分 共110分
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）
11. 线段的正投影，其形状可能是______．（写出一个即可）
【答案】线段或点
【解析】
【分析】本题考查正投影．根据题意，线段的正投影可能是线段，也可能是一个点，进行作答即可．掌握正投影的定义，是解题的关键．
【详解】解：线段的正投影，其形状可能是线段，也可能是一个点，
故答案为：线段或点．
12. 圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，分弦所对的弧为优弧和劣弧两种情况进行讨论即可．解题时，要注意分类讨论．
【详解】解：当弦所对的弧为劣弧时，
∵该弦所对的圆心角是，
∴这条弦所对的圆周角的度数是；
当弦所对的弧为优弧时，则：这条弦所对的圆周角的度数是；
故答案为：或．
13. 抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，所得图象的解析式为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，首先把化成顶点式，然后再根据平移方法可得，即可求解．关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．
【详解】解：，
将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，
得：，
∴，
故答案为：．
14. 如图，正方形的边在正六边形的边上，则______度．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和，以及正方形性质，根据边形内角和为，求出正六边形的内角和，算出，再结合正方形性质根据，即可解题．
【详解】解：正六边形的内角和为，
，
四边形正方形，
，
，
故答案为：．
15. 如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为10．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
在中，，
∴，
∴，；
∴；
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
16. 如图，在中，，延长斜边到点，使，连接，若，则______．
【答案】##0.15
【解析】
【分析】本题考查了正切，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正切，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作交于，则，证明，则，即，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作交于，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数及负指数幂的运算，特殊角三角函数值，绝对值的化简，二次根式的化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先分别计算零指数及负指数幂的运算，特殊角三角函数值，绝对值化简及二次根式的化简，最后相加减即可．
【详解】原式
．
18. 已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数的解析式和的值；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．
（1）把点代入求得的值，再求得，利用待定系数法即可求解；
（2）利用三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得：点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得：，即，
∵一次函数图象经过，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：设一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
∴点，
∴，
∴．
19. 莱芜红石公园西北角有一红色八角空心七层宝塔“赢圣塔”．某校数学兴趣小组的同学对其高度进行了测量．如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至处，测得仰角为，问该塔的高度为多少？（学生的身高忽略不计，，结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．设“赢圣塔”的高度，根据题意可知，则，在中，由，得，求解即可，利用特殊角的三角函数值求解是解答本题关键．
【详解】解：设“赢圣塔”的高度，由题意可知，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
即，
∴，
答：塔的高度约为．
20. 如图，是的弦，是的半径，垂足为是的切线，为切点，连结并延长交切线于．
（1）求证：；
（2）若，求的长（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，求弧长．掌握切线垂直于过切点的半径，弧长公式，是解题的关键．
（1）垂直，得到，切线，得到，进而得到即可得出结论；
（2）垂径定理，得到，易得是等腰直角三角形，勾股定理求出的长，再用弧长公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵
，
∵是的切线，
∴，
∴
；
【小问2详解】
∵
，
又∵
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长．
21. 在一个不透明的口袋里装有四个分别标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球，这些小球除标的汉字不同之外，没有任何区别．标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球分别用学母“A”，“B”，“C”，“D”表示．
（1）若从袋中任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率为___________；
（2）若同时从袋中任取两个球，请用列表法或画树状图法求取出的两个球上的汉字恰能组成“大美”或“云南”的概率
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因为袋里共有四个球，所以任取一球，其上面汉字为“美”概率；
（2）列表求恰能组成“大美”或“云南”的次数和所有可能出现的结果数，求概率即可．
【小问1详解】
解：∵袋里装有四个分别标有汉字“大”“美”“云”、“南”的小球，
∴任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率
【小问2详解】
解：列表格，如图
由表格可知恰能组成“大美”或“云南”的次数为4，所有可能出现的结果数为12，
∴事件A的概率．
【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率公式和列表法求概率．
22. 随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末数学小达人小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．

（1）求小华的仰角的正切值；
（2）求、两点之间的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理，解直角三角形，以及矩形的性质，
（1）作于，于，得到四边形是矩形，推出，在中，利用勾股定理，得到，最后根据，即可解题．
（2）利用矩形的性质得到，再利用，求得，最后根据，即可解题．
【小问1详解】
解：作于，于，

无人机的飞行高度为，
，
由题意可得，四边形是矩形，
，
，
，，
在中，，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，
无人机测得河岸边处的俯角为，
，
，即，解得，
，
，两点之间距离．
23. 随着科技的日新月异，冬天人们也可以吃到香甜可口的草莓，草莓被誉为“水果皇后”．近日“牛奶草莓”上市，深受广大消费者的青睐，市场销售情况喜人．某水果店以每公斤30元的价格购进一批“牛奶草莓”，若按每公斤46元的价格销售，平均每天可售出65公斤，结合销售记录发现，若售价每降低2元，平均每天的销售量增加10公斤，水果店恰遇店庆，为答谢新老顾客，该水果店决定降价销售．
（1）若一次降价4元，则每天的销售利润为多少元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）1020元
（2）销售单价定为每公斤44.5元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1051.25元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用：
（1）根据题意和题目中的数据，可以求出一次降价4元时，每天的销售利润；
（2）根据题意，可以写出w与销售单价之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质，即可得到w的最大值．
【小问1详解】
解：根据题意，降价4元则销售量为：，
销售利润为：，
答：若降价4元，则每天的销售利润是1020元；
【小问2详解】
解：设每公斤销售单价降了元，根据题意得：
，
∵
当时，有最大值，最大值为1051.25，此时，
答：销售单价定为每公斤44.5元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大，最大利润是1051.25元．
24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，且的半径，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形．掌握直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数的定义，是解题的关键．
（1）连接，圆周角定理，得到，，结合等边对等角，推出，即可得出结论；
（2）根据，得到，求出的长，再根据，进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴
，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴
是的切线；
【小问2详解】
∵，且的半径，
∴，
∴
，
∵
，
∴，
∴
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，直线的表达式为
（2）
（3）存在，点坐标为或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入中，求得a的值，再代入中，求得k的值，即得反比例函数的表达式，再根据直线向上平移个单位，即可求得直线的表达式；
（2）因B是直线BC与双曲线的交点，故得方程，求解方程，即得答案；
（3）设，分和两种情况，分别列方程求解，即得答案．
【小问1详解】
把代入中，得，
解得，
，
，
，
，且直线向上平移个单位，
∴直线表达式为；
【小问2详解】
由题意得：，
，
，（舍去），
∴，
；
【小问3详解】
设，
当时，，
解得，
；
当时，，
解得，
；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数的平移，直线上与已知两点组成等腰三角形的点的探求等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．
【答案】（1）抛物线表达式为
（2）存在，
（3）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，
∴，
∴设抛物线表达式为，
将代入得，
∴抛物线表达式为；
【小问2详解】
存在点，使的面积最大．
过点作轴于，交直线于点，
设，则，由题意得：，
故，
∴当时，最大．此时，，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴对称轴为直线，
设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时，
∵
∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，
∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，
∴且，
∴或，
∴或．大
美
云
南
大
（大，美）
（大，云）
（大，南）
美
（美，大）
（美，云）
（美，南）
云
（云，大）
（云，美）
（云，南）
南
（南，大）
（南，美）
（南，云）