2024天津市耀华中学高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024天津市耀华中学高一上学期12月月考试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本题共有 16个小题，每小题3分，共48分.每个小题只有一个正确选项，请将答案涂在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)
1. 函数的零点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数值域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A. (﹣∞，﹣1]B. (﹣1，)C. [﹣1，)D. (0，1)
5. 化简的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
6. 函数的单调递增区间为（ ）
A B. C. D.
7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A B. C. D.
8. 若角满足，，则在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
9. 已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A B. C. D.
10. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B.
C. D.
11. 在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
13. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）
14. 若，则（ ）
A. B. C. D.
15. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题(本题共有8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)
17. 若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为______.
18. 已知，则___________.
19. ___________
20. 已知，且，则______.
21. 已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
22. 若函数的值域为R，则实数a的范围是_______.
23. 已知函数 且)在区间上单调递增， 则a的取值范围是_______.
24. 已知，若方程有四个根，且，则 的取值范围是________.
三、解答题(本题共2道小题，每小题 10分，共 20分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.将答案填写在答题纸相应位置上，答在试卷上的无效)
25. 已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
26. 已知定义在R上的函数
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
天津市耀华中学2023-2024学年度第一学期学情调研
高一年级数学学科试卷
一、选择题(本题共有 16个小题，每小题3分，共48分.每个小题只有一个正确选项，请将答案涂在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)
1. 函数的零点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数单调性及零点存在性定理即得.
【详解】由于函数在上是增函数，且，
故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论.
【详解】根据题意由可得，则，
即充分性成立，
若可得，此时或，显然必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A
3. 函数值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数的性质求得，再由对数函数的性质可得结果.
【详解】，
，
，
∴函数的值域为.
故选：A
【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.
4. 已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A. (﹣∞，﹣1]B. (﹣1，)C. [﹣1，)D. (0，1)
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．
【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，
那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，
解得：，且a≥﹣1.
故选：C.
5. 化简的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
6. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，由复合函数单调性求出答案.
【详解】函数的定义域为．
令，其中在上单调递减，在上单调递增．
为单调递增函数，
的单调递增区间为．
故选：C
7. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
又，所以；
又因为函数在上单调递增，所以，
所以.
综上，.
故选：C
8. 若角满足，，则在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据可知是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.
【详解】，是第二或第四象限角；
当是第二象限角时，，，满足；
当是第四象限角时，，，则，不合题意；
综上所述：是第二象限角.
故选：B.
9. 已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，
由扇形的面积公式,得，解得，
由弧长公式，
故选：B
10. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
11. 在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的图象与函数的图象关于轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解.
【详解】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
12. 已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.
【详解】解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，
故选：A
13. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）
【答案】C
【解析】
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
14. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
15. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
16. 给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,csθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.
二、填空题(本题共有8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)
17. 若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为______.
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．
详解】，，
故答案为：.
18. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则
.
故答案为：.
19. ___________
【答案】11
【解析】
【分析】根据指对运算公式求解.
【详解】
故答案为：11
20. 已知，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，求出，进而根据角的范围判断出的符号，最后得到答案.
【详解】由题意，，
因为，所以，则，所以.
故答案为：.
21. 已知函数.若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】画出的图象，由与的图象有两个交点来求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，
，
即与的图象有两个交点，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
22. 若函数的值域为R，则实数a的范围是_______.
【答案】[0，4]
【解析】
【分析】函数的值域为R，故函数的值要取遍中的每一个数，由此解决问题.
【详解】解：因为函数的值域为R，
所以函数值要取遍中的每一个数，
故当时，，满足题意，
当时，则，解得，
综上：.
故答案为：.
23. 已知函数 且)在区间上单调递增， 则a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分与讨论，结合复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，其中，则，
当时，在单调递增，
可得在上单调递增，
则，解得，又，所以；
当时，在单调递减，
可得在上单调递减，
则，解得，所以；
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：
24. 已知，若方程有四个根，且，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果.
【详解】解：因为方程有四个根，
故函数的图象与函数的图象有四个交点，
它们的横坐标分别为，
如图所示，

当时，，且，
故，
当时，，且，
所以，解得，
因为函数的图象与函数的图象有四个交点，
由图可得，，故，
所以，
令，，
在单调递增，
所以，，
故 的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题(本题共2道小题，每小题 10分，共 20分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.将答案填写在答题纸相应位置上，答在试卷上的无效)
25. 已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值；
（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
，
.
【小问2详解】
解：，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故.
26. 已知定义在R上的函数
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解析式可得函数在R上单调递增，解不等式可得在R上恒成立，分离参数利用基本不等式即可求出实数a取值范围；
（2）根据题意可知需满足在上的最小值不限于在上的最小值，对参数进行分类讨论解不等式即可求得结果.
【小问1详解】
由函数和都为R上的单调递增函数可知，
函数在R上单调递增，
由可得不等式恒成立，
即，可得对于恒成立，所以;
又，当且仅当，即时等号成立；
所以，
即可得实数a取值范围是.
【小问2详解】
对任意的可得，
依题意可知即可，且关于对称，
若时，即，则，解得，所以可得；
若，即，则，解得，可得；
若，即，则，解得，所以可得；
综上可知，实数的取值范围是.