福建省莆田市第一中学2023-2024学年高一上学期第一学段（期中）考试数学试卷(含答案)

福建省莆田市第一中学2023-2024学年高一上学期第一学段（期中）考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、函数的定义域为( )A. B. C. D.2、已知全集为实数集R,集合,的关系的韦恩图如图所示,则阴影部分表示的集合的元数个数为( )A.2 B.3 C.4 D.53、三个数,,的大小关系( )A. B.C. D.4、已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,,则当时,的解析式为( )A. B. C. D.5、已知,,,则的最小值是( )A.1 B.4 C.7 D.6、某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量以每小时的速度呈直线上升;注射结束后,血液中的药物含量每小时以的衰减率呈指数衰减.若该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效,则该药物对病人有疗效的时长大约为( )（参考数据：,,,）A.2小时 B.3小时 C.4小时 D.5小时7、已知函数在上单调,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.8、高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数.例如：,.已知函数,则函数的值域为( )A. B. C. D.二、多项选择题9、下列命题中,正确的是( )A.若,则 B.若,则C.若.则 D.若,,则10、已知函数,下面命题正确的是( )A.函数的图象关于原点对称 B.函数的图象关于y轴对称C.函数的值域为 D.函数在内单调递减11、一个矩形的周长为l,面积为S,则下列四组数对中,可作为数对的有( )A. B. C. D.12、已知函数,,对于不相等的实数,,设,,现有如下命题中真命题是( )A.对于不相等的实数,,都有B.对于任意实数a及不相等的实数,,都有C.对于任意实数a及不相等的实数,,都有D.对任意不相等的实数,,存在实数a,都有三、填空题13、设a,且关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为______________.14、已知幂函数的图象如图所示,则__________.（写出一个正确结果即可）15、已知定义在R上的函数满足：,,都有,且是奇函数,则满足的x的取值范围为__________.16、设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意都有,则m的取值范围是__________.四、解答题17、回答下列问题（1）计算：;（2）已知,求的值.18、已知关于x的方程有实数根,.(1)若命题是真命题,求实数a的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.19、已知,,令,(1)画出函数的图象,并写出单调递减区间.(2)求不等式的解集.20、第24届冬季奥林匹克运动会,即2022年北京冬季奥运会,激发了大家对冰雪运动的热情,与冰雪运动有关的啇品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调直发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数）.该款冰雪运动装备的日销售量（套）与时间x的部分数据如下表所示：已知第24天该商品的日销售收入为32400元.(1)求k的值;(2)给出以下两种函数模型：①;②,请你依据上表中的数据,从以上两种函数模型中,选择你认为最合适的一种函数模型,来描述该商品的日销售量与时间x的关系,说明你选择的理由.根据你选择的模型,预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.21、已知(1)判断并用定义法证明在上的单调性;(2)若在上的值域为,求的取值范围.22、已知函数,.(1)求的值域;(2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心,若存在,求出该对称中心的坐标;若不存在,说明理由;(3)若对任意,都存在及实数m,使得,求实数n的最大值.参考答案1、答案：D解析：因为,所以且,所以函数定义域为,故选：D.2、答案：B解析：由,得或,韦恩图中阴影部分表示的集合为,而,所以,阴影部分表示的集合的元数个数为3.故选：B.3、答案：A解析：因为在R上递增,所以,又因为在R上递减,所以,所以.故选A.4、答案：D解析：由函数为偶函数,得当时,,,故选：D.5、答案：C解析：由,得,又,,即,,则,即,解得,当且仅当,即,时,等号成立,所以,故选：C.6、答案：C解析：设时间为x,血液中药物的浓度为y,则,所以当时,,解得;当时,,即,即,所以,即,综上可得,所以,即该药物对病人有疗效的时长大约为4小时;故选：C.7、答案：D解析：已知函数在上单调,则有或,解得.所以实数a的取值范围为.故选：D.8、答案：C解析：令,则,由二次函数的图像和性质可知,当时, ,所以.故选：C.9、答案：BC解析：A选项,若,满足,但,A错误;B选项,因为,所以,,,故两边同乘以ab得,,B正确;C选项,,因为,所以,故,所以,C正确;D选项,若,,则,则,即,D错误.故选：BC.10、答案：ACD解析：因为,所以的定义域为,且定义域关于原点对称,又因为,所以为奇函数,故A正确,B错误;又因为,,所以,所以,故C正确;因为,时,又在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递减,故D正确;故选：ACD.11、答案：AC解析：不妨设矩形长宽分别为a,b,则.对于A项,显然成立,符合,对于C项,显然成立,符合,即A、C正确;对于B项,显然不成立,对于D项,显然不成立,即B、D错误.故选:AC.12、答案：AD解析：任取,则,A正确;由二次函数的单调性可得在单调递减,在单调递增,可取,,则,B错误;,,则不恒成立,C错误;,,若,则,只需即可,D正确.故选：AD.13、答案：解析：因为的解集为,所以,所以,所以,解得,故答案为：.14、答案：（答案不唯一）解析：由幂函数图象知,函数的定义域是,且在单调递减,于是得幂函数的幂指数为负数,而函数的图象关于y轴对称,即幂函数是偶函数,则幂函数的幂指数为偶数,综上得：.故答案为：.15、答案：{或}解析：不妨设,则由,即在区间上是单调递减函数,又是奇函数,所以关于中心对称,故在R上是单调递减函数,,解之得或.故答案为：{或}.16、答案：解析：当时,,当时,,当时,,当时,,且,作出的大致图象如下图所示：由图象可知：若,对于任意都有显然不成立,所以,由图象可知,当时,令,则有,解得或,结合图象可知,若对于任意都有成立,则有,故答案为：.17、答案：（1）;（2）18.解析：（1）原式.（2）由,得,所以.18、答案：(1);(2){或}.解析：（1）因为命题是真命题,则命题p是假命题,即关于的方程无实数根,因此,,解得,所以实数的取值范围是,（2）由（1）知,命题p是真命题,即,因为命题p是q的必要不充分条件,则,当即时,,满足题意,当即时,则,所以实数m的取值范围是{或}.19、答案：(1)图见解析,单调递減区间为(2)答案见解析解析：（1）因为,,所以令得,令得或,所以,作出函数图象如下由图象知函数的单调递減区间为（2）不等式等价于,即,所以,当即时,有或,当即时,有或,当即时,有,即,综上所述,当时,不等式的解集为或,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为或.20、答案：(1)(2)答案见解析解析：（1）因为第24天该商品的日销售收入为32400元,所以可得,解得.（2）对于模型①,因为表示两侧等距的函数值相等,而表格中数据并未体现此规律,排除模型①.对于模型②,将,代入模型②,,解得,此时,经验证,均满足,故选模型②.所以,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,故日销售收入在第天达到最低.21、答案：(1)单调递减,证明见解析(2)解析：（1）当时,（当且仅当时取得最大值）函数在单调递增,在上单调递减,理由如下：,且,则.当时,,,又,,所以即,所以在上单调递增,当时,,又,,所以即,所以在上单调递减,（2）因为在上的值域为,所以由（1）知,令,即,解得或,当时,,则有,当时,,则有,综上所述,的取值范围为.22、答案：(1)(2)存在,对称中心为(3)2解析：（1）将代入,得,则,又因为,所以的值域为;（2）假设函数的图像存在对称中心,则对于定义域内任何x恒成立,整理得恒成立,所以,解得,,故函数的对称中心为;（3）因为对任意,都存在及实数m,使得,所以,即,所以,所以,因为,所以,因为,所以,所以,即,所以,所以,即n的最大值为2.x381524（套）12131415