2022-2023学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）中国空间站离地球的远地点距离约为，其中347000用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
2．（3分）的绝对值是
A．3B．C．D．
3．（3分）如图，分别是从上面、正面、左面看某立体图形得到的平面图形，则该立体图形是下列的
A．长方体B．圆柱C．三棱锥D．三棱柱
4．（3分）下列等式变形正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（3分）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是
A．点在线段上
B．点在线段的延长线上
C．射线与射线是同一条射线
D．
6．（3分）若，则多项式的值为
A．B．1C．D．0
7．（3分）如图，直角三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为
A．B．C．D．
8．（3分）已知，两地相距15千米，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米．甲、乙分别从，两地出发，背向而行，请问几小时后，两人相距60千米？设小时后，两人相距60千米，则下面列出的方程中正确的是
A．B．C．D．
9．（3分）已知点，在数轴上的位置如图所示，若点，分别表示数，，且满足，则下列各式的值一定是正数的是
A．B．C．D．
10．（3分）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是
A．
B．小长方形的周长为
C．与的周长和恰好等于长方形的周长
D．只需知道和的值，即可求出与的周长和
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．（3分）计算： ．
12．（3分）写出一个整式，这个整式与进行加减运算后，结果是单项式： ．
13．（3分）若是关于的方程的解，则的值为 ．
14．（3分）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为 ．
15．（3分）一个角的补角恰好是这个角的3倍，则这个角的度数是 ．
16．（3分）从正整数1，2，3，，15中，选出组数，满足以下三个条件：
①每组2个数不相等；
②任意两组都不含有相同的数；
③每组2个数的和互不相同且不超过15．
根据以上条件，回答下列问题：
（1）若，请写出一种选取方案：第1组： ，第2组： ；
（2）的最大值为 ．
三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18题4分，第19题8分，第20题4分，第21题5分，第22-24题，每题4分，第25题6分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（4分）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
20．（4分）如图，已知线段．
（1）选择合适的画图工具，按下列步骤画图：
①延长线段至点，使；
②在线段上方画射线，使；
③在射线上取一点（不与点重合），连接，．
（2）根据画出的图形，判断与的长短（直接写出答案）．
21．（4分）北京奥林匹克森林公园位于北京中轴延长线的最北端，是亚洲最大的城市绿化景观．某校七年级2班学生计划去奥森公园划船，游船价格如表：
已知所有学生均有座位且划船1小时，请解决下面问题：
（1）若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？
（2）请你直接写出一种比（1）中省钱的租船方案： 条四座电瓶船， 条六座电瓶船．
22．（5分）如图，已知，点在线段上，，为的中点．
（1）求的长；
（2）点在线段的延长线上，且．请判断点是否为线段的中点，并说明理由．
23．（4分）已知关于的方程．
（1）当，时，方程的解为 ；
（2）若是方程的解，用等式表示与满足的数量关系： ；
（3）若这个方程的解与关于的方程的解相同，则的值为 ．
24．（4分）定义一种新运算★：当时，★；当时，★．例如，1★．
（1）计算：1★ ；
（2）对于式子★，
①若★，求的值；
②当的值分别取，，，为整数）时，式子★的值的和的最大值为 ．
25．（6分）已知，，且不与重合）．
（1）当时，若射线在内，请用量角器在图1中画出射线，则的度数为 ；
（2）当时，平分，求的度数．
26．（7分）对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数．
例如，对于数组，2，3，因为：，，，取为原点，为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．
已知是数组的收纳系数，此时线段的端点，表示的数分别为，．
（1）对数组，2，，在1，，这三个数中，可能是 ；
（2）对数组，2，，若的最大值为，求的值；
（3）已知100个连续整数中第一个整数为，从中选择个数，组成数组．
①当，且时，直接写出的最大值；
②当时，直接写出的最大值和相应的的最小值．
2022-2023学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每题3分）.第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）中国空间站离地球的远地点距离约为，其中347000用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
2．（3分）的绝对值是
A．3B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
3．（3分）如图，分别是从上面、正面、左面看某立体图形得到的平面图形，则该立体图形是下列的
A．长方体B．圆柱C．三棱锥D．三棱柱
【解答】解：一个立体图形从正面、左面看到的平面图形是一个长方形，从上面看到的平面图形是一个三角形，则这个立体图形是有两个底面是三角形的三棱柱．
故选：．
4．（3分）下列等式变形正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解答】解：、由，得，原变形错误，故本选项不符合题意；
、由，得，原变形错误，故本选项不符合题意；
、由，得，原变形错误，故本选项不符合题意；
、由，得，原变形正确，故本选项符合题意．
故选：．
5．（3分）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是
A．点在线段上
B．点在线段的延长线上
C．射线与射线是同一条射线
D．
【解答】解：点在线段的延长线上，
选项不符合题意；
点在线段的反向延长线上，
选项不符合题意；
射线与射线是两条射线，
选项不符合题意；
，
选项符合题意．
故选：．
6．（3分）若，则多项式的值为
A．B．1C．D．0
【解答】解：，
，
，
故选：．
7．（3分）如图，直角三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：根据图，可知
，
，，
，
故选：．
8．（3分）已知，两地相距15千米，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米．甲、乙分别从，两地出发，背向而行，请问几小时后，两人相距60千米？设小时后，两人相距60千米，则下面列出的方程中正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：设小时后，两人相距60千米，
根据题意得，，
故选：．
9．（3分）已知点，在数轴上的位置如图所示，若点，分别表示数，，且满足，则下列各式的值一定是正数的是
A．B．C．D．
【解答】解：由，可知可能是负数，是正数，故不符合题意；
由，，可知一定是正数，所以一定是负数，故不符合题意；
由，，可知一定是正数，所以一定是正数，故符合题意；
由，，可知可能是正数，所以可能是负数，故不符合题意；
故选：．
10．（3分）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是
A．
B．小长方形的周长为
C．与的周长和恰好等于长方形的周长
D．只需知道和的值，即可求出与的周长和
【解答】解：、由图可知，，故本选项结论错误，不符合题意；
、小长方形的周长为：，故本选项结论错误，不符合题意；
、小长方形的周长为，小长方形的周长为：，
所以与的周长和为：，
长方形的周长为：，
如果与的周长和恰好等于长方形的周长，那么，即，但是图中，
故本选项结论错误，不符合题意；
、由知，与的周长和为，
所以只需知道和的值，即可求出与的周长和，
故本选项结论正确，符合题意．
故选：．
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．（3分）计算： ．
【解答】解：
，
故答案为：．
12．（3分）写出一个整式，这个整式与进行加减运算后，结果是单项式： （答案不唯一） ．
【解答】解：写出一个整式，这个整式与进行加减运算后，结果是单项式，
这个整式是的同类项，可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
13．（3分）若是关于的方程的解，则的值为 2 ．
【解答】解：将代入原方程得，
解得：，
的值为2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为 ．
【解答】解：在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，
，
，
轮船在南偏东的方向，
，
．
故答案为：．
15．（3分）一个角的补角恰好是这个角的3倍，则这个角的度数是 ．
【解答】解：设这个角的度数为，则它的补角为，
依题意，得，
解得．
答：这个角的度数为．
故答案为：．
16．（3分）从正整数1，2，3，，15中，选出组数，满足以下三个条件：
①每组2个数不相等；
②任意两组都不含有相同的数；
③每组2个数的和互不相同且不超过15．
根据以上条件，回答下列问题：
（1）若，请写出一种选取方案：第1组： 1，2 ，第2组： ；
（2）的最大值为 ．
【解答】解：（1）若，选出2组数，第一组为：1，2；第二组为：3，4，
，2，3，4互不相同，互不相等，且，，
第一组为：1，2；第二组为：3，4，符合题意，
故答案为：1，2；3，4；（答案不唯一）．
（2）若取最大值，方案如下：
①1，14，，
②2，12，，
③3，10，，
④4，8，，
⑤5，6，，
的最大值为5，
故答案为：5．
三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18题4分，第19题8分，第20题4分，第21题5分，第22-24题，每题4分，第25题6分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．（4分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）移项得：，
合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
20．（4分）如图，已知线段．
（1）选择合适的画图工具，按下列步骤画图：
①延长线段至点，使；
②在线段上方画射线，使；
③在射线上取一点（不与点重合），连接，．
（2）根据画出的图形，判断与的长短（直接写出答案）．
【解答】解：（1）如图：
（2）观察图形可知：．
21．（4分）北京奥林匹克森林公园位于北京中轴延长线的最北端，是亚洲最大的城市绿化景观．某校七年级2班学生计划去奥森公园划船，游船价格如表：
已知所有学生均有座位且划船1小时，请解决下面问题：
（1）若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？
（2）请你直接写出一种比（1）中省钱的租船方案： 1 条四座电瓶船， 条六座电瓶船．
【解答】解：（1）设租用了条四座电瓶船，
根据题意得，
解得，
答：租用了7条四座电瓶船．
（2）由（1）可知，共有学生（名，
在每船都坐满的情况下，乘四座电瓶船平均每人（元，乘六座电瓶船平均每人（元，
应尽可能多用六座电瓶船，
设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，
根据题意得，
整理得，
、都是整数，
或或或，
当，时，总费用为（元，
当，时，总费用为（元，
若只租用8条六座电瓶船，总费用为（元，
最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船，
故答案为：1，7．
注：答案不唯一，4，5，或0，8．
22．（5分）如图，已知，点在线段上，，为的中点．
（1）求的长；
（2）点在线段的延长线上，且．请判断点是否为线段的中点，并说明理由．
【解答】解：（1），，
，
为的中点，
，
的长为2；
（2）点是线段的中点，
理由：由（1）得，
，
，
，
点是线段的中点．
23．（4分）已知关于的方程．
（1）当，时，方程的解为 ；
（2）若是方程的解，用等式表示与满足的数量关系： ；
（3）若这个方程的解与关于的方程的解相同，则的值为 ．
【解答】解：（1），，
，
，
故答案为：；
（2）是方程的解，
，
，
故答案为：；
（3）解关于的方程，
得，
解关于的方程，
得，
两方程的解相同，
，
，
，
故答案为：．
24．（4分）定义一种新运算★：当时，★；当时，★．例如，1★．
（1）计算：1★ ；
（2）对于式子★，
①若★，求的值；
②当的值分别取，，，为整数）时，式子★的值的和的最大值为 ．
【解答】解：（1），
★，
故答案为：；
（2）①当时，即时，
★，★，
，
；
当时，即时，
★，★，
，
综上，的值为6或4；
②当时，即时，
的值取，
，
★★，
同理：当时，★，
当时，★，
当时，★，
式子★的值的和为：，
，
，
，
式子★的值的和的最大值为14；
当时，即时，
的值取，
，
为整数，
①当时，，，，
时，★★，
同理：当时，★，
当时，★，
当时，★，
式子★的值的和为：，
②当时，，，，
时，★★，
同理：当时，★，
当时，★，
当时，★，
式子★的值的和为：，
③当时，，，，
时，★★，
同理：当时，★，
当时，★，
当时，★，
式子★的值的和为：，
④当时，，，，
时，★★，
同理：当时，★，
当时，★，
当时，★，
式子★的值的和为：，，
的整数，
的最大值为10，，
综上，式子★的值的和的最大值为16，
故答案为：16．
25．（6分）已知，，且不与重合）．
（1）当时，若射线在内，请用量角器在图1中画出射线，则的度数为 ；
（2）当时，平分，求的度数．
【解答】解：（1）如图所示：
，
当时，，
是角平分线，
，
．
故答案为：；
（2），
当时，，
①当点在内部时，
平分，
，
，
，，
，
，
；
②当点在外部时，
，
，
平分，
，
；
的度数为或．
26．（7分）对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数．
例如，对于数组，2，3，因为：，，，取为原点，为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．
已知是数组的收纳系数，此时线段的端点，表示的数分别为，．
（1）对数组，2，，在1，，这三个数中，可能是 ；
（2）对数组，2，，若的最大值为，求的值；
（3）已知100个连续整数中第一个整数为，从中选择个数，组成数组．
①当，且时，直接写出的最大值；
②当时，直接写出的最大值和相应的的最小值．
【解答】解：（1），，，，
不可能为1；
，，，，
不可能为；
，，，，
不可能为．
故答案为：；
（2）对数组，2，，若的最大值为，
将各数乘以得：，，，
是一条长为1个单位长度的线段，且这三个数都可以用线段上的某个点来表示，
或，
解得：或．
的值为4或；
（3）①，
．
个连续整数中第一个整数为，
，
，
的最小值．
设数组中的最大的数为，
，
，
的最大值为，
的最大值为21；
②当时，
这100个数是连续整数，
数组中的最大的数与最小数之差为99，
的最大值．
的最大值为；
当中间的数字为0时，的值最小．
，
第50个或第51个数字为0时，的值最小．
当50个数字为0时，，，
；
当51个数字为0时，，，
．
综上，的最大值为，相应的的最小值．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/14 14:00:44；用户：18210079211；邮箱：18210079211；学号：32336482船型
四座电瓶船
六座电瓶船
价格
100元小时
120元小时
船型
四座电瓶船
六座电瓶船
价格
100元小时
120元小时