2022~2023学年江苏省苏州市工业园区一中八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市工业园区一中八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为( )
A. 6B. 8C. 10D. 8或10
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，如果CD=3，那么AB的长是( )
A. 1.5B. 3C. 6D. 12
4.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是
( )
A. 5mB. 12mC. 13mD. 18m
5.下面四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 3，4，6D. 6，8，10
6.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.已知P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，且PA=PB=PC，则P点一定是( )
A. △ABC的三条中线的交点B. △ABC的三条内角平分线的交点
C. △ABC的三条高的交点D. △ABC的三边的中垂线的交点
8.直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为( )
A. 6.B. 8C. 1813D. 6013
9.如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )
A. 1个B. 3个C. 5个D. 无数多个
10.如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是
12.已知等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是
13.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，5cm，则它的面积是__ ___cm2．
14.若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为____ __cm．
15.下面几何图形中，其中一定是轴对称图形的有 个①线段；②角；③等腰三角形；④直角三角形；⑤梯形；⑥平行四边形．
16.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，若△ABC的面积为28，AB=8，BC=6，则DE的长为 ．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．
18.如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角度数为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上．
(1)画出▵ABC关于直线l的轴对称图形▵A′B′C′．
(2)连接A′B、C′B，则▵A′BC′的面积为____
20.(本小题8分)
已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在 空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，AD=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？
21.(本小题8分)
《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在▵ABC中，∠ACB=90∘,AC+AB=10,BC=3，求AC的长．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°．
(1)在AC边上求作点D，使得DA=DB.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的基础上，连接BD，若BC=2，则S▵ABD=______．
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．
24.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC=10，BC=12，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度．
25.(本小题8分)
如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，S△ABF=24，求EC的长．
26.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．
(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系，求出第三边的范围，再范围内取值使得三角形为等腰三角形，再计算周长即可得到答案；
【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为2和4，
假设第三边长为 x ，
则有： 4−2即： 2又∵三角形为等腰三角形，两条边长分别为2和4，
∴ x=4 ，
∴三角形的周长为： 4+4+2=10 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边以及等腰三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2CD，得到答案．
【详解】∵∠C=90°，点D为斜边AB上的中点，
∴AB=2CD，又CD=3，
∴AB=6，
故选C．
【点睛】考查直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】根据勾股定理求解即可．
【详解】由题意得： BC=5m,AC=12m,∠ACB=90∘
则 AB= BC2+AC2= 52+122=13 (m)
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股勾股定理求解直角三角形的边长，熟练掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为 22+32≠42 ，所以不能构成直角三角形，不合题意；
B、因为 42+52≠62 ，所以不能构成直角三角形，不合题意；
C、因为 32+42≠62 ，所以不能构成直角三角形，不合题意；
D、因为 62+82=102 ，所以能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的内容．如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
6.【答案】C
【解析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
【详解】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】由题意：PA=PB=PC，根据到线段两端点的 距离相等的点在线段的垂直平分线上，
可知P点为三角形三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
考点：线段垂直平分线
8.【答案】D
【解析】利用勾股定理和等积法进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
直角三角形的斜边长为： 52+122=13 ，设斜边上的高为： h ，
由直角三角形的面积相等可得： 12×5×12=12×13×h ，
解得： h=6013 ；
故选D．
【点睛】本题求直角三角形斜边上的高．熟练掌握等积法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．
【详解】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，
同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，
如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，
同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，
故答案为5．
故选C
10.【答案】D
【解析】要使 ΔAEF 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出 ∠1=∠G ， ∠3=∠H ，根据 ΔAGH 的内角和为 180∘ ，可得出 2∠1+∠3+∠2=180∘ ；再根据四边形的内角和为 360∘ 可知， ∠BAD=130∘ ，即 ∠1+∠2+∠3=130∘ ，建立方程组，可得到 ∠2 的度数，即可得出答案．
【详解】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，
∵四边形的内角和为 360∘ ，
∴ ∠BAD=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘ ，
即 ∠1+∠2+∠3=130∘ ①，
由作图可知： ∠1=∠G ， ∠3=∠H ，
∵ ΔAGH 的内角和为 180∘ ，
∴ 2∠1+∠3+∠2=180∘ ②，
方程①和②联立方程组，
解得 ∠2=80∘ ．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键．
11.【答案】64
【解析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2−AD2=100−36=64，
故答案为：64．
【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
12.【答案】50∘ 或 65∘
【解析】分这个角为底角和顶角分别为50°，按两种情况讨论即可．
【详解】解：当底角为 50∘ 时，则两个底角都是 50∘ ，
当顶角为 50∘ 时，由三角形内角和定理可求得底角为： 65∘ ，
所以底角为 50∘ 或 65∘ ，
故答案是： 50∘ 或 65∘ ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，懂得分两种情况讨论是解题的关键．
13.【答案】20
【解析】解：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知斜边长为2×5=10cm，
所以它的面积是： 12 ×10×4=20(cm2)；
故答案为：20
14.【答案】6
【解析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在Rt△ABD中，可根据勾股定理进行求解．
【详解】解：如图：
由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，
作AD⊥BC于点D，则有DB= 12 BC=8cm，
在Rt△ABD中，AD= AB2−BD2 =6cm．
故答案为6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理求直角三角形的边长．
15.【答案】3
【解析】根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，进行判断即可．
【详解】解：①线段；②角；③等腰三角形；④直角三角形；⑤梯形；⑥平行四边形，
轴对称图形有：①线段；②角；③等腰三角形，共 3 个，
故答案为 ： 3 ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解本题的关键．
16.【答案】4
【解析】过D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DE=DF，设DE=DF=a，根据△ABC的面积为28得出 12AB×DE+12BC×DF=28 ，再把AB=8和BC=6代入求出a即可．
【详解】解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
设DE=DF=a，
∵△ABC的面积为28，
∴ S▵ABC=S▵ABD+S▵CBD ，
∴ 12AB×DE+12BC×DF=28 ，
∵AB=8，BC=6，
∴ 12×8a+12×6a=28 ，
解得：a=4，
即DE=DF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出DE=DF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
17.【答案】45°
【解析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD=x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．
【详解】解：∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°，
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
18.【答案】67.5°或22.5°
【解析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小．
【详解】分类讨论：①如图，当该等腰三角形为 锐角三角形时，
由题意可知 ∠ABD=45∘ ， ∠BDC=90∘ ，
∴ ∠A=∠BDC−∠ABD=45∘ ，
∴ ∠ABC=∠C=12(180∘−∠A)=67.5∘ ；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知 ∠ABD=45∘ ， ∠D=90∘ ，
∴ ∠A=∠D+∠ABD=135∘ ，
∴ ∠ABC=∠C=12(180∘−∠A)=22.5∘ ．
综上可知这个等腰三角形的底角度数为67.5°或22.5°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
19.【答案】【小题1】
解：如图，△A′B′C′即为 所求．
【小题2】
解：S△A′BC′=4×7− 12 ×4×4− 12 ×1×3− 12 ×7×3=8．
故答案为：8．

【解析】1. 利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，然后顺次连接A′，B′，C′，即可
2. 把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
20.【答案】解：连接 BD ，
在 Rt▵ABD 中， BD2=AB2+AD2=32+42=52 ，
在 △CBD 中， CD2=132BC2=122 ，
而 122+52=132 ，
即 BC2+BD2=CD2 ，
∴∠DBC=90∘ ，
S四边形ABCD=S▵BAD+S▵DBC=12⋅AD⋅AB+12DB⋅BC ，
=12×4×3+12×12×5=36 ．
所以需费用 36×200=7200 (元)．


【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接 BD ，在直角三角形 ABD 中可求得 BD 的长，由 BD 、 CD 、 BC 的长度关系可得三角形 DBC 为一直角三角形， DC 为斜边；由此看，四边形 ABCD 由 Rt▵ABD 和 Rt△DBC 构成，则容易求解．
21.【答案】解：
∵AC+AB=10
∴AB=10−AC
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即 AC2+32=10−AC2
解得AC=4.55

【解析】在Rt△ABC中利用勾股定理建立方程即可求出AC．
22.【答案】【小题1】
解：作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，此时DA=DB，则点D即为所求作的点，如图所示：
【小题2】
解：如图所示：
∵∠C=90°，∠A=15°，AD=BD，
∴∠A=∠ABD=15°，
∴ ∠CDB=∠A+∠ABD=30∘ ，
∵BC=2，
∴AD=BD=2BC=4，
∴ S▵ABD=12×4×2=4 ．
故答案为：4．

【解析】1. 直接利用线段垂直平分线的作法得出D点位置
2. 直接利用线段垂直平分线的结合三角形外角的性质AD的长，进而得出答案．
23.【答案】证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，M 是 AC 的中点，
∴BM= 12 AC，DM= 12 AC，
∴BM=DM，
∵N 是 BD 的中点，
∴MN⊥BD(等腰三角形三线合一)．

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM= 12 AC，DM= 12 AC，从而求出BM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
24.【答案】解：连接AM，如图所示：
∵AB=AC，M为BC的中点，
∴ AM⊥BC ，CM=BM=6，
由勾股定理得， AM= AB2−BM2= 102−62=8 ，
由三角形的面积公式得： 12×6×8=12×10×MN ，
解得： MN=4.8 ．

【解析】连接AM，根据等腰三角形的性质求出CM，根据勾股定理求出AM，根据三角形的面积公式计算即可．
25.【答案】解：∵AB=8，S△ABF=24，
∴BF=6．
根据勾股定理，得
AF=10．
∴AD=BC=10，
∴CF=4．
设EC=x，则EF=DE=8−x，根据勾股定理，得
x2+16=(8−x)2，
解得
x=3．
即EC=3．

【解析】根据AB=8，S△ABF=24，得BF=6；根据勾股定理，得AF=10，则AD=BC=10，则CF=4；设EC=x，则EF=DE=8−x，根据勾股定理即可求得x的值．
26.【答案】【小题1】
解：如图，∵ ∠ACB=90∘,AB=5,BC=3,
∴ AC= 52−32=4,
设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4−2t，
在Rt△PCB中， PC2+CB2=PB2 ，
即： 4−2t2+32=2t2 ，
解得： t=2516 ，
∴当 t=2516 时，PA=PB；
【小题2】
当点P在∠BAC的平分线上时，如图，
过点P作PE⊥AB于点E， AC+CP=2t ，
此时 BP=7−2t,PE=PC=2t−4,
∵ AC2=AP2−PC2,AE2=AP2−PE2,
∴ AC=AE=4,BE=5−4=1,
在Rt△BEP中， PE2+BE2=BP2 ，
即： 2t−42+12=7−2t2 ，解得： t=83 ，
∴当 t=83 时，P在△ABC的角平分线上，
当点P运动到点A时，也符合题意，此时t=6，
综上所述，满足条件的t的值为 83 或6．
【小题3】
在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，根据题意得：AP=2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC=BC，即 4−2t=3 ，
∴ t=12 ，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图，
过P作PE⊥BC于E，
∴ BE=12BC=32,PE//AC,∠CPE=∠BPE,
∴ ∠CPE=∠ACP,∠BPE=∠A,
∴ ∠ACP=∠A,
∴ PC=PA=PB=52,
即 2t−4−3=52 ，解得： t=194 ，
②PB=BC，即 2t−3−4=3 ，
解得：t=5，
③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F，
∴ BF=12BP ，
∵ ∠ACB=90∘
∴ 12×3×4=12×5×CF,
解得： CF=125,
∴ BF= 32−1252=95,
∴ BP=2×95=185,
∴ AC+CB+BP=7+185=535,
∴ t=535×12=5310
∴当 t=12 ，5， t=5310 或 194 时，△BCP为等腰三角形．

【解析】1. 设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t， PC=4−2t ，根据勾股定理列方程即可得到结论
2. 当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时 BP=7−2t,PE=PC=2t−4,BE=1, 根据勾股定理列方程，结合P，A重合即可得到结论
3. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即 4−2t=3 ，求得 t=12 ，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥BC于E，求得 t=194 ，若PB=BC，即 2t−3−4=3 ，解得t=5，③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F，利用等面积法与勾股定理求解 BF,BP ，即可得到结论．