2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题2基本初等函数函数与方程小题考法3函数模型及其应用

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题2基本初等函数函数与方程小题考法3函数模型及其应用，共4页。试卷主要包含了25，ρ＝e3a＋b＝1，，5≤)t0－1，设62等内容，欢迎下载使用。

A．10 min B．20 min
C．40 min D．30 min
(2)(2023·清远清新区模拟)从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声．现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，AC＝8(百米)，建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数f(x)＝keq \r(x)图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF(如图2)，则图书馆占地面积(万平方米)的最大值为( )
A．8eq \r(3) B.eq \f(116,9) C.eq \f(196\r(3),27) D.eq \f(352,27)
解析：(1)由题意可得，θ0＝20，θ1＝100，θ＝60，t＝20代入θ＝(θ1－θ0)e－kt＋θ0，
则80e－20k＋20＝60，解得e－20k＝eq \f(1,2)，解得k＝eq \f(ln 2,20)，
将θ0＝20，θ1＝60，θ＝40，k＝eq \f(ln 2,20)代入θ＝(θ1－θ0)e－kt＋θ0可得，40e－kt＋20＝40，解得t＝20.
故选B.
(2)将点B(4，4)代入函数f(x)＝keq \r(x)(0≤x≤4)中可得4＝k·eq \r(4)，解得k＝2，所以f(x)＝2eq \r(x)(0≤x≤4)，
设线段BC对应的函数解析式为y＝mx＋n(4≤x≤8)，
因为直线BC经过点B(4，4)，C(8，0)，所以m＝－1，n＝8，
所以y＝－x＋8(4≤x≤8)，
设AD＝t(0由2eq \r(t)＝－x＋8可得x＝8－2eq \r(t)，
所以点F的坐标为(8－2eq \r(t)，2eq \r(t))，
所以DC＝8－t，EF＝8－2eq \r(t)－t，DE＝2eq \r(t)，
所以直角梯形CDEF的面积
S＝eq \f(1,2)(8－2eq \r(t)－t＋8－t)2eq \r(t)＝－2teq \a\vs4\al(\f(3,2))－2t＋16teq \a\vs4\al(\f(1,2))(0所以S′＝－3eq \r(t)－2＋eq \f(8,\r(t))＝eq \f(－（3t＋2\r(t)－8）,\r(t))＝
eq \f(－（3\r(t)－4）（\r(t)＋2）,\r(t))，
令S′＝0，可得t＝eq \f(16,9)，
当00，函数S＝－2teq \a\vs4\al(\f(3,2))－2t＋16teq \a\vs4\al(\f(1,2))在(0，eq \f(16,9))上单调递增，
当eq \f(16,9)所以当t＝eq \f(16,9)时，函数S＝－2teq \a\vs4\al(\f(3,2))－2t＋16teq \a\vs4\al(\f(1,2))取最大值，最大值为eq \f(352,27).
故选D.
答案：(1)B (2)D
1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论．
2．指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．
1．(2023·广州荔湾区校级模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》．文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25 mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1 mg/m3，且室内甲醛浓度ρ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N*)(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t)＝eat＋b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
解析：由题意可知，ρ(1)＝ea＋b＝6.25，ρ(3)＝e3a＋b＝1，
eq \f(ρ（3）,ρ（1）)＝e2a＝eq \f(4,25)，解得ea＝eq \f(2,5).
设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则ρ(t0)＝eat0＋b＝ea＋b·ea(t0－1)＝6.25×(eq \f(2,5))t0－1≤0.1，
整理得62.5≤(eq \f(2,5))t0－1，设62.5＝(eq \f(5,2))m－1，
因为(eq \f(5,2))4<62.5<(eq \f(5,2))5，
所以4则t0－1≥m－1，即t0≥m.
故至少需要放置的时间为6周．
故选B.
答案：B
2.(2023·茂名二模)修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道eq \(ME,\s\up8(︵))、eq \(DN,\s\up8(︵))以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米．
解析：如图，连接CD，CE，由半圆半径为1得：CD＝CE＝1，
由对称性，设∠CBE＝∠CBD＝θ，又CD⊥BD，CE⊥BE，所以BE＝BD＝eq \f(CD,tan θ)＝eq \f(1,tan θ)，BC＝eq \f(CD,sin θ)＝eq \f(1,sin θ)，
易知∠MCE＝∠NCD＝θ，所以eq \(ME,\s\up8(︵))，eq \(ND,\s\up8(︵))的长为θ，
又AC＝3，故AB＝AC－BC＝3－eq \f(1,sin θ)∈(0，2)，故sin θ＝(eq \f(1,3)，1)，
令sin θ0＝eq \f(1,3)，且θ0∈(0，eq \f(π,6))，则f(θ)＝5－eq \f(1,sin θ)＋eq \f(2,tan θ)＋2θ，θ∈(θ0，eq \f(π,2))，
所以f′(θ)＝eq \f(－cs θ（2cs θ－1）,sin2θ)，
所以栈道总长度最小值f(θ)min＝f(eq \f(π,3))＝eq \f(2π,3)＋5.
答案：eq \f(2π,3)＋5θ
(θ0，eq \f(π,3))
eq \f(π,3)
(eq \f(π,3)，eq \f(π,2))
f′(θ)
－
0
＋
f(θ)
单调递减
极小值
单调递增