适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练20利用导数研究函数的零点问题

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练20利用导数研究函数的零点问题，共4页。试卷主要包含了已知函数f=x3-kx+k2，已知f=ex·sin x-x，已知函数f=emx-1-x等内容，欢迎下载使用。
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.
2.(2023黑龙江哈师大附中三模)已知f(x)=ex·sin x-x.
(1)若g(x)=0.
考点突破练20 利用导数研究函数的零点问题
1.解 (1)f'(x)=3x2-k.当k=0时,f(x)=x3,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增;当k0,所以F(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=F(x)≥F(0)=0,当且仅当x=0时,取得等号,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
(2)解 方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.
证明如下:
方程f(x)=g(x),即ex+kx2-x=xex-x,
即(x-1)ex-kx2=0,
令h(x)=(x-1)ex-kx2,则h'(x)=x(ex-2k),
因为当x0,得x>ln(2k),由h'(x)2,所以φ'(t)>0,
所以m'(t)=φ(t)在区间(2,+∞)上单调递增,
所以m'(t)>m'(2)=e2-4>0,
所以m(t)在区间(2,+∞)上单调递增,
所以m(t)>m(2)=e2-4>0,即h(k+1)>0,
所以h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.
综上所述,当k∈[0,+∞)时,h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.所以方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.
4.解 (1)f'(x)=memx-1-1,当m≤0时,f'(x)=memx-1-10时,设F(x)=memx-1-1,则F'(x)=m2emx-1>0,
所以函数F(x)=memx-1-1在R上单调递增,即f'(x)=memx-1-1在R上单调递增.
令f'(x)=memx-1-1=0,得x=,
当x∈时,f'(x)0),
设h(x)=m2xemx-1-1,则h'(x)=m2(mx+1)emx-1>0,
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,
由(1)可知,当m=1时,f(x)≥f=f(1)=1-1=0,即ex-1≥x,所以h(+1)=m2(+1)-1≥m2(+1)·m(+1)-1,
所以h(+1)>m2··m·-1=0,
又因为h(0)=-1,由零点的存在定理可得,存在x1∈(0,+1),使得h(x1)=0,即mx1,(*)
当x∈(0,x1)时,h(x)0,即g'(x)>0,g(x)单调递增,
当m≥1时,由(*)可知g(x1)=,且00),则φ'(x)=(x+1)ex-1>0,
所以函数φ(x)=xex-1在(0,+∞)上单调递增,
因为φ(1)=1,结合0.