山西省晋中市祁县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

这是一份山西省晋中市祁县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．16的平方根是（ ）
A．±8B．±4C．4D．﹣4
2．下列计算结果正确的是（ ）
A．32−2=3B．12÷3=2C．(23)2=6D．(−3)2=−3
3．如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B，D在同一条直线上， EF//AD ， ∠CAB=∠EDF=90° ， ∠C=45° ， ∠EFD=30° ， ∠BFD 的度数是（ ）
A．15°B．20°C．30°D．45°
4．比赛中，评分时经常要“去掉一个最高分，去掉一个最低分”，所剩数据与原数据比较不受影响的是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
5．下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等B．全等三角形的面积相等
C．如果 a2=b2 那么 a=bD．直角三角形的两锐角互余
6．函数y= 1x−1 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．要画出一次函数 y=kx+b 的图象，列表如下，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．方程 kx+b=2 的解是 x=−4
C．一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限
D．一次函数 y=kx+b 的图象与y轴的交点是 (0，2)
8．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其 23 的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ）
A．x+12y=50y+23x=50B．y+12y=50x+23x=50
C．x−12y=50y−23x=50D．y−12y=50x−23x=50
9．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的是（ ）
①若通话时间少于120分，则A方案便宜②若通话时间超过200分，则B方案便宜③若通讯费用为50元，则A方案的通话时间多④若超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
10．如图①，在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中，点P以每秒 2cm 的速度从点A出发，沿 AB→BC 的路径运动，到点C止，过点P作 PQ//BD ， PO 与边 AD （或边 CD ）交于点Q， PQ 的长度 y(cm) 与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动2.5秒时， PQ 的长度是（ ） cm ．
A．2B．3C．2D．32
二、填空题
11．如果不等式 (a−2)x>a−2 的解集是 x<1 ，那么a必须满足 ．
12．若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是
13．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（ AD 和 BC ），门边沿D，C两点到门槛 AB 的距高是1尺（1尺=10寸），两扇门的间隙 CD 为2寸，则门槛 AB 为 寸．
14．一次函数 y=kx+b 与一次函数 y=x+3 的图象如图所示，那么方程组 y=kx+by=x+3 的解是 ．
15．如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y= acx+bc 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1， 355 ）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是 ．
三、解答题
16．化简与计算
（1）27×3−18+82
（2）12−1−(3−2)2
17．（1）解不等式组 2x−1<53+x2−1⩽4x+36
（2）解方程组 3x+2y=172(x+1)−y=11
18．如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠C=70°，BD平分∠ABC，且∠ADB=35°，求证：AD∥BC．
19．某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）这组跳水运动员年龄众数为 ，中位数 ；
（3）求这组数据的平均数．
20．某景点南北两个游客集散点之间有A、B两种摆渡车通行，某天，摆渡车A从北集散点出发，匀速行驶到南集散点，同时摆渡车B从南集散点出发，运送一批游客匀速行驶到北集散点，两摆渡车距南集散点的距离y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数关系图象如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）南北两个集散点之间的距离是 千米；
（2）求出摆渡车B距南集散点的距离y（千米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（3）点M的坐标为 ，它表示的实际意义是 ．
21．在经济双循环的政策导引下，某汽车专卖店新推出A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为54万元；本周已售出2辆型车和1辆B型车，销售额为48万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号汽车不少于4辆，购车费不超过105万元，有哪几种购车方案？
22．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
23．综合与实践
如图①，已知直线 y=3x+3 与x轴，y轴分别交于B，A两点以B为直角顶点在第二象限内部作等腰 Rt△ABC ，完成下列任务：
（1）点C的坐标为 ；
（2）求直线 AC 的关系式；
（3）如图②，直线 AC 交x轴于M，点 P(−3，a) 是线段 BC 上一点，在线段 BM 上是否存在一点N，使直线 PN 平分 △BCM 的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：C．
【分析】利用平方根的定义求解即可。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：因为 32−2=22 ，故A不符合题意；
因为 12÷3=2 ，故B符合题意；
因为 (23)2=12 ，故C不符合题意；
因为 (−3)2=3 ，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的加减运算逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知 ∠C=∠ABC=45° ，
∵EF//AD ，
∴∠EFB=∠ABC=45° ．
∴∠BFD=∠EFB−∠EFD=45°−30°=15° ．
故答案为：A．
【分析】由EF//AD可知∠EFB=∠ABC=45°，再由∠BFD=∠EFB-∠EFD即可求出∠BFD的大小。
4．【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，对中位数没有影响；
故答案为：B．
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的计算方法及特征逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，故A是真命题；
B、全等三角形的面积相等，故B是真命题；
C、如果 a2=b2 ，那么 a=±b ，故C不符合题意，是假命题；
D、直角三角形的两锐角互余，故D是真命题；
故答案为：C．
【分析】根据对顶角的性质、全等三角形的性质、等式的性质和直角三角形的性质逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数y= 1x−1 有意义，
∴分母必须满足 {x−1≠0x−1≥0 ，
解得： x≠1x≥1 ，
∴x＞1；
故答案为：B．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解，再画出解集即可。
7．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，当x=1时，y=-1，当x=0时，y=2，
则 k+b＝−1b＝2 ，解得： k＝−3b＝2 ，
函数解析式为：y=-3x+2，
A、∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，故不符合题意；
B、当-3x+2=2时，x=0，
∴方程kx+b=2的解是x=0，故不符合题意；
C、∵k=-3＜0，b=2＞0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，故不符合题意；
D、令x=0，则y=2，
∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点为（0，2），故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据函数的性质和图像逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得： x+12y=50y+23x=50 .
故答案为：A.
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其 23 的钱给乙，则乙的钱数也能为50，列出方程组即可。
9．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：①当0≤x≤120，yA=30，yB=50，所以A方案便宜，故① 中的结论符合题意；
②当x＞200时，方案A的图象在方案B的图象上方，所以方案B便宜，故②中的结论符合题意；
③当通讯费用为50元时，方案A的通讯时长为170分钟，方案B的通讯时长最长为200分钟，所以B方案的通话时间多，故③中的结论不符合题意；
④当x＞120，方案A平均每分钟加收费用为： 50−30170−120=2050=0.4 （元/分钟）；
当x＞200，方案B平均每分钟加收费用为： 70−50250−200=2050=0.4 （元/分钟）
所以，超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同，故④中的结论符合题意，
因此正确的结论为①②④．
故答案为：C．
【分析】根据图象可知，在通讯时长为170分钟一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分加收0.4元，由此即可确定答案。
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可得：点P运动2.5秒时，P点运动了5cm，
此时，点P在BC上，如图，
∴CP=8-5=3cm，
Rt△PCQ中，由勾股定理，得 PQ=32+32=32 cm，
故答案为：D．
【分析】根据运动速度乘以时间，可得PQ的长，根据线段的和差，可得PC的长，根据勾股定理可求出答案。
11．【答案】a<2
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1，
∴a-2＜0，
解得，a＜2．
故答案为：a＜2．
【分析】根据不等式的性质可知，-2＜0，求出a的范围即可。
12．【答案】1.2
【知识点】方差
【解析】【解答】解：a=10×5-10-9-12-9=10，
∴方差S2=(10−10)2+(9−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(9−10)25=1.2 ,
故答案为：1.2.
【分析】根据平均数的定义先求得a值，然后根据方差公式求方差即可。
13．【答案】101
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
设单门的宽度AO是x寸，则AE=x-1，DE=10寸，
根据勾股定理，得：AD2=DE2+AE2，
则x2=102+（x-1）2，
解得：x=50.5，
故AB=101寸，
故答案为：101
【分析】设单门的宽度AO是x寸，则AE=x-1，DE=10寸，根据勾股定理列出方程求解即可。
14．【答案】x=−2y=1
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：将y=1代入 y=x+3 中，得： 1=x+3 ，
解得： x=−2 ．
即 M(−2，1) ，且点M为两个一次函数图象的交点，
∴方程组的解为 x=−2y=1 ．
故答案为： x=−2y=1 ．
【分析】根据一次函数与二元一次方程的关系可以知道：两函数图象的交点即是二元一次方程组的解。
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：∵点P (1，355) 在“勾股一次函数”y= acx+bc 的图象上，
∴355=ac+bc 即 a+b=355c ，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C=90°，Rt△ABC的面积是5，
∴12ab=5 ，即ab=10，
又∵a2+b2=c2，
∴（a+b）2﹣2ab=c2，
即∴(355c)2−2×10=c2，
解得c=5，
故答案为5．
【分析】根据题意得到三个关系式：a+b=355c，ab=10，a2+b2=c2，运用完全平方公式即可得到c的值。
16．【答案】（1）解： 27×3−18+82
= 33×3−32+222
= 9−5
=4；
（2）解： 12−1−(3−2)2
= 2+1−(9−62+2)
= 72−10 ；
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式分母有理化及二次根式的乘法化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式分母有理化及完全平方公式展开，再计算即可。
17．【答案】（1）解： 2x−1<5①3+x2−1⩽4x+36②
由①得： x<3 ，
由②得： x≥0 ，
∴不等式组的解集为： 0≤x<3 ；
（2）解： 3x+2y=17①2(x+1)−y=11②
由②得： y=2x−9③ ，
将③代入①得： 3x+2(2x−9)=17 ，
解得： x=5 ，
代入③得： y=1 ，
∴原方程组的解为： x=5y=1 ．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可。
18．【答案】证明：在△ABC中，∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣40°﹣70°=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD= 12 ∠ABC=35°，
∵∠ADB=35°，
∴∠CBD=∠ADB，
∴AD∥BC．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，再根据∠CBD=∠ADB，即可得到结论。
19．【答案】（1）40；30
（2）16岁；15岁
（3）解：观察条形统计图，
∵x=13×4+14×10+15×11+16×12+17×340=15 岁 ，
∴这组数据的平均数为15岁；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）4÷10%=40（人），
m=12÷40×100=30；
故答案为40，30．
（2）观察条形统计图，
∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为16；
∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有 15+152=15 ，
∴这组数据的中位数为15.
故答案为：16岁，15岁；
【分析】（1）利用“13岁”的人数除以对应的百分比即可求出总人数，再利用“16岁”的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）将数据从小到大排列，再根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）利用平均数的计算方法求解即可。
20．【答案】（1）40
（2）解：设B距南集散点的距离y（千米）与x（分钟）之间的函数关系式为： y=kx ，
把(120，40)，代入得：
40=120x，
解得： x=13 ，
∴B距南集散点的距离y（千米）与x（分钟）之间的函数关系式为： y=13x ；
（3）(24，8)；两摆渡车同时出发经24分钟相遇， 此时距南集散点8千米
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）根据图像可知，两个集散点之间的距离是40千米，
故答案为：40；
（3）设A距南集散点的距离y（千米）与x（分钟）之间的函数关系式为： y=kx+b ，
把(0，40)，(30，0)代入得：
b=4030k1+b=0 ，
解得： b=40k=−43 ，
∴y=−43x+40 ，
联立 y=−43x+40 和 y=13x 得：
y=−43x+40y=13x ，
解得： x=24y=8 ，
∴M(24，8)，
它的实际意义是：两摆渡车同时出发经24分钟相遇， 此时距南集散点8千米．
故答案为：(24，8)；两摆渡车同时出发经24分钟相遇， 此时距南集散点8千米．
【分析】（1）根据图象可求出两个集散点之间的距离；
（2）设B距南集散点的距离y（千米）与x（分钟）之间的函数关系式为： y=kx ，将点（120，40）代入计算即可；
（3）设A距南集散点的距离y（千米）与x（分钟）之间的函数关系式为： y=kx+b ，将点(0，40)，(30，0)代入求出一次函数解析式为y=−43x+40，然后联立y=−43x+40y=13x求出答案，即可得到点M的坐标，进而得到点M的实际意义。
21．【答案】（1）解：设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则
x+3y=542x+y=48 ，
解得 x=18y=12 ．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为12万元；
（2）解：设购买A型车m辆，则购买B型车（6-m）辆，则依题意得
18m+12（6-m）≤105，
解得m≤ 336
又∵m≥4，且m是正整数，
∴m=4或5．
共有二种方案：
方案一：购买4辆A型车和2辆B型车；
方案二：购买5辆A型车和1辆B型车．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．根据题意列出方程组x+3y=542x+y=48求解即可；
（2）设购买A型车m辆，则购买B型车（6-m）辆，根据题意列出不等式18m+12（6-m）≤105求解即可。
22．【答案】（1）∠1=2∠A
（2）∠1+∠2=2∠A
（3）解：数量关系： ∠2−∠1=2∠A
理由：如下图，连接 AA′
由（1）可知：∠1=2∠ DAA′ ，∠2=2∠ EAA′
∴∠2−∠1=2(∠EAA′−∠DAA′)=2∠DAE ；
（4）∠1+∠2=2∠A+2∠B−360°
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵△ EDA' 是△EDA折叠得到
∴∠A=∠ A′
∵∠1是△ ADA' 的外角
∴∠1=∠A+∠ A′
∴∠1=2∠A ；
（2）∵在四边形 A′EAD 中，内角和为360°
∴∠A+ A′ +∠ A′DA+ ∠ A′EA =360°
同理，∠A=∠ A′
∴2∠A+∠ A′DA+ ∠ A′EA =360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠ A′DA+ ∠ A′EA +∠2=360°
∴∠1+∠2=2∠A ；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得： ∠1+∠2=360°−2(360°−∠A−∠B)=2∠A+2∠B−360° ．
【分析】（1）根据折叠的性质和三角形的外角定理得到结论；
（2）先根据折叠得到∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得到∠1+∠2=360°与四个折叠角的差，化简得到结果；
（3）利用两次外角定理可以得到结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得到：∠BNM=∠B'MN，∠ANM=∠A'NM，再由两平角的和为360°得到∠1+∠2=360°-2∠BMN-2∠ANM，根据四边形的内角和得到∠BMN+∠ANM=360°-∠A-∠B，代入前式可得结论。
23．【答案】（1）C(−4，1)
（2）解：设直线AC的解析式为： yAC=kx+b ，
由A（0，3），C（ −4 ，1）可知，
b=3−4k+b=1 ，解得 k=12b=3 ，
∴直线AC： yAC=12x+3 ；
（3）解：如图，
∵点B（ −1 ，0），点C（ − 4，1），
直线BC： y=−13x−13 ，
∵P(−3，a) 是线段BC上一点，
∴P(−3，23) ，
由 yAC=12x+3 知，点M为（ − 6，0），
∴BM=5，则S△BCM= 52 ．
设点N（n，0），且点N在线段BM上，则BN= −1−n ，
假设存在点N使△BPN面积等于△BCM面积的一半，
则 12 BN•yP= 12 × 52 ，
∴12×(−1−n)×23=54 ，
解得： n=−194 ，
∴点N的坐标为（ −194 ，0）；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵y=3x+3 ，
令x=0，则y=3，令y=0，则x= −1 ，
∴点A为（0，3），点B为（ −1 ，0），
∴OA=3，OB=1；
如图，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ（AAS），
∴BQ=AO=3，OQ=BQ+BO=4，CQ=OB=1，
∴C（ − 4，1）；
【分析】（1）作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ（AAS），根据全等三角形的性质求出OQ，CQ的长，确定C点坐标即可；
（2）由待定系数法求解即可；
（3）根据题意确定P点的坐标，可知△BPN中BN边上的高，再由△BPN面积等于△BCM面积的一半，列出方程12 BN•yP= 12 × 52求解即可。 x
…
−1
0
1
2
…
y
…
5
2
−1
−4
…