适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练14空间位置关系的判断与证明

这是一份适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练14空间位置关系的判断与证明，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l∥β”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,点M在AB上,且AM=λAB,若BC1∥平面A1MC,则λ=( )
A.B.C.D.
3.如图,AB为圆锥底面直径,点C为底面圆 O上异于A,B的动点,已知OA=,圆锥侧面展开图是圆心角为π的扇形,当∠PBC=时,PB与AC所成的角为( )
A.B.C.D.
4.许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形,共有12个顶点、30条棱.如图,由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点构成正五棱锥P-ABCDE,则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为( )(参考数据cs 36°≈0.8)
A.B.
C.D.
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P在矩形ACC1A1(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹的长度为( )
A.πB.πC.2πD.2π
二、多项选择题
6.(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则( )
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题
8.若平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,且平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,则直线l与直线A1C1所成的角为 .
9.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,AA1=3,AA1⊥AC,D为A1C1的中点,BD=3,则二面角A1-AC-B的正切值为 .
专题突破练14 空间位置关系的判断与证明
一、单项选择题
1.B 解析 当l∥β时,α与β可能平行也可能相交.当α∥β时,因为l⊂α,所以l∥β.故选B.
2.A 解析 如图,连接AC1,交A1C于点O,连接OM.∵BC1∥平面A1MC,BC1⊂平面ABC1,平面A1MC∩平面ABC1=OM,
∴BC1∥OM.又在△ABC1中,O为AC1的中点,∴M为AB的中点,∴AM=AB,∴λ=故选A.
3.C 解析 设圆锥的母线长为l,则l=2,解得l=2.∵PB=PC=l=2,∠PBC=,∴BC=2.∴在Rt△ABC中,AC=2作BD∥AC,与圆O交于点D,连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=2连接PD,则∠PBD为PB与AC所成的角.
在△PBD中,∵PD=PB=2,BD=2,
∴PB2+PD2=BD2,∴PD⊥PB,∴∠PBD=故选C.
4.A 解析 设正二十面体的棱长为a,点P在面ABCDE内的射影为点O,则O为正五边形ABCDE的中心.连接OA,OB,PO(图略),则∠AOB=72°,所以OA=a.因为PO⊥面ABCDE,所以∠PAO为PA与面ABCDE所成的角,所以cs∠PAO=
5.B 解析 由题意,易知动点P的轨迹为以AC为直径的半圆弧,AC=2,故动点P的轨迹的长度为2=
二、多项选择题
6.ABD 解析连接AD1,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;
连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;
连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为a,则OC1=a,BC1=a,
∴sin∠C1BO=,∴∠C1BO=30°,故C错误;
∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.
故选ABD.
7.BD 解析 A项中,当λ=1时,+=,则共线,故点P在线段CC1(包括端点)上,如图①所示.
图①
在△AB1P中,|AB1|=,|AP|=,|B1P|=,
故△AB1P的周长L=|AB1|+|AP|+|B1P|不为定值,故A错误;
图②
B项中,当μ=1时,==,则共线,故点P在线段B1C1(包括端点)上,如图②所示.
由图②可知B1C1∥平面A1BC,即B1C1上的每一点到平面A1BC的距离都相等,因此三棱锥P-A1BC的体积为定值,故B正确;
图③
C项中,当λ=时,分别取线段BC,B1C1的中点D,D1,连接DD1,可知点P在线段DD1(包括端点)上,如图③所示.
取AC的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则B(,0,0),C(0,,0),A1(0,-,1),P,
从而,
由=μ(μ-1)=0,得μ=0或μ=1.
当点P与点D或D1重合时,满足A1P⊥BP,故C错误;
图④
D项中,当μ=时,分别取线段BB1,CC1的中点M,N,连接MN,可知点P在线段MN(包括端点)上,如图④所示.
建系同选项C,则A(0,-,0),A1(0,-,1),B(,0,0),P(,),
从而=(,-1),=(,),
四边形ABB1A1为正方形,显然A1B⊥AB1.
要使A1B⊥平面AB1P,只需A1B⊥AP,即=0,解得λ=1.
当且仅当点P与点N重合时,A1B⊥平面AB1P,故D正确.
综上所述,选BD.
三、填空题
8 解析 因为平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,平面A1BD∩平面ABCD=BD,所以l∥BD.又A1C1⊥BD,所以A1C1⊥l,所以直线l与直线A1C1所成的角为
9.- 解析 如图,取AC的中点E,连接ED,EB.因为D为A1C1的中点,AA1⊥AC,△ABC是边长为2的正三角形,所以DE=AA1=3,BE=3,DE⊥AC,BE⊥AC,所以∠BED为二面角A1-AC-B的平面角.在△BED中,DE=3,BE=3,BD=3,所以由余弦定理得cs∠BED==-,所以∠BED=120°,所以tan∠BED=-