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2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题1函数的图象与性质小题考法2函数的性质及应用
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A．－1 B．0 C．1 D．2
(2)(2023·高州一模)已知函数y＝f(x＋1)－2是奇函数，函数g(x)＝eq \f(2x－1,x－1)的图象与f(x)的图象有4个公共点Pi(xi，yi)(i＝1，2，3，4)，且x1
(3)(2023·佛山顺德区一模)已知函数f(x)满足：f(2－x)＋f(x)＝2，对任意x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)>0恒成立．若f(x4＋ax2)＋f(6－2x2)≥2成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪{0} B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[－2，0)∪(0，＋∞)
解析：(1)由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，①
又函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)＝f(－x)，②
联立①②两式，可得f(4＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为8，又f(1)＝1，
所以f(2 023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝f(1)＝1.
故选C.
(2)根据题意，函数y＝f(x＋1)－2为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(1，2)对称，函数g(x)＝eq \f(2x－1,x－1)＝eq \f(1,x－1)＋2，其图象也关于点(1，2)对称，
则有x1＋x2＋x3＋x4＝4，y1＋y2＋y3＋y4＝8，
则g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)
＝g(4)g(8)＝eq \f(7,3)×eq \f(15,7)＝5，
故选D.
(3)因为对任意x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)>0，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
又因为f(2－x)＋f(x)＝2，
所以f(x)＝2－f(2－x)，
所以f(x4＋ax2)＋f(6－2x2)≥2⇔f(x4＋ax2)≥2－f(6－2x2)＝2－f[2－(2x2－4)]＝f(2x2－4)，
所以x4＋ax2≥2x2－4在[1，＋∞)上恒成立，
即以x4＋(a－2)x2＋4≥0在[1，＋∞)上恒成立，
令t＝x2，则t≥1，
问题转化为t2＋(a－2)t＋4≥0在[1，＋∞)上恒成立，
又因为Δ＝(a－2)2－16，
当Δ≤0，即－2≤a≤6时，满足题意；
当Δ>0时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－2）2－16>0，,－\f(a－2,2)≤1，,1＋（a－2）×1＋4≥0，))
解得a>6，
综上所述，a的取值范围为[－2，＋∞)．
故选B.
答案：(1)C (2)D (3)B
1．解决函数相关的不等关系时常常利用函数的单调性解决问题，例如比较大小，解抽象函数不等式等．
2．解决函数求值问题时常常利用函数的奇偶性和周期性转化求值．此外，注意函数的奇偶性是函数对称性的一个特例．
1．(2023·广东一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，2]上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
解析：由f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－f(x＋4)，故f(x＋4)＝－f(x＋8)，即有f(x)＝f(x＋8)，
综上，f(x)的周期为8，且关于x＝2对称的奇函数，
由f(x)在[0，2]上单调递减，结合上述分析知：在[2，6]上递增，[6，10]上递减，[10，12]上递增，
所以f(x)在[0，12]的大致草图如下：
要使f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根，即f(x)与y＝m有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于x＝2，x＝10对称，则x1＋x2＋x3＋x4＝24.
故答案为24.
答案：24
2．(多选题)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)、g(x)定义域均为R，且f(x＋4)＋f(－x)＝2，f(2x＋1)为偶函数，若g(x)＝－f(2－x)，则下面一定成立的是( )
A．f(0)＝1
B．g(3)＝0
C．f(2 023)＝f(3)＝1
D．g(2 024)＝g(0)＝－1
解析：由f(x＋4)＋f(－x)＝2，得函数f(x)关于(2，1)中心对称，
令x＝－2得f(2)＝1，
因为f(2x＋1)为偶函数，
所以f(1＋2x)＝f(1－2x)，得f(x)关于x＝1轴对称，
则f(－x)＝f(2＋x)，
即f(x＋4)＋f(－x)＝2等价为f(x＋4)＋f(2＋x)＝2，
即f(x＋2)＋f(x)＝2，
得f(x＋4)＋f(2＋x)＝f(x＋2)＋f(x)，
得f(x＋4)＝f(x)，即T＝4是函数y＝f(x)的周期；
因为f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1，故A正确，
因为T＝4是函数y＝f(x)的周期，
因为f(2 023)＝f(3)，由已知条件无法求得f(3)＝1，故C错误．
由g(x)＝－f(2－x)可知，g(3)＝－f(－1)＝－f(3)，所以B错误．
由g(x)＝－f(2－x)可知两函数y＝f(x)与y＝g(x)关于(1，0)中心对称，所以T＝4是函数y＝g(x)的周期，
则g(2 024)＝g(0)＝－f(2)＝－1，故D正确．
故答案选AD.
答案：AD
3．(多选题)(2023·茂名一模)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且x∈[0，1)时，f(x)＝x2，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B．f(x)是周期为2的函数
C．f(－1)＝0
D．f(eq \f(7,2))＝eq \f(1,4)
解析：由题意f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的图象关于(1，0)中心对称，故A正确；
由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误；
由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，
故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；
x∈[0，1)时，f(x)＝x2，
因为f(x)的周期为4，所以f(eq \f(7,2))＝f(－eq \f(1,2))＝f(eq \f(1,2))＝eq \f(1,4)，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
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