2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海中学九年级第一学期月考数学试卷（12月份）
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分共计30分，每小题有且只有一个答案
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根是m，则2018﹣m2+m的值是（　　）
A．2015 B．2016 C．2018 D．2020
3．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tanB＝（　　）

A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC＝70°，则∠ABD＝（　　）

A．20° B．46° C．55° D．70°
5．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
6．二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，8） B．（﹣1，8） C．（﹣1，2） D．（1，﹣4）
7．反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（　　）

A．y＝，y＝kx2﹣x B．y＝，y＝kx2+x
C．y＝﹣，y＝kx2+x D．y＝﹣，y＝﹣kx2﹣x
8．方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0的一个根为x＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．b﹣c D．﹣a
9．已知抛物线和直线l在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（　　）

A．（﹣4，0） B．（﹣5，0）
C．（﹣4，0）或（﹣5，0） D．（﹣3，0）
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应
11．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC＝5m，则坡面AB的长度是 　 　m．

12．如图，AB是⊙O的直径，CD是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝，则AB＝　 　．

13．已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为 　 　．
14．如果关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么k的最小整数值是　 　．
15．设抛物线y＝x2+b的顶点为M，与直线y＝6的两交点为A、B，若△AMB的面积为27，则b的值为 　 　．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为　 　．

17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x2，0），且1＜x2＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）下方，在下列结论中：
①ab＞0；
②4a﹣2b+c＝0；
③2a﹣b+1＜0；
④a＜b＜c．
其中正确的结论有 　 　（请填写序号）．
18．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是　 　．

三、解答题：（本大题共10小题，共76分，将解答过程写在答题纸相对应的位置上.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.）
19．计算：．
20．解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；
（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
22．如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C，求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）

23．已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点．
（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．

24．苏州中心商场以每件200元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量y（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件）
380
360
340
320
300
280
260
y（件）
4
8
12
16
20
24
28
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，苏州中心商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润＝每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）
25．如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，sin∠BDE＝，求DE的长．

26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

27．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（6，0），且sin∠OCB＝．
（1）若点Q是线段BC上一点，且点Q的横坐标为m．
①求点Q的纵坐标；（用含m的代数式表示）
②若点P是⊙A上一动点，求PQ的最小值；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动，到点C运动停止，⊙A随着点A的运动而移动．
①点A从O→B的运动的过程中，若⊙A与直线BC相切，求t的值；
②在⊙A整个运动过程中，当⊙A与线段BC有两个公共点时，直接写出t满足的条件．

28．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）直接写出点B、C的坐标，B　 　；C　 　．
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC．若△PBC的面积，求点P的坐标．
（3）设E为线段BC上任意一点（不含端点），连接AE，一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．
（4）若点Q在y轴上，当∠AQB取得最大值时，直接写出点Q的坐标 　 　．



参考答案
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分共计30分，每小题有且只有一个答案
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴cosB＝，
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．已知一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根是m，则2018﹣m2+m的值是（　　）
A．2015 B．2016 C．2018 D．2020
【分析】由方程根的定义把m的值代入可求得m2﹣m的值，代入可求得值．
解：
∵一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根是m，
∴m2﹣m＝2，
∴2018﹣m2+m＝2018﹣（m2﹣m）＝2018﹣2＝2016，
故选：B．
【点评】本题主要考查方程根的定义，由根的定义求得m2﹣m的值是解题的关键．
3．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tanB＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD＝3：2，设BD＝3x，CD＝2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．
解：在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠CDA，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴＝，
∵BD：CD＝3：2，
设BD＝3x，CD＝2x，
∴AD＝＝x，
则tanB＝＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长．
4．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC＝70°，则∠ABD＝（　　）

A．20° B．46° C．55° D．70°
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解．
解：连接BC，

∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝55°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ABD＝∠OBC＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．
5．已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
【分析】抛物线平移不改变a的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
解：先将x轴、y轴的平移转化为抛物线的平移，即可看作把抛物线沿x轴方向向左平移2个单位长度，沿y轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣2）．可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+2）2﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查抛物线的平移规律．
6．二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，8） B．（﹣1，8） C．（﹣1，2） D．（1，﹣4）
【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），可求函数的顶点坐标．
解：∵a＝﹣3、b＝﹣6、c＝5，∴﹣＝﹣1，＝8，即顶点坐标是（﹣1，8）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标．
7．反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（　　）

A．y＝，y＝kx2﹣x B．y＝，y＝kx2+x
C．y＝﹣，y＝kx2+x D．y＝﹣，y＝﹣kx2﹣x
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解：双曲线的两支分别位于二、四象限，即k＜0；
A、当k＜0时，物线开口方向向下，对称轴x＝﹣＝＜0，不符合题意，错误；
B、当k＜0时，物线开口方向向下，对称轴x＝﹣＝﹣＞0，符合题意，正确；
C、当﹣k＜0时，即k＞0，物线开口方向向上，不符合题意，错误；
D、当﹣k＜0时，物线开口方向向下，但对称轴x＝﹣＝﹣＜0，不符合题意，错误．
故选：B．
【点评】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其对称轴是否符合要求．
8．方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0的一个根为x＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．b﹣c D．﹣a
【分析】把x＝1，x＝﹣1，x＝b﹣车x＝a分别代入方程，看看方程两边是否相等即可．
解：A．把x＝1代入方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0得：左边＝a﹣b+b﹣c+c﹣a＝0，右边＝0，左边＝右边，所以x＝1是方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0的一个解，故本选项符合题意；
B．把x＝﹣1代入方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0得：左边＝a﹣b﹣b+c+c﹣a＝2c﹣2b，右边＝0，左边≠右边，所以x＝﹣1不是方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0的解，故本选项不符合题意；
C．把x＝b﹣c代入方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0得：左边＝（a﹣b）（b﹣c）2+（b﹣c）（b﹣c）+c﹣a＝ab3﹣2abc+ac2﹣b3+2b2c﹣bc2+b3﹣2bc+c2+c﹣a，右边＝0，左边≠右边，所以x＝b﹣c不是方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0的解，故本选项不符合题意；
D．把x＝a代入方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0得：左边＝（a﹣b）a2+（b﹣c）a+c﹣a＝a3﹣a2b+ab﹣ac+c﹣a，右边＝0，左边＝右边，所以x＝a不是方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+c﹣a＝0的解，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键．
9．已知抛物线和直线l在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且﹣1＜x1＜x2，当x＞﹣1时，由图象知，y随x的增大而减小，根据图象的单调性可判断y2＜y1；结合x3＜﹣1，即可判断y2＜y1＜y3．
解：对称轴为直线x＝﹣1，且﹣1＜x1＜x2，当x＞﹣1时，y2＜y1，
又因为x3＜﹣1，由一次函数的图象可知，此时点P3（x3，y3）在二次函数图象上方，
所以y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数概念图象及性质，需要灵活掌握．
10．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（　　）

A．（﹣4，0） B．（﹣5，0）
C．（﹣4，0）或（﹣5，0） D．（﹣3，0）
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
解：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；

要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（﹣4，0）．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应
11．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC＝5m，则坡面AB的长度是 　10　m．

【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解：Rt△ABC中，BC＝5m，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝5m，
∴AB＝＝10m．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝，则AB＝　　．

【分析】由圆周角定理知，∠B＝∠D；由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°．已知BC＝2，tan∠ADC＝，由勾股定理可求AB．
解：∵∠B＝∠D，
∴tanB＝tan∠ADC＝＝．
∵BC＝2，
∴AC＝．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴AB＝＝．
【点评】本题利用了圆周角定理和直径所对的圆周角是直角及勾股定理求解．
13．已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为 　55°或125°　．
【分析】分两种情况，一是点C与圆心O在直线AB的同侧，则∠ACB＝∠AOB＝55°；二是点C与圆心O在直线AB的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线AB的同侧，连接AD、BD，则∠D＝∠AOB＝55°，所以∠ACB＝180°﹣∠D＝125°，于是得到问题的答案．
解：当点C与圆心O在直线AB的同侧时，如图1，
∵∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×110°＝55°；
当点C与圆心O在直线AB的异侧时，如图2，
在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线AB的同侧，连接AD、BD，
∵∠D＝∠AOB＝55°，且∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠D＝180°﹣55°＝125°，
综上所述，∠ACB的度数为55°或125°，
故答案为：55°或125°．

【点评】此题重点考查圆周角定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，根据顶点C的不同位置正确地求出∠ACB的度数是解题的关键．
14．如果关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么k的最小整数值是　2　．
【分析】先把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，由关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，所以2k﹣1≠0且Δ＜0，即解得k＞，即可得到k的最小整数值．
解：把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，
∵原方程为一元二次方程且没有实数根，
∴2k﹣1≠0且Δ＜0，即Δ＝（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6＝88﹣48k＜0，解得k＞．
所以k的取值范围为：k＞．
则满足条件的k的最小整数值是2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义．
15．设抛物线y＝x2+b的顶点为M，与直线y＝6的两交点为A、B，若△AMB的面积为27，则b的值为 　﹣3　．
【分析】依据题意，b＜6，此时△AMB的边AB上的高为6﹣b，又令x2+b＝6，得x＝±，从而AB＝2，再根据面积为27，即可得解．
解：由题意，b＜6，∴△AMB的边AB上的高为6﹣b．
又令x2+b＝6，
∴x＝±．
∴AB＝2．
又△AMB的面积为27，
∴AB•（6﹣b）＝27．
∴6﹣b＝9．
∴b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并理解是关键．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为　　．

【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．
解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE＝OF；
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理，得BC＝4；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD＝S△ACD，
又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，
∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，
解得OE＝，
∴⊙O的半径是．
故答案为：．

【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x2，0），且1＜x2＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）下方，在下列结论中：
①ab＞0；
②4a﹣2b+c＝0；
③2a﹣b+1＜0；
④a＜b＜c．
其中正确的结论有 　①②④　（请填写序号）．
【分析】根据题意易得a＜0，0＜c＜2，画出函数大致图象，根据抛物线的对称轴公式可得﹣＝＜0，进而可得b＜0，以此可得abc＞0；将点（﹣2，0）代入二次函数解析式中即可判断②；将x＝﹣1代入二次函数解析式中，结合函数图象即可判断③；由一元二次方程根与系数的关系可知﹣2•x1＝＜﹣2，以此即可判断④．
解：∵二次函数的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，
∴二次函数的开口一定向下，即a＜0，且0＜c＜2，
二次函数的图象大致如下图所示：

∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，
∴＞0，
又∵a＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，故②正确；
由函数图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，故③错误；
∵﹣2•x1＜﹣2，
∴由一元二次方程根与系数的关系可知﹣2•x1＝＜﹣2，
∴c＞﹣2a，即2a+c＞0，故④正确．
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
18．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最大值是　　．

【分析】过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，将x＝0、y＝0代入y＝x﹣3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠ABO＝∠CBD、∠AOB＝∠CDB＝90°即可证出△AOB∽△CDB，再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值．
解：过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，连接P′A、P′B，此时△P′AB的面积最大，如图所示．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴点B（0，﹣3）；
当y＝x﹣3＝0时，x＝4，
∴点A（4，0）．
∵点C（0，1），
∴BC＝1﹣（﹣3）＝4，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5．
∵∠ABO＝∠CBD，∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△AOB∽△CDB，
∴，
∴CD＝＝，
∴DP′＝CD+CP′＝+1＝．
∴S△P′AB＝AB•P′D＝×5×＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，找出△PAB面积取最大值时点P的位置是解题的关键．本题属于中档题，难度不大，利用相似三角形的性质或者面积法求出CD的长度是解决此题的突破点．
三、解答题：（本大题共10小题，共76分，将解答过程写在答题纸相对应的位置上.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.）
19．计算：．
【分析】先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．
解：原式＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝0．
【点评】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
20．解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】把右边的项原点左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
解：方程化为：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0
（x﹣1）（3x+2）＝0
x﹣1＝0或3x+2＝0
∴x1＝1，x2＝﹣．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项原点左边用提公因式法因式分解求出方程的根．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；
（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明Δ＞0即可．
（2）因为＝＝﹣，所以由根与系数的关系可得＝﹣，解方程可得m的值．
解：（1）证明：Δ＝（4m+1）2﹣4（2m﹣1）
＝16m2+8m+1﹣8m+4＝16m2+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵，即＝﹣，
∴由根与系数的关系可得＝﹣①，
解得 m＝﹣，
经检验得出m＝﹣是方程①的根，
即m的值为﹣．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
22．如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C，求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）

【分析】延长PQ交直线AB于点C，根据直角三角形两锐角互余求得即可；设PC＝x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB＝AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
解：延长PQ交直线AB于点C，

∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；
设PC＝x米．
∠PAC＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°，
∴∠BPC＝30°．
BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝10（米），
∴x﹣x＝10，
解得：x＝15+5．
则BC＝（5+5）米．
在直角△BCQ中，QC＝BC＝（5+5）＝（5+）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝15+5﹣（5+）＝10+≈15.8（米）．
答：树PQ的高度约为15.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，三角函数的定义；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键．
23．已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点．
（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．

【分析】（1）可设此二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+2，把点（0，）代入即可解得a值，所以y＝﹣（x+1）2+2，作图即可；
（2）把点M（m，﹣m2）代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．
解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+2，
又点（0，）在它的图象上，
所以＝a+2，解得，，
所求为y＝﹣（x+1）2+2，或y＝﹣x2﹣x+．
令y＝0，得x1＝1，x2＝﹣3，
画出其图象；

（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，
则﹣m2＝﹣（m+1）2+2，
得m2﹣2m+3＝0，
方程的判别式：4﹣12＝﹣8＜0，该方程无实根，
所以，对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．

【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式和图象上的点与解析式的关系．
24．苏州中心商场以每件200元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量y（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件）
380
360
340
320
300
280
260
y（件）
4
8
12
16
20
24
28
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，苏州中心商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润＝每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以写出利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可求得利润的最大值．
解：（1）由题意可得，
y与x符合一次函数关系式，
设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
，
解得，
即y与x的函数解析式为y＝﹣0.2x+80；
（2）设每天的毛利润为W元，
由题意可得：W＝（x﹣200）（﹣0.2x+80）＝﹣0.2（x﹣300）2+2000，
∴当x＝300 时，获得的毛利润最大，最大毛利润为2000元，
答：每件服装的销售定价为300元时，苏州中心商场销售这种服装每天获得的毛利润最大，每天的最大毛利润是2000元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
25．如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，sin∠BDE＝，求DE的长．

【分析】（1）先连接OD，根据∠ODB＝∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线；
（2）先连接DF，根据题意得到∠F＝∠BDE，在Rt△BDF中，根据＝sin∠F＝sin∠BDE＝．求得BD＝10×＝2．根据三角函数的定义得到可得BE＝2，最后依据勾股定理即可得到DE的长．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OD．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD＝∠DBE．
∴∠ODB＝∠DBE．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解：如图，连接DF．
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FDB＝90°．
∴∠F+∠OBD＝90°，
∵∠OBD＝∠DBE，
∠BDE+∠DBE＝90°，
∴∠F＝∠BDE．
在Rt△BDF中，＝sin∠F＝sin∠BDE＝．
∴BD＝10×＝2．
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝＝，
∴BE＝2×＝2．
在Rt△BDE中，DE＝＝＝4．

【点评】本题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形以及直角三角形，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

【分析】（1）连接OF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点，根据圆周角定理可得∠BAF＝∠CAF，由此得证；
（2）求BF＝FD，可证两边的对角相等；易知∠DBF＝∠DBC+∠FBC，∠BDF＝∠BAD+∠ABD；观察上述两个式子，∠ABD、∠CBD是被角平分线平分∠ABC所得的两个等角，而∠CBF和∠DAB所对的是等弧，由此可证得∠DBF＝∠BDF，即可得证；
（3）由EF、DE的长可得出DF的长，进而可由（2）的结论得到BF的长；然后证△FBE∽△FAB，根据相似三角形得到的成比例线段，可求出AF的长，即可由AD＝AF﹣DF求出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH（1分）
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC
∴，
∴∠1＝∠2，
∴AF平分∠BAC

（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2
∴∠1+∠4＝∠2+∠3
∴∠1+∠4＝∠5+∠3
∵∠1+∠4＝∠BDF，∠5+∠3＝∠FBD，
∴∠BDF＝∠FBD，
∴BF＝FD

（3）解：在△BFE和△AFB中
∵∠5＝∠2＝∠1，∠AFB＝∠AFB，
∴△BFE∽△AFB
∴＝，
∴BF2＝FE•FA
∴，EF＝4，BF＝FD＝EF+DE＝4+3＝7，
∴
∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣（DE+EF）＝＝

【点评】此题主要考查了切线的性质、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．
27．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（6，0），且sin∠OCB＝．
（1）若点Q是线段BC上一点，且点Q的横坐标为m．
①求点Q的纵坐标；（用含m的代数式表示）
②若点P是⊙A上一动点，求PQ的最小值；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动，到点C运动停止，⊙A随着点A的运动而移动．
①点A从O→B的运动的过程中，若⊙A与直线BC相切，求t的值；
②在⊙A整个运动过程中，当⊙A与线段BC有两个公共点时，直接写出t满足的条件．

【分析】（1）①根据正切的概念求出BC＝10，OC＝8，运用待定系数法求出直线BC的解析式，根据函数图象上点的坐标特征解得即可；
②作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，根据三角形面积公式计算即可；
（2）①根据切线的性质和相似三角形的性质计算即可；
②结合图形、运用直线与圆的位置关系定理解答．
解：（1）①∵点B的坐标为（6，0），tan∠OCB＝，
∴BC＝10，OC＝8，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∵点Q的横坐标为m，
∴点Q的纵坐标为﹣m+8；
②如图1，作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，
×AB×OQ＝×BO×CO，
解得，OQ＝4.8，
∴PQ最小＝OQ最小﹣1＝3.8；
（2）①如图2，⊙A与直线BC相切于H，
则AH⊥BC，又∠BOC＝90°，
∴△BHA∽△BOC，
∴＝，即＝，
解得，BA＝，
则OA＝6﹣＝，
∴t＝时，⊙A与直线BC相切；
②由（2）①得，t＝时，⊙A与直线BC相切，
当t＝5时，⊙A经过点B，
当t＝7时，⊙A经过点B，
当t＝15时，⊙A经过点C，
故＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．


【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系、待定系数法求一次函数的解析式以及最短距离的确定，灵活运用相关定理和数形结合思想是解题的关键．
28．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）直接写出点B、C的坐标，B　（5，0）　；C　（0，5）　．
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC．若△PBC的面积，求点P的坐标．
（3）设E为线段BC上任意一点（不含端点），连接AE，一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．
（4）若点Q在y轴上，当∠AQB取得最大值时，直接写出点Q的坐标 　（0，）或（0，﹣）　．

【分析】（1）根据抛物线计算即可；
（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与BC平行直线，找到与抛物线的交点P；
（3）如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得∠BCG＝30°，作EN⊥CG于N．作AN′⊥CG于N′交BC于E′．由点M的运动时间t＝AE+，EN＝EC，推出点M的运动时间t＝AE+EN，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与N′重合，点E与E′重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题；
（4）构造以A、B为弦的圆，由圆周角性质，当圆与y轴相切时，∠AQB取得最大值．
解：（1）当x＝0时，y＝5，
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
故答案为：（5，0），（0，5）；
（2）设x轴上点D，使得△DBC的面积15，
∴，
解得：BD＝6，
∵C（0，5），B（5，0），
则可求直线BC解析式为：y＝﹣，
故点D坐标为（﹣1，0）或（11，0），
当D坐标为（﹣1，0）时，过点D平行于BC的直线l与抛物线交点为满足条件的P，
则可求得直线l的解析式为：y＝﹣，
求直线l与抛物线交点得：x2﹣6x+5＝﹣，
解得：x1＝2，x2＝3，
则P点坐标为（2，﹣3）或（3，﹣4），
同理当点D坐标为（11，0）时，直线l的解析式为y＝﹣，
求直线l与抛物线交点得：x2﹣6x+5＝﹣，
解得：x1＝﹣1（舍弃），x2＝6，
则点P坐标为（6，5），
综上满足条件P点坐标为：（2，﹣3）或（3，﹣4）或（6，5）；
（3）如图1，在x轴上取一点G，连接CG，使得∠BCG＝30°，作EN⊥CG于N．作AN′⊥CG于N′交BC于E′．
∵tan∠BCO＝＝，
∴∠BCO＝30°，
∴∠GCO＝60°，
∴OG＝OC＝15，
∴直线CG的解析式为＝﹣x+5，
∵点M的运动时间t＝AE+，EN＝EC，
∴点M的运动时间t＝AE+EN，
根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与N′重合，点E与E′重合时，点M的运动时间最少．
由题意A（1，0），
∴AG＝14，
∴AN′＝AG＝7，
∴点M的运动时间的最小值为7秒，此时E（3，2）；
（4）以AB边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆F与y轴切于点Q时，∠AQB取得最大值．
如图2：连FA、FB、FQ，作FH⊥AB于点H

则可知AH＝2，
∴QF＝OH＝3，
∴FH＝，
∴点Q坐标为（0，），
根据对称性可知，当点Q在x轴X下方时，点Q的坐标为（0，﹣），
故答案为：（0，）或（0，﹣）；
【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质，作辅助线构造圆是解答本题的关键．