利用导数研究函数的零点（方程的根）（专题13）-高考数学25个必考点

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
高频考点二：证明唯一零点问题
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
②利用数形结合法研究函数的零点问题
③构造函数研究函数零点问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数的定义域为，部分对应值如下表：
的导函数的图象如图所示，
则下列关于函数的命题：
① 函数是周期函数；
② 函数在是减函数；
③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④ 当时，函数有4个零点．
其中真命题的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高二）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4）B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数
1．（2022·全国·高二）设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)（ ）
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，其中为自然对数的底数，……，则的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高二课时练习）求函数零点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程的实根个数是______ ．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数是__________．
8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数，其中．
(1)若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；
(2)若，讨论在区间上的零点个数．
9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数．
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)求出方程的解的个数．
高频考点二：证明唯一零点（根）问题
1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间及相应区间上的单调性；
(2)证明:只有一个零点．
2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，求证：有且只有一个零点.
3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：函数仅有一个零点.
高频考点三：根据零点（根）情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题
1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数在时有极值0．
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．
2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数（a为常数）有3个不同的零点，求实数a的取值范围.
3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数，．
(1)若，求函数的极值；
(2)若函数恰有三个零点，求实数的取值范围．
4．（2022·北京丰台·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．
5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数a的取值范围.
②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题
1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数
(1)填写函数的相关性质；
(2)通过（1）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数．
2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围.
3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数（，e为自然对数的底数）.
(1)若有两个不相等的实数根，求的取值范围；
4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为 .
(1)求的解析式；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.
6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
③构造函数研究函数零点（根）问题
1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数（e为自然对数的底数），（），.
(1)若直线与函数，的图象都相切，求a的值；
(2)若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.
2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数.
(1)若与在处有相同的切线，求实数的取值；
(2)若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.
3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数，，．
(1)当时，函数有两个零点，求的取值范围；
(2)当时，不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围．
4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
5．（2022·河南·三模（理））已知函数，.
(1)判断函数的零点个数；
6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数，
(1)求函数的最值；
(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
第五部分：第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
一、单选题
1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a∈R，则函数零点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．与a有关
2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数在上有零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高二）函数的零点个数及分布情况为（ ）
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，内
C．三个零点，分别在，，内
D．三个零点，分别在，，内
4．（2022·全国·高二）直线与函数的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高二）已知函数，若函数有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（ ）
A．B．C．2D．
6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数，，其中为自然对数的底数，若方程存在两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）
A．3B．6C．9D．36
8．（2022·全国·高三专题练习）已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2022·河南焦作·二模（理））函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是_______.
10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数恰有3个零点，则的取值范围是________．
11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．
12．（2022·全国·高二）已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题
13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知．
(1)若2是函数的极值点，求a的值，并判断2是的极大值点还是极小值点；
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：
14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数.
(1)当时，证明：函数的图象恒在函数的图象的下方；
(2)讨论方程的根的个数.
16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数，当时，函数有极值.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有三个解，求实数的取值范围.
17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数．
(1)若，求函数的极小值点；
(2)当时，讨论函数的图象与函数的图象公共点的个数，并证明你的结论．定义域
值域
零点
极值点
单调性
性 质