江苏省苏州市2022-2023学年 七年级下数学第二次月考模拟卷(一)
展开一.选择题(共8小题)
1.下列运算正确的是( )
A.3ab﹣ab=3B.(a+b)2=a2+b2
C.a÷a﹣1=1(a≠0)D.(﹣3a2b)2=9a4b2
2.若m>n,下列不等式一定成立的是( )
A.m﹣2>n+2B.2m>2nC.−m2>n2D.m2>n2
3.学习平行线的性质后,老师给小明出了一道题:如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是多少度?请你帮小明求出( )
A.120°B.130°C.140°D.150°
4.若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积,且其中一个一次因式2x﹣3,则a的值为( )
A.1B.5C.﹣1D.﹣5
5.下列命题中共有几个真命题( )
①各边相等的两个多边形一定全等;
②三角形的三个内角中至少有两个锐角;
③三角形的内角大于它的外角;
④同旁内角互补.
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.根据下列条件不能画出唯一△ABC的是( )
A.AB=5,BC=6,AC=7B.AB=5,BC=6,∠B=45°
C.AB=5,AC=4,∠C=90°D.AB=3,AC=4,∠C=5°
7.观察:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1,(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1,(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,据此规律,当(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=0时,代数式x2021﹣1的值为( )
A.1B.0C.1或﹣1D.0或﹣2
8.如图,△OAB为等腰直角三角形(∠A=∠B=45°,∠AOB=90°),△OCD为等边三角形(∠C=∠D=∠COD=60°),满足OC>OA,△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始,逆时针旋转,旋转的角度为α(0°<α<360°),下列说法正确的有( )个
①当α=15°时,DC∥AB;②当OC⊥AB时,α=45°;③当边OB与边OD在同一直线上时,直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°;④整个旋转过程,共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
A.1B.2C.3D.4
二.填空题(共8小题)
9.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题: .
10.若am=8,an=2,则am﹣n= .
11.已知x=2﹣t,y=3t﹣1,用含x的代数式表示y,可得y= .
12.一元一次不等式的解集在数轴上如图表示,该不等式有两个负整数解,则a的取值范围是 .
13.如图,按下面的程序进行运算.规定:程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算.若运算进行了3次才停止,则x的取值范围是 .
14.如图,在△ACD中,∠CAD=90°,AC=6,AD=8,AB∥CD,E是CD上一点,BE交AD于点F,若EF=BF,则图中阴影部分的面积为 .
15.若m2=n+2021,n2=m+2021(m≠n),那么代数式m3﹣2mn+n3的值 .
16.如图,任意画一个∠BAC=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相交于点P,连接AP,有以下结论:①∠BPC=120°;②AP平分∠BAC;③AD=AE;④PD=PE;⑤BD+CE=BC;其中正确的结论为 .(填写序号)
三.解答题(共9小题)
17.计算:
(1)计算−12022+(π−3)0+(12)−1;
(2)(﹣a)3•a2+(2a4)2÷a3.
18.分解因式:
(1)6x2﹣9xy+3x;
(2)xy2﹣x.
19.(1)解方程组x+2y=42x+3y=1;
(2)解不等式组3(x−1)<5x+12x−4≤x−12,并写出它的最大整数解.
20.先化简,再求值:(a+b)(a﹣b)﹣(a﹣b)2+2b2,其中a=﹣3,b=12.
21.如图,在△ABC中,点E是AC上一点,AE=AB,过点E作DE∥AB,且DE=AC.
(1)求证:△ABC≌△EAD;
(2)若∠B=76°,∠ADE=32°,∠ECD=52°,求∠CDE的度数.
22.为了美化校园,我校欲购进甲、乙两种工具,如果购买甲种3件,乙种2件,共需56元;如果购买甲种1件,乙种4件,共需32元.
(1)甲、乙两种工具每件各多少元?
(2)现要购买甲、乙两种工具共100件,总费用不超过1000元,那么甲种工具最多购买多少件?
23.【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,两个边长分别为a,b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积.
(1)方法一可表示为 ;
方法二可表示为 ;
(2)根据方法一和方法二,你能得出a,b,c之间的数量关系是 (等式的两边需写成最简形式);
(3)由上可知,一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为 .
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.如图2是边长为a+b的正方体,被如图所示的分割线分成8块.
(4)用不同方法计算这个正方体体积,就可以得到一个等式,这个等式可以为 .(等号两边需化为最简形式)
(5)已知2m﹣n=4,mn=2,利用上面的规律求8m3﹣n3的值.
24.如图,已知正方形ABCD中,边长为10cm,点E在AB边上,BE=6cm.点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动,设运动的时间为t秒.
(1)CP的长为 cm(用含t的代数式表示);
(2)若存在某一时刻t,使得△EBP和△PCQ同时为等腰直角三角形时,求t与a的值.
(3)若以E,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角形全等,求t与a的值.
25.如图,MN∥GH,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若∠NAO=116°,∠OBH=144°.
(1)∠AOB= °;
(2)如图2,点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点,且∠CDB=35°,求∠ACD的度数;
(3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若∠MAE=n∠OAE,∠HBF=n∠OBF,且∠AFB=60°,求n的值.
江苏省苏州市2022-2023学年度
七年级下数学第二次月考模拟卷(一)
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.下列运算正确的是( )
A.3ab﹣ab=3B.(a+b)2=a2+b2
C.a÷a﹣1=1(a≠0)D.(﹣3a2b)2=9a4b2
【考点】完全平方公式;负整数指数幂;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法.
【分析】根据合并同类项,完全平方公式,同底数幂的除法,幂的乘方与积的乘方法则作答.
【解答】解:A、3ab﹣ab=2ab,故本选项不符合题意;
B、(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不符合题意;
C、a÷a﹣1=a2,故本选项不符合题意;
D、(﹣3a2b)2=9a4b2,故本选项符合题意.
故选:D.
2.若m>n,下列不等式一定成立的是( )
A.m﹣2>n+2B.2m>2nC.−m2>n2D.m2>n2
【考点】不等式的性质.
【分析】根据不等式的性质:不等式的两边都加(或减)同一个数,不等号的方向不变,不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,可得答案.
【解答】解:A、左边减2,右边加2,故A错误;
B、两边都乘以2,不等号的方向不变,故B正确;
C、左边除以﹣2,右边除以2,故C错误;
D、两边乘以不同的数,故D错误;
故选:B.
3.学习平行线的性质后,老师给小明出了一道题:如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是多少度?请你帮小明求出( )
A.120°B.130°C.140°D.150°
【考点】平行线的性质.
【分析】作BD∥AE,如图,利用平行线的传递性得到BD∥CF,再根据平行线的性质由BD∥AE得到∠ABD=∠A=120°,则∠DBC=30°,然后利用BD∥CF求出∠C.
【解答】解:作BD∥AE,如图,
∵AE∥CF,
∴BD∥CF,
∵BD∥AE,
∴∠ABD=∠A=120°,
∴∠DBC=150°﹣120°=30°,
∵BD∥CF,
∴∠C+∠DBC=180°,
∴∠C=180°﹣30°=150°.
故选:D.
4.若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积,且其中一个一次因式2x﹣3,则a的值为( )
A.1B.5C.﹣1D.﹣5
【考点】因式分解﹣十字相乘法等.
【分析】先分解,再对比求出a.
【解答】解:∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积,且其中一个次因式2x﹣3,﹣6=﹣3×2.
∴2x2+ax﹣6=(2x﹣3)(x+2)=2x2+x﹣6.
∴a=1.
故选A.
5.下列命题中共有几个真命题( )
①各边相等的两个多边形一定全等;
②三角形的三个内角中至少有两个锐角;
③三角形的内角大于它的外角;
④同旁内角互补.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】命题与定理.
【分析】根据全等图形的概念、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质判断即可.
【解答】解:①各边相等的两个多边形不一定全等,故本小题说法是假命题;
②三角形的三个内角中至少有两个锐角,本小题说法是真命题;
③三角形的内角大于与它不相邻的外角,故本小题说法是假命题;
④两直线平行,同旁内角互补,故本小题说法是假命题;
故选:A.
6.根据下列条件不能画出唯一△ABC的是( )
A.AB=5,BC=6,AC=7B.AB=5,BC=6,∠B=45°
C.AB=5,AC=4,∠C=90°D.AB=3,AC=4,∠C=5°
【考点】全等三角形的判定.
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.
【解答】解:A.符合全等三角形的判定定理SSS,能作出唯一的△ABC,故本选项不符合题意;
B.符合全等三角形的判定定理SAS,能作出唯一的△ABC,故本选项不符合题意;
C.符合两直角三角形全等的判定定理HL,能作出唯一的△ABC,故本选项不符合题意;
D.不符合全等三角形的判定定理,不能作出唯一的△ABC,故本选项符合题意;
故选:D.
7.观察:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1,(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1,(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,据此规律,当(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=0时,代数式x2021﹣1的值为( )
A.1B.0C.1或﹣1D.0或﹣2
【考点】平方差公式;规律型:数字的变化类;多项式乘多项式.
【分析】先根据规律求x的值,再求代数式的值.
【解答】解:∵(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=0.
∴x6﹣1=0.
∴x6=1.
∴(x3)2=1.
∴x3=±1.
∴x=±1.
当x=1时,原式=12021﹣1=0.
当x=﹣1时,原式=12021﹣1=﹣2.
故选:D.
8.如图,△OAB为等腰直角三角形(∠A=∠B=45°,∠AOB=90°),△OCD为等边三角形(∠C=∠D=∠COD=60°),满足OC>OA,△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始,逆时针旋转,旋转的角度为α(0°<α<360°),下列说法正确的有( )个
①当α=15°时,DC∥AB;②当OC⊥AB时,α=45°;③当边OB与边OD在同一直线上时,直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°;④整个旋转过程,共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
A.1B.2C.3D.4
【考点】旋转的性质;平行线的判定与性质;直角三角形的性质.
【分析】设OC与AB交点为M,OD与AB交点为N,当α=15°时,可得∠OMN=α+∠A=60°,可证DC∥AB;当OC⊥AB时,α+∠A=90°,可得α=30°;当边OB与边OD在同一直线上时,应分两种情况分别计算出夹角即可;整个旋转过程,因OC、OB、OD、OA都有交点,只有AB和CD、OA和CD、OB和CD存在平行,根据图形的对称性可判断有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行.
【解答】解:设OC与AB交点为M,OD与AB交点为N,
当α=15°时,∠OMN=α+∠A=60°,
∴∠OMN=∠C,
∴DC∥AB,
故①正确;
当OC⊥AB时,α+∠A=90°或α﹣180°=90°﹣∠A,
∴α=45°或225°,
故②错误;
当边OB与边OD在同一直线上时,设CD与AB交点为E,分以下两种情况,
(1)OB与OD重合时,如下图
此时∠EBO=∠ABO=45°,∠EDB=180°﹣∠ODC=180°﹣60°=120°,
∴∠E=180°﹣∠EBO﹣∠EDB=180°﹣45°﹣120°=15°,
(2)OB与OD在同一直线上且不重合时,如下图,
此时∠∠EBD=45°,∠EDB=180°﹣∠ODC=180°﹣60°=120°,
∴∠E=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=180°﹣45°﹣120°=15°,
故③正确;
整个旋转过程,因OC、OB、OD、OA都有交点,故有AB和CD、OA和CD、OB和CD存在平行,还有AB与OC,OD分别平行,根据图形的对称性可判断有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行,
故④正确;
故选:C.
二.填空题(共8小题)
9.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题: 两个角相等三角形是等腰三角形 .
【考点】命题与定理.
【分析】先找到原命题的题设和结论,再将题设和结论互换,即可而得到原命题的逆命题.
【解答】解:∵原命题的题设是:“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”,
故答案为:两个角相等三角形是等腰三角形.
10.若am=8,an=2,则am﹣n= 4 .
【考点】同底数幂的除法.
【分析】根据同底数幂的除法法则求解.
【解答】解:am﹣n=aman=8÷2=4.
故答案为:4.
11.已知x=2﹣t,y=3t﹣1,用含x的代数式表示y,可得y= 5﹣3x .
【考点】解二元一次方程.
【分析】先用含有x的式子表示t,然后代入y=3t﹣1中,直接求解.
【解答】解:∵x=2﹣t,
∴t=2﹣x,
代入y=3t﹣1得,y=3(2﹣x)﹣1=5﹣3x,
即y=5﹣3x.
故答案为:5﹣3x.
12.一元一次不等式的解集在数轴上如图表示,该不等式有两个负整数解,则a的取值范围是 ﹣3<a≤﹣2 .
【考点】一元一次不等式的整数解;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】先根据数轴写出不等式的解集,再根据该不等式有两个负整数解,可以写出这两个负整数,从而可以得到a的取值范围.
【解答】解:由数轴可得,
x≥a,
∵该不等式有两个负整数解,
∴这两个负整数解是﹣1,﹣2,
∴﹣3<a≤﹣2,
故答案为:﹣3<a≤﹣2.
13.如图,按下面的程序进行运算.规定:程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算.若运算进行了3次才停止,则x的取值范围是 2<x≤4 .
【考点】一元一次不等式组的应用.
【分析】根据第二次运算结果不大于28,且第三次运算结果要大于28,列出关于x的一元一次不等式组,解之即可得出x的取值范围.
【解答】解:依题意得:3(3x−2)−2≤283[3(3x−2)−2]−2>28,
解得:2<x≤4,
故答案为:2<x≤4.
14.如图,在△ACD中,∠CAD=90°,AC=6,AD=8,AB∥CD,E是CD上一点,BE交AD于点F,若EF=BF,则图中阴影部分的面积为 24 .
【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的性质;三角形的面积.
【分析】证明△BAF≌△EDF(AAS),则S△BAF=S△DEF,利用割补法可得阴影部分的面积.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠D,
在△BAF和△EDF中,
∠BAD=∠D∠AFB=∠DFEBF=EF,
∴△BAF≌△EDF(AAS),
∴S△BAF=S△DEF,
∴图中阴影部分的面积=S四边形ACEF+S△AFB=S△ACD=12⋅AC⋅AD=12×6×8=24.
故答案为:24.
15.若m2=n+2021,n2=m+2021(m≠n),那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ﹣2021 .
【考点】因式分解的应用.
【分析】将两式m2=n+2021,n2=m+2021相减得出m+n=﹣1,将m2=n+2021两边乘以m,n2=m+2021两边乘以n再相加便可得出.
【解答】解:将两式m2=n+2021,n2=m+2021相减,
得m2﹣n2=n﹣m,
(m+n)(m﹣n)=n﹣m,(因为m≠n,所以m﹣n≠0),
m+n=﹣1,
解法一:
将m2=n+2021两边乘以m,得m³=mn+2021m①,
将n2=m+2021两边乘以n,得n³=mn+2021n②,
由①+②得:m³+n³=2mn+2021(m+n),
m³+n³﹣2mn=2021(m+n),
m³+n³﹣2mn=2021×(﹣1)=﹣2021.
故答案为﹣2021.
解法二:
∵m2=n+2021,n2=m+2021(m≠n),
∴m2﹣n=2021,n2﹣m=2021(m≠n),
∴m3﹣2mn+n3
=m3﹣mn﹣mn+n3
=m(m2﹣n)+n(n2﹣m)
=2021m+2021n
=2021(m+n)
=﹣2021,
故答案为﹣2021.
16.如图,任意画一个∠BAC=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相交于点P,连接AP,有以下结论:①∠BPC=120°;②AP平分∠BAC;③AD=AE;④PD=PE;⑤BD+CE=BC;其中正确的结论为 ①②④⑤ .(填写序号)
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数,再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数,①正确;由∠BPC=120°可知∠DPE=120°,过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线,②正确;PF=PG=PH,故∠AFP=∠AGP=90°,由四边形内角和定理可得出∠FPG=120°,故∠DPF=∠EPG,由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE,故可得出PD=PE,④正确;由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP,△CHP≌△CGP,故可得出BH=BD+DF,CH=CE﹣GE,再由DF=EG可得出BC=BD+CE,⑤正确;即可得出结论.
【解答】解:∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线,∠BAC=60°,
∴∠PBC+∠PCB=12(180°﹣∠BAC)=12(180°﹣60°)=60°,
∴∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣60°=120°,①正确;
∵∠BPC=120°,
∴∠DPE=120°,
过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线,
∴AP是∠BAC的平分线,②正确;
∴PF=PG=PH,
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°,
∴∠FPG=120°,
∴∠DPF=∠EPG,
在△PFD与△PGE中,∠DFP=∠EGPPF=PG∠DPF=∠EPG,
∴△PFD≌△PGE(ASA),
∴PD=PE,④正确;
在Rt△BHP与Rt△BFP中,BP=BPPF=PH,
∴Rt△BHP≌Rt△BFP(HL),
同理,Rt△CHP≌Rt△CGP,
∴BH=BD+DF,CH=CE﹣GE,
两式相加得,BH+CH=BD+DF+CE﹣GE,
∵DF=EG,
∴BC=BD+CE,⑤正确;
没有条件得出AD=AE,③不正确;
故答案为:①②④⑤.
三.解答题(共9小题)
17.计算:
(1)计算−12022+(π−3)0+(12)−1;
(2)(﹣a)3•a2+(2a4)2÷a3.
【考点】整式的除法;零指数幂;负整数指数幂;有理数的减法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】(1)直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简,进而合并得出答案;
(2)直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则分别化简,进而计算得出答案.
【解答】解:(1)原式=﹣1+1+2
=2;
(2)原式=﹣a5+4a8÷a3
=﹣a5+4a5
=3a5.
18.分解因式:
(1)6x2﹣9xy+3x;
(2)xy2﹣x.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】(1)直接提公因式3x可分解因式;
(2)先提公因式x,再根据平方差公式可解答.
【解答】解:(1)6x2﹣9xy+3x
=3x(2x﹣3y+1);
(2)xy2﹣x
=x(y2﹣1)
=x(y+1)(y﹣1).
19.(1)解方程组x+2y=42x+3y=1;
(2)解不等式组3(x−1)<5x+12x−4≤x−12,并写出它的最大整数解.
【考点】一元一次不等式组的整数解;解二元一次方程组;解一元一次不等式组.
【分析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,进而求出最大整数解即可.
【解答】解:(1)x+2y=4①2x+3y=1②,
①×2﹣②得:y=7,
把y=7代入①得:x+14=4,
解得:x=﹣10,
则方程组的解为x=−10y=7;
(2)3(x−1)<5x+1①2x−4≤x−12②,
由①得:x>﹣2,
由②得:x≤73,
∴不等式组的解集为﹣2<x≤73,
则不等式组最大整数解为2.
20.先化简,再求值:(a+b)(a﹣b)﹣(a﹣b)2+2b2,其中a=﹣3,b=12.
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】原式利用平方差公式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2=2ab,
当a=﹣3,b=12时,原式=﹣3.
21.如图,在△ABC中,点E是AC上一点,AE=AB,过点E作DE∥AB,且DE=AC.
(1)求证:△ABC≌△EAD;
(2)若∠B=76°,∠ADE=32°,∠ECD=52°,求∠CDE的度数.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据两直线平行,内错角相等可得∠BAC=∠AED,再利用“边角边”证明即可;
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠EAD,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED,再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.
【解答】(1)证明:∵DE∥AB,
∴∠BAC=∠AED,
在△ABC和△EAD中,AE=AB∠BAC=∠AEDDE=AC,
∴△ABC≌△EAD(SAS);
(2)解:∵△ABC≌△EAD,
∴∠B=∠EAD=76°,
由三角形的外角性质得,∠CED=∠EAD+∠ADE=76°+32°=108°,
在△CDE中,∠CDE=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣108°﹣52°=20°.
22.为了美化校园,我校欲购进甲、乙两种工具,如果购买甲种3件,乙种2件,共需56元;如果购买甲种1件,乙种4件,共需32元.
(1)甲、乙两种工具每件各多少元?
(2)现要购买甲、乙两种工具共100件,总费用不超过1000元,那么甲种工具最多购买多少件?
【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设甲种工具每件x元,乙种工具每件y元,根据“如果购买甲种3件,乙种2件,共需56元;如果购买甲种1件,乙种4件,共需32元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设甲种工具购买了m件,则乙种工具购买了(100﹣m)件,根据总价=单价×数量结合总费用不超过1000元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
【解答】解:(1)设甲种工具每件x元,乙种工具每件y元,
依题意得:3x+2y=56x+4y=32,
解得:x=16y=4.
答:甲种工具每件16元,乙种工具每件4元.
(2)设甲种工具购买了m件,则乙种工具购买了(100﹣m)件,
依题意得:16m+4(100﹣m)≤1000,
解得:m≤50.
答:甲种工具最多购买50件.
23.【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,两个边长分别为a,b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积.
(1)方法一可表示为 12ab+12ab+12c2 ;
方法二可表示为 12(a+b)2 ;
(2)根据方法一和方法二,你能得出a,b,c之间的数量关系是 c2=a2+b2 (等式的两边需写成最简形式);
(3)由上可知,一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为 10 .
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.如图2是边长为a+b的正方体,被如图所示的分割线分成8块.
(4)用不同方法计算这个正方体体积,就可以得到一个等式,这个等式可以为 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 .(等号两边需化为最简形式)
(5)已知2m﹣n=4,mn=2,利用上面的规律求8m3﹣n3的值.
【考点】勾股定理;认识立体图形;几何体的表面积.
【分析】(1)分两种方法表示出面积即可;
(2)把(1)中的式子整理可得答案;
(3)把数值代入(2)中得到的结论即可;
(4)分两种方法表示出体积即可;
(5)根据(4)的等式代入数值可得答案.
【解答】解:(1)方法一可表示为:12ab+12ab+12c2;
方法二可表示为:12(a+b)2.
故答案为:12ab+12ab+12c2;12(a+b)2.
(2)∵12ab+12ab+12c2=12(2ab+c2),
12(a+b)2=12(2ab+a2+b2),
∴12(2ab+c2)=12(2ab+a2+b2),
∴c2=a2+b2.
故答案为:c2=a2+b2.
(3)∵c2=a2+b2=82+62=100,
∴c=10.
故答案为:10.
(4)方法一可表示为:(a+b)3;
方法二可表示为:a3+3a2b+3ab2+b3.
∴等式为:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
故答案为:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
(5)由(4)可得:
(2m﹣n)3=8m3﹣12m2n+6mn2﹣n3=8m3﹣n3﹣6mn(2m﹣n),
∵2m﹣n=4,mn=2,
∴64=8m3﹣n3﹣6×2×4,
∴8m3﹣n3=64+48=112.
24.如图,已知正方形ABCD中,边长为10cm,点E在AB边上,BE=6cm.点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动,设运动的时间为t秒.
(1)CP的长为 (10﹣4t) cm(用含t的代数式表示);
(2)若存在某一时刻t,使得△EBP和△PCQ同时为等腰直角三角形时,求t与a的值.
(3)若以E,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角形全等,求t与a的值.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)根据PC=BC﹣PB计算即可.
(2)根据等腰直角三角形的性质构建方程求解即可.
(3)分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答.
【解答】解:(1)PC=BC﹣BP=(10﹣4t)cm,
故答案为(10﹣4t).
(2)当△BPE是等腰直角三角形时,BE=BP=6cm,
∴t=64=1.5,
当△PCQ是等腰直角三角形时,PC=CQ=10﹣6=4(cm),
∴a=41.5=83
综上所述,t=1.5,a=83.
(2)当△BPE≌△CPQ时,
BP=PC,BE=CQ,
即4t=10﹣4t,at=6,
解得t=54,a=4.8
当△BPE≌△CQP时,
BP=CQ,BE=PC,
即4t=at,10﹣4t=6,
解得t=1,a=4.
25.如图,MN∥GH,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若∠NAO=116°,∠OBH=144°.
(1)∠AOB= 100 °;
(2)如图2,点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点,且∠CDB=35°,求∠ACD的度数;
(3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若∠MAE=n∠OAE,∠HBF=n∠OBF,且∠AFB=60°,求n的值.
【考点】平行线的性质.
【分析】(1)过O作OP∥MN,由MN∥OP∥GH,得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,故∠AOB=100°;
(2)过C作CE∥MN,过D作DF∥MN,由MN∥CE∥DF∥GH,得∠NAC=∠ACE,∠ECD=∠CDF,∠FDB=∠DBG,而AC平分∠NAO,BD平分∠OBG,∠NAO=116°,∠OBH=144°,即得∠ACE=∠NAC=12∠NAO=58°,∠FDB=∠DBG=12∠OBG=12(180°﹣∠OBH)=18°,根据∠CDB=35°,得∠CDF=∠CDB﹣∠FDB=17°=∠ECD,即得∠ACD=∠ACE+∠ECD=75°;
(3)设BF交MN于T,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=nn+1×64°=∠FAT,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=nn+1×144°,从而∠FTN=∠FBH=nn+1×144°,又∠FTN=∠F+∠FAT,得nn+1×144°=60°+nn+1×64°,即得n=3.
【解答】解:(1)过O作OP∥MN,如图:
∵MN∥GH,
∴MN∥OP∥GH,
∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,
∵∠NAO=116°,∠OBH=144°,
∴∠AOB=360°﹣116°﹣144°=100°,
故答案为:100.
(2)过C作CE∥MN,过D作DF∥MN,如图:
∵MN∥GH,
∴MN∥CE∥DF∥GH,
∴∠NAC=∠ACE,∠ECD=∠CDF,∠FDB=∠DBG,
∵AC平分∠NAO,BD平分∠OBG,∠NAO=116°,∠OBH=144°,
∴∠ACE=∠NAC=12∠NAO=58°,∠FDB=∠DBG=12∠OBG=12(180°﹣∠OBH)=18°,
∵∠CDB=35°,
∴∠CDF=∠CDB﹣∠FDB=17°=∠ECD,
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=75°;
(3)设BF交MN于T,如图:
∵∠NAO=116°,
∴∠MAO=64°,
∵∠MAE=n∠OAE,
∴∠MAE=nn+1×64°=∠FAT,
∵∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,
∴∠FBH=nn+1×144°,
∵MN∥GH,
∴∠FTN=∠FBH=nn+1×144°,
∵∠FTN=∠F+∠FAT,
∴nn+1×144°=60°+nn+1×64°,
解得n=3
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