专题03 数字图形等规律类解答题精炼2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精炼

这是一份专题03 数字图形等规律类解答题精炼2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精炼，文件包含专题03数字图形等规律类解答题精炼原卷版docx、专题03数字图形等规律类解答题精炼解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
1．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【答案】（1）210﹣1（2）（3）
【解析】（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝
2. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
【答案】（1）2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析
（2）8109或8190或4536或4563．
【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；
（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．
【小问1详解】
解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
理由：∵，，
∴1022不是“勾股和数”；
∵，
∴5055是“勾股和数”；
【小问2详解】
∵为“勾股和数”，
∴，
∴，
∵为整数，
∴，
∵为整数，
∴为3的倍数，
∴①，或，，此时或8190；
②，或，，此时或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
3. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】（1）357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
（2）数A可能为732或372或516或156
【解析】【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴357不是15“和倍数”；
∵，
∴441是9的“和倍数”．
【小问2详解】
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，
∴，
∵为整数，
设（k为整数），
则，
整理得：，
根据得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k为整数，
∴或，
当时，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴不是12的“和倍数”，
∵，
∴不是12的“和倍数”；
当时，，
∵，
∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
4.【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝ ；
【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ ；当n＝5，m＝ 时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ （用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】见解析。
【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．
【解答】（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．
由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，
如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．
方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
【点评】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
5.如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，求S2021的值．
【答案】．
【解析】由正方形的性质得出A1D1∥A2C1，则，得出，同理可得，，，…，，即可得出结果．
解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，，，…，，
∴，
故答案为：．
6．如图，直线l：y＝﹣x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边向上作等边△AOB1过点A1作A1B2平行于x轴，交直线1于点B2以A1B2为边向上作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边向上作等边△A3A2B3，…，求点An的坐标（用含正整数n的代数式表示）
【答案】An（﹣，×）．
【解析】根据题意可得直线l与x轴成30°，OB1＝1，可得OA1＝1，A1A2＝2，A3A2＝4，可推出AnAn﹣1的长，可求OAn，根据锐角三角函数可求An坐标．
如图
∵y＝﹣x﹣与x轴交于点B1
∴当y＝0时，0＝﹣x﹣，
∴x＝﹣1
∴B1（﹣1，0）即B1O＝1
∵y＝﹣x﹣与y轴交于D
当x＝0，y＝﹣，
∴D（0，﹣）
∵tan∠OB1D＝，∴∠OB1D＝30°
∵等边三角形A1OB1，
∴A1O＝1，∠A1OB1＝60°＝∠A1B1O
∴∠B2B1A1＝90°，∠A1OC1＝30°
∵A1B2∥x轴,∴A1B2＝2A1B1＝2＝21．
同理A3A2＝4＝（2）2．
∴等边三角形AnAn﹣1Bn的边长为2 n﹣1．
延长B2A1交y轴于C1，延长B2A1交y轴于C1，延长B2A1交y轴于C1，…
∴A1C1⊥y轴，A2C2⊥y轴，…A2018C2018⊥y轴
∵OAn＝OA1+A1A2+A2A3+…+AnAn﹣1＝1+2+22+23+…+2n﹣1．
∴2OAn＝2+22+23+…+2n﹣1+2n．
∴OAn＝2n﹣1
∵∠A1OC1＝30°
∴An∁n＝＝，O∁n＝An∁n＝×，
∴An（﹣，×）
故答案为An（﹣，×）．