2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区重点中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，△ABC和△A’B’C’关于直线l对称，下列结论：(1)△ABC≌△A’B’C’；(2)∠ABC=∠A’B’C’；(3)直线l垂直平分CC’；(4)直线l平分∠CAC’.正确的有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为( )
A. 16B. 20C. 12D. 16或20
4.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AB=AC=CD，∠2=80°，则∠1=( )
A. 20°B. 50°C. 30°D. 10°
5.如图是用直尺和圆规作∠AOB的角平分线的示意图，请你根据所学知识，说明此做法的依据是
( )
A. SASB. AASC. SSSD. ASA
6.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°
7.如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是
( )
A. 84°B. 96°C. 108°D. 124°
8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N，Q.若∠PAQ=40°，则∠BAC的度数是
( )
A. 140°B. 110°C. 100°D. 70°
9.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为( )
A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.以下四个结论：①∠CDE=∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD=30°时，BD=CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC=30°.其中正确的结论有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.在等腰三角形ABC中，∠A=110°，则∠B=______．
12.直角三角形斜边长为10，则斜边中线长为____．
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于____．
14.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠A’DB的长为_____．
15.如图如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD=PE，若∠AOB=40°，∠OPE=_____．
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED,BD.若∠BAD=56°，则∠EDB的度数为_____度．
17.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=8，AC=4，则BE=_____．
18.如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_时，△POQ是等腰三角形．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
如图，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
(2)在直线l上找一点P，使点P到点A，点B的距离之和最短；
(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边AC,BC的距离相等．
20.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC=AB．
21.(本小题8.0分)
某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
22.(本小题8.0分)
如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC．
(1)求证：AB=AC；
(2)求证：点O在∠BAC的平分线上．
23.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
24.(本小题8.0分)
如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
(1)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
(2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．
25.(本小题8.0分)
数学课上，李老师出示了如下的题目．
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论．
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE____DB(填“>”，“”，“40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD=60°，故④错误．
【详解】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°−40°−∠ADB，∠CDE=180°−40°−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°−70°−40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE或AD=DE
当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，∠EDC=30°
当AD=DE时，可得∠EDC=30°
故④错误；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
11.【答案】350
【解析】【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质即可求出底角．
【详解】∵在等腰三角形中，∠A=110°>90°，∴∠A为顶角，
∴∠B=180∘−∠A2=35∘
故答案为35°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，要注意钝角只能是等腰三角形的顶角．
12.【答案】5
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵直角三角形斜边长为10，
∴斜边中线长为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，比较简单．
13.【答案】110°或70°
【解析】【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形内部；三角形的外部；三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
【详解】当高在三角形内部时(如图1)，∠ABD=20°，
∴∠A=90°−∠ABD=70°，
∴顶角是70°；
当高在三角形外部时(如图2)，∠ABD=20°，
∴∠CAB=90°+∠ABD=110°，
∴顶角是110°．
故答案为：70°或110°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出70°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
14.【答案】10°/10度
【解析】【分析】由折叠的性质可得∠A’=∠A=40°，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC=50°，进而根据三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
由折叠的性质可知∠A’=∠A=40°，
∴∠A’DB=∠ABC−∠A’=50°−40°=10°；
故答案为：10°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、三角形外角的性质及折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质、三角形外角的性质及折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】70°/70度
【解析】【分析】利用HL证明Rt△ODP≌Rt△OEP，可得∠DOP=∠EOP=12∠AOB=20°，进一步计算，即可求解．
【详解】解：∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF，
，
∴Rt△ODP≌Rt△OEPHL，
∴∠DOP=∠EOP=12∠AOB=20°，
∴∠OPE=90°−20°=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明Rt△ODP≌Rt△OEP是解题的关键．
16.【答案】34
【解析】【分析】证明EA=EB=EC=DE，可得∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，可得∠DEB的度数，再利用等边对等角即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴EA=EB=EC=DE，
∴∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，
在△AED中，∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，
同理可得到：∠BEC=2∠BAE，
∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2(∠DAE+∠BAE)=2×56°=112°，
∴∠EDB=∠EBD=12(180°−∠DEB)=34°．
故答案为：34．
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练的求解∠DEB=∠DEC+∠BEC是解本题的关键．
17.【答案】2
【解析】【分析】连接CD，BD，证明△ADF≌△ADEAAS，Rt△CDF≌Rt△BDEHL，根据AB=AC+2BE，即可求得BE的长．
【详解】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠DAF=∠DAE，
在△ADF和△ADE中，
∠DAF=∠DAE∠F=∠DEBAD=AD,
∴△ADF≌△ADEAAS，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE,
∴Rt△CDF≌Rt△BDEHL，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=8，AC=4，
∴BE=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
18.【答案】103或10
【解析】【分析】先求出∠AOC=120°，当点P在线段OC上时，则OP=OQ，当点P在CO的延长线上时，则OP=OQ，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设t秒后△POQ是等腰三角形，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=180°−∠AOB=120°
分两种情况：(1)当点P在线段OC上时，则OP=OC−CP=OQ，
∴10−2t=t，
解得，t=103s；
(2)当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP=OQ，
即2t−10=t，
解得，t=10s；
综上所述，当t=103s或t=10s时，△POQ是等腰三角形．
故答案为：103或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
19.【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【解析】【分析】(1)如图所示，在网格上分别找到点A、点B、点C的对称点点A1、点B1、点C1，连接A1B1、A1C1、B1C1即可；
(2)连接A1B交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；
(3)根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行作图即可．
【详解】(1)解：如图， △A1B1C1为所作；
(2)解：根据(1)的结论，点A、点A1关于直线l成轴对称，
∴PA1=PA
∴PA+PB=PA1+PB，
如下图，连接A1B
∴当点P在直线l和A1B的交点处时，PA1+PB=A1B为最小值，
∴当点P在直线l和A1B的交点处时，PA+PB取最小值，即点P到点A、点B的距离之和最短；
(3)解：如图所示，连接CC1，
根据题意的：∠ACC1=∠BCC1
∴点Q在直线l和CC1的交点处时，点Q到边AC,BC的距离相等．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，角平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
20.【答案】1)75°(2)证明见解析
【解析】【分析】(1)由AB=AC可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC，再利用角的和差可求得∠DAC；
(2)由外角的性质得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC，从而有AC=DC，即可得到结论．
【详解】(1)∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°=75°；
(2)∵∠ADC=∠B+∠DAB=30° +45°=75°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴AC=DC，
∵AB=AC，
∴AB=CD．
【点睛】考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形的外角性质．
21.【答案】见解析
【解析】【分析】分别作∠AOB的平分线和MN的垂直平分线，交点P即为所求．
【详解】解：如图所示，P在∠AOB的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的尺规作图，熟练作图步骤是解题的关键．
22.【答案】(1)见解析
(2)见解析

【解析】【分析】(1)根据等边对等角先求出∠OBC=∠OCB，再证明△BEC≌△CDB即可解决问题．
(2)先由(1)的全等得到BD=CE，再得到OD=OE，即可得到点在角平分线上．
【详解】(1)证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵BC是公共边，
∴△BEC≌△CDBASA
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC；
(2)证明：∵△BEC≌△CDB，
∴BD=CE，
∵OB=OC，
∴OD=OE，
又∵OD⊥AC,OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到△BEC≌△CDB．
23.【答案】(1)163；(2)11秒或12秒．
【解析】【分析】(1)由题意用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，即可求得t；
(2)根据题意用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，即可求得t的值．
【详解】解：(1)由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=16，
∴BP=AB−AP=16−t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即16−t=2t，解得t=163，
∴出发163秒后△PQB能形成等腰三角形；
(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10(cm)，
∴BC+CQ=22(cm)，
∴t=22÷2=11(秒)．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示，
则BC+CQ=24(cm)，
∴t=24÷2=12(秒)．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．掌握用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意结合方程思想进行分析．

24.【答案】(1)见解析；
(2)图见解析，∠B的度数为60°或15°或37.5°．

【解析】【分析】(1)证明△ABE、△AEC是等腰三角形即可；
(2)根据等腰分割线的定义，画出图形即可；分三种情形：当DA=DC时，当AD=AC时，当AC=CD时，利用等腰三角形的性质，分别求解．
【详解】(1)证明：如图2中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条等腰分割线；
(2)解：∵线段AD即为所求分割线，
∴△ABD和△ACD都是等腰三角形，
①如图3，AD=CD=BD，而∠C=30°，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=60°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=60°；
②如图4，AD=BD=AC，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=30°，
∴∠B=15°；
③如图5，AD=BD，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=12(180°−30°)=75°，∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=37.5°，
综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

25.【答案】(1)=
(2)=，过程见解析
(3)CD的长为3或1

【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质，得出，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，再根据等边对等角，得出∠D=∠ECD=30°，再根据三角形的外角和的性质，得出∠D=∠BED=30°，再根据等角对等边，即可得出结论；
(2)过点E作EF/\!/BC，交AC于点F，根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠ECD=∠CEF，进而得出∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，再根据等边三角形的判定定理，得出△AEF是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出AE=AF=EF，再根据线段之间的数量关系，得出BE=CF，再根据角之间的数量关系，得出∠BED=∠FCE，再根据SAS，得出△DBE≌△EFC，再根据全等三角形的性质，得出DB=EF，再根据等量代换，即可得出结论；
(3)分四种情况：①当点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上时；②当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时；③当点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上时；④当点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上时，分别画出图形，根据等边三角形的性质，求出符合条件的CD的长即可．
【详解】(1)解：∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴DB=BE=AE；
故答案为：=
(2)解：AE与DB的大小关系是：AE=DB，理由如下：
如图2，过点E作EF/\!/BC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
又∵EF/\!/BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠ECD=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF，
∴AB−AE=AC−AF，即BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB．
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE．
在△DBE和△EFC中，
ED=EC∠DEB=∠EFCEB=FC,
∴△DBE≌△EFCSAS，
∴DB=EF，
∴AE=BD；
故答案为：=
(3)解：①如图，当点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上时，
∵△ABC的边长为1，
∴AB=AC=BC=1，
∵AE=2，
∴BE=2−1=1，
∴B是AE的中点，
∴BC=12AE，
∴△ACE是直角三角形，
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠DCE=90°−60°=30°，
∵ED=EC，
∴∠CDE=∠DCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠BED=180°−30°−60°=90°，
∴BD=2BE=2×1=2，
∴CD=BD+BC=2+1=3；
②如图，当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时，
过点A作AN⊥BC于N，过点E作EM⊥CD于M，
∵△ABC是等边三角形，EC=ED，
∴BN=CN=12BC=12，CM=MD=12CD，AN/\!/EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ABAE=BNMN，
∵△ABC的边长为1，AE=2，
∴12=12×1MN，
∴MN=1，
∴CM=MN−CN=1−12=12，
∴CD=2CM=1；
③如图，当点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上时，
∵∠ECD=∠EBC+∠BEC，
∴∠ECD> ∠EBC，
即此时EC≠ED，
∴此种情况不存在；
④如图，当点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上时，
∵∠EDC< ∠ABC，，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD> ∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此种情况不存在，
综上所述，可得：CD的长为3或1．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角和的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出符合题意的所有图形．