2024天津市第四十七中学高一上学期12月月考试题数学含解析

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一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共9个小题，每题5分，共45分）
1. 全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的补集和交集的运算公式进行计算即可.
【详解】因为，，，，
所以，
所以.
故选：B
2. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得，
由，故是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的定义域可排除B，取特值可排除D，当趋近负无穷时，可排除C，即可得出答案.
【详解】函数的定义域为，排除B；
当时，，排除D；
当趋近负无穷时，趋于正无穷，所以，排除C.
故选：A.
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的性质比较大小.
详解】，，，
所以.
故选：C.
5. 已知函数，若，则的值是（ ）
A. 3或B. 或5C. D. 3或或5
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论的范围，得到方程，解出即可.
【详解】若，则方程可化为，
∴或（舍去）；
若，则方程可化为
∴，
综上可得，或，
故选：B.
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求抽象函数定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可.
【详解】设，则，
因为函数的定义域为，所以当时，有意义，
所以，故当且仅当时，函数有意义，
所以函数的定义域为，
由函数有意义可得，所以，
所以函数的定义域为，
故选：D.
7. 已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由扇形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设扇形的弧长为，由扇形的面积公式可得，，即，所以，
则扇形的周长为.
故选：C
8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数单调性求解即可.
【详解】由题意得，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
9. 已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（ ）
A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
又因对任意，且，满足，
即对任意，都有，
故函数是幂函数且在上单调递增，
所以，
所以，
则，明显为上的奇函数，
由得，
所以，
所以.
故选：A.
二.填空题：（本大题共6小题.每题5分，共30分）
10. 67°30′化为弧度，结果是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据角度制与弧度制的关系，转化即可.
【详解】，，，
故答案为：
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据换底公式、对数的运算性质计算可得.
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式_________．
【答案】
【解析】
【分析】函数是奇函数，根据奇函数的概念求出函数的解析式．
【详解】解：（1）由题得，
设，则，
又是奇函数，，
故答案为：．
13. 已知，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】先根据对数的定义求出，再根据换底公式和对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意可得，，则，，
故.
故答案为：2.
14. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据是函数递增区间的子集求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵ 在上是增函数，
，
即，
解得．
故答案为：．
15. 设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有四个零点．
则方程化为，
设的两根为，
因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．
令
所以，解得：，
综上：实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
三、解答题：（本大题共5小题，75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，先利用一元二次不等式的解法化简集合M，N，然后利用集合的补集和交集运算求解.
（2）由，得到，然后分和两种情况讨论求解.
【详解】（1）时，集合，
，
∴或，
∴．
（2）∵集合，
，，
∴，
当时，，解得，成立，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围是．
17. 已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式，其中.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式解集性质进行求解即可；
（2）化简不等式，运用因式分解法，根据的正负性、一元二次不等式相对应的一元二次方程的根之间的大小关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为的解集为，所以的根为-1，2，
故有，，即，；
即.
（2）由，化简有，
整理得，
所以当时，不等式的解集为，
当时：一元二次方程的两根为：，
若时，，不等式的解集为；
若时，,不等式的解集为；
若时，，不等式的解集为.
当时，一元二次方程的两根为：，
则，不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键：1、是对二次三项式不等式的最高次项系数进行讨论；
2、是对一元二次不等式相对应的一元二次方程两根之间的大小进行讨论.
18. 已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（3）若两个不相等的正数满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解；
（2）要使得函数在区间上不单调，由题意得，解之即可得解；
（3）由题意可得的对称轴为，若，，且有，则，结合基本不等式求解最值即可．
【小问1详解】
设，
由，得，
又，
则，解得，
所以；
【小问2详解】
，
若函数在区间上不单调，
由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，
则满足，解得，
故实数的取值范围为；
【小问3详解】
因为，则的对称轴为，
函数在单调递增，则函数在单调递减，
若，，且有，
则，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】19.
20. 证明见解析 21.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得；
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增；
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由于奇函数在处有定义，所以，
，所以，
经检验，此时满足为奇函数，所以.
因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）知.
任取、且，
所以，
因为，则，，
所以，则，
所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知在的最大值为
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
20. 已知函数在区间上的最大值为4，最小值为1，记.
（1）求实数的值；
（2）若不等式成立，求实数的取值范围；
（3）定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数?若是，求的最小值；若不是，请说明理由.（参考公式：）
【答案】（1）;
（2）或;
（3）是；的最小值为；
【解析】
【分析】(1)结合二次函数的性质求解；
(2)根据函数的奇偶性解不等式；
(3)根据游街变差函数的定义判断，然后根据函数的单调性求解M值问题.
【小问1详解】
因为，结合二次函数性质，对称轴，
所以在区间上，
整理得：.
所以.
【小问2详解】
，所以为偶函数，
所以不等式可化为
解得：或.
【小问3详解】
函数是否为在上有界变差函数,
因为函数为上的单调递增函数，且对任意划分，
有，
所以
，
所以存在常数，使得恒成立，
所以的最小值为.