新教材(广西专版)高考数学一轮复习解答题专项五第3课时证明与探究问题课件

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考向1.利用直接法证明圆锥曲线中的问题
(1)求椭圆C的方程和离心率;(2)设P,Q为椭圆C上不同的两个点,直线AP与y轴交于点E,直线AQ与y轴交于点F,若点M(1,0)满足MF⊥ME,求证:P,O,Q三点共线.
(2)证明 (方法1)设点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠±2,x2≠±2),
当n=2k时,直线PQ的方程y=k(x+2)过A(-2,0),不合题意.故n=0,所以P,O,Q三点共线.综上,P,O,Q三点共线.
要证P,O,Q三点共线,由椭圆的对称性,只需证Q(-x0,-y0)在直线AF上.
所以Q(-x0,-y0)在直线AF上,所以P,O,Q三点共线.
(方法3)由题意得A(-2,0),不妨令点E在x轴上方,因为MF⊥ME,所以△EMF为直角三角形,由射影定理得|OE|·|OF|=|OM|2=1.
故x1+x2=0,y1+y2=0,所以P,Q关于原点对称,即P,O,Q三点共线.
名师点析对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质或基本不等式求得最值.
对点训练1已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为9,
(1)求抛物线C的方程.(2)经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,E为直线x=-1上任意一点,证明:直线EA,EF,EB的斜率成等差数列.
考向2.利用转化法证明圆锥曲线中的问题
例2.(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点( )的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于 .
(2)证明 (方法1)设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示,设直线AB的斜率为k(k>0).不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧.
成立,此时矩形ABCD为正方形.(用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题)
(方法2)不妨设A,B,C三点在W上,且AB⊥BC.
名师点析利用转化法证明圆锥曲线问题的三种策略
对点训练2在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过定点F(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆的圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设M为直线l:x=-1上任意一点,过点M作曲线C的切线,切点为N,证明:MF⊥NF.
考向1.利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题例3.已知抛物线H:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线H上的一点M的横坐标为
(1)求抛物线H的方程;(2)若一直线经过抛物线H的焦点F,与抛物线H交于A,B两点,点C为直线x=-1上的动点.
②是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,求点C的坐标;若不存在,说明理由.
(1)解 因为抛物线H的方程为y2=2px,M在抛物线H上,且横坐标为5,
Δ=(-4m)2-4×(-4)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=4m2+2,x1x2=1.
名师点析利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题的流程
(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知椭圆E的上顶点为A,圆M:(x-1)2+y2=r2(r>0),椭圆E上是否存在两点B,C使得圆M内切于△ABC?若存在,求出直线BC的方程;若不存在,请说明理由.
(2)由(1)可知椭圆的上顶点为A(0,1),假设符合条件的两点B,C存在,设B(x1,y1),C(x2,y2),
因为y1≠1,两边同时除以1-y1,得(1-r2)×4×(1+y1)+(1-r2)(1-y1)-2x1=0,整理得-2x1+3(1-r2)y1+5(1-r2)=0,即点B在直线-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0上.同理,由直线AC与圆M相切,得出点C也在直线-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0上.因此直线BC的方程为-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0.
考向2.利用探究转化法解答圆锥曲线中的探究问题
(2)存在.理由如下.假设存在这样的直线,由题可知直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+m.
名师点析转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体、易求.对于范围及最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.
得(m2-4)y2+2my-3=0.
∵m2-4≠0,Δ=4m2+12(m2-4)>0,∴m2>3且m2≠4.设M(x1,y1),N(x2,y2),