2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题2圆锥曲线的方程与几何性质小题考法3圆锥曲线的综合问题

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A．2 B．eq \f(1,2) C．4 D．eq \f(1,4)
(2)(2023·茂名一模)已知直线x＝2m与双曲线C：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)交于A，B两点(A在B的上方)，A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若△BDE的内心到y轴的距离不小于eq \f(3,2)m，则双曲线C的离心率取值范围是____________．
解析：(1)如图，连接PF1，PF2，
设P到x轴距离为dP，M到x轴距离为dM，
则eq \f(|MQ|,|PQ|)＝eq \f(dM,dP)＝eq \f(S△MF1F2,S△PF1F2)，
设△PF1F2内切圆的半径为r，
则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|r＝eq \f(1,2)·2c·r＝cr，
S△MF1F2＝S△PF1F2＋S△MPF1＋S△MPF2
＝eq \f(1,2)|F1F2|r＋eq \f(1,2)r(|PF1|＋|PF2|)
＝eq \f(1,2)·2c·r＋eq \f(1,2)r·2a＝(c＋a)r
所以eq \f(|MQ|,|PQ|)＝eq \f(dM,dP)＝eq \f(S△MF1F2,S△PF1F2)＝eq \f(（c＋a）r,cr)＝eq \f(c＋a,c)，
不妨设|PQ|＝cm，则|MQ|＝(c＋a)m(m>0)，
所以|PM|＝|MQ|－|PQ|＝am(m>0)，
因为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，
所以eq \f(|PM|,|PQ|)＝eq \f(am,cm)＝eq \f(a,c)＝eq \f(1,e)＝2，
故选A.
(2)因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以A(2m，eq \r(3)n)，B(2m，－eq \r(3)n)，则|AB|＝2eq \r(3)n.
因为A是线段BD的中点，
又EA⊥y轴，
所以EA⊥BD，|ED|＝|EB|，
所以△BDE的内心G在线段EA上．
因为DG平分∠ADE，所以在△ADE中，eq \f(|DA|,|DE|)＝eq \f(|GA|,|GE|)，
设|EG|＝d，所以eq \f(2\r(3)n,\r(（2m）2＋（2\r(3)n）2))＝eq \f(2m－d,d)＝eq \f(2m,d)－1，
因为G到y轴的距离不小于eq \f(3,2)m，所以eq \f(3,2)m≤d0)的下、上焦点分别是F1，F2，渐近线方程为y＝±2x，P为双曲线E上任意一点，PQ平分∠F1PF2，且F1Q⊥PQ，|OQ|＝2，则( )
A．双曲线E的离心率为eq \f(\r(5),2)
B．双曲线E的方程为y2－4x2＝1
C．若直线PF1与双曲线E的另一个交点为H，M为PH的中点，则kOM×kPH＝eq \f(1,4)
D．点P到两条渐近线的距离之积为eq \f(4,5)
解析：因为渐近线方程为y＝±2x，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，
即eq \f(a,b)＝2，得a＝2b，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq \r(1＋\f(1,4))＝eq \r(\f(5,4))＝eq \f(\r(5),2)，故A正确．
设P位于双曲线下支上一点，延长PF2，F1Q交于G，
因为PQ平分∠F1PF2，
且F1Q⊥PQ，
所以△F1QP≌△GPQ，
即|QF1|＝|GQ|，|PG|＝|PF1|，
即OQ是△F1F2G的中位线，
|PF1|－|PF2|＝|PG|－|PF2|＝|GF2|＝2a，
因为|OQ|＝eq \f(1,2)|GF2|＝a，|OQ|＝2，所以a＝2，
又a＝2b＝2，所以b＝1，即双曲线的方程为eq \f(y2,4)－x2＝1，故B错误．
设H(x1，y1)，P(x2，y2)，中点M(x，y)，则x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2)，
则eq \f(yeq \\al(2,1),4)－xeq \\al(2,1)＝1，①
eq \f(yeq \\al(2,2),4)－xeq \\al(2,2)＝1，②
两式作差得eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),4)＝xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)，
即eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)＝(x1－x2)(x1＋x2)，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4×2x,2y)＝eq \f(4,\f(y,x))，
即kPH＝eq \f(4,kOM)，即kPHkOM＝4，故C错误．
两条渐近线方程为2x＋y＝0或2x－y＝0，
则点P到两条渐近线的距离之积eq \f(|2x2＋y2|,\r(5))·eq \f(|2x2－y2|,\r(5))＝eq \f(|4xeq \\al(2,2)－yeq \\al(2,2)|,5)，因为eq \f(yeq \\al(2,2),4)－xeq \\al(2,2)＝1，所以yeq \\al(2,2)－4xeq \\al(2,2)＝4，
则eq \f(|4xeq \\al(2,2)－yeq \\al(2,2)|,5)＝eq \f(|－4|,5)＝eq \f(4,5).
故点P到两条渐近线的距离之积为eq \f(4,5)，故D正确．
故选AD.
答案：AD
2．(多选题)(2023·佛山模拟)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，则下列说法正确的是( )
A．∠OMB的最大值为eq \f(π,4)
B．若点A(5，3)，则|PA|＋|PF|的最小值为5
C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMC
D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则存在λ∈R，使得eq \(CO,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(CB,\s\up6(→))
解析：对于A，设直线MB的方程为x＝－1＋my，
与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2－4my＋4＝0，
当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．
由Δ＝16m2－16＝0，
即m＝±1，直线MB的斜率为±1，
此时∠OMB取得最大值eq \f(π,4)，故A正确；
对于B，设A(5，3)，A在准线x＝－1上的射影为A′(－1，3)，
设P到准线的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝6，
当且仅当A，P，A′三点共线时等号成立，故B错误；
对于C，M(－1，0)，设直线BC的方程为x＝ny＋1，
代入抛物线的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，
设B(eq \f(yeq \\al(2,1),4)，y1)，C(eq \f(yeq \\al(2,2),4)，y2)，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，
则kMB＋kMC＝eq \f(y1,\f(yeq \\al(2,1),4)＋1)＋eq \f(y2,\f(yeq \\al(2,2),4)＋1)＝eq \f(（y1＋y2）（\f(y1y2,4)＋1）,（\f(yeq \\al(2,1),4)＋1）（\f(yeq \\al(2,2),4)＋1）)＝0，
故MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC.故C正确；
对于D，由C的分析可知D(－1，y2)，
kOB＝eq \f(y1,\f(yeq \\al(2,1),4))＝eq \f(4,y1)，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，则kOB＝kOD，
可得三点B、O、D在同一条直线上，
则存在λ∈R，使得eq \(CO,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(CB,\s\up6(→))，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD