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【期末复习】人教版 初中数学 2023-2024学年 八年级上册 期末基础专题训练 04 轴对称、等腰三角形（原卷+解析卷）.zip
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这是一份【期末复习】人教版 初中数学 2023-2024学年 八年级上册 期末基础专题训练 04 轴对称、等腰三角形（原卷+解析卷）.zip，文件包含期末复习基础知识训练人教版2023-2024学年初中数学八年级上册期末基础专题04轴对称等腰三角形原卷docx、期末复习基础知识训练人教版2023-2024学年初中数学八年级上册期末基础专题04轴对称等腰三角形解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
1．轴对称
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；
（2）两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；
（3）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；
（4）轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．
2．垂直平分线
（1）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（4）对称的两个图形是全等的；
（5）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（6）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
3．作轴对称图形
分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；（注意取特殊点）
4．用坐标表示轴对称
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，﹣y）．
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y）．
（3）P（a，b）关于直线x=m的对称点P'的坐标为（2m﹣a，b）．
（4）P（a，b）关于直线y=n的对称点P'的坐标为（a，2n﹣b）．
5．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等．（定义）
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ．
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（三线合一）
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．
6．有关的定理及其推论
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”．）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
7．等边三角形
1．等边三角形定义：三条边都相等的三角形．（等边三角形是特殊的等腰三角形）
2．等边三角形的性质：
①等边三角形的三个内角都是60°．
②等边三角形的每条边都存在三线合一．
3．等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线．（有3条对称轴）
4．等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形．
8．含30°的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
考向解读
（1）理解图形的平移、翻折的直观意义．
（2）认识平面图形翻折的过程，在实例中理解轴对称的意义；知道轴对称图形的基本性质．
（3）会画平移后的图形；会画已知图形关于某一条直线对称的图形；会画已知图形关于某一点对称的图形．
（4）理解两个图形叠合的意义，知道在平移、翻折等运动中图形的形状和大小保持不变．
（5）了解等腰三角形、直角三角形、等边三角形的有关概念．
（6）掌握等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质和判定定理．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 轴对称图形 PAGEREF _Tc152228247 \h 4
考点02 轴对称性质的应用—折叠问题 PAGEREF _Tc152228248 \h 6
考点03 线段垂直平分线的性质与判定 PAGEREF _Tc152228249 \h 8
考点04 坐标系中的轴对称 PAGEREF _Tc152228250 \h 11
考点05 等腰三角形 PAGEREF _Tc152228251 \h 15
考点06 等边三角形 PAGEREF _Tc152228252 \h 19
考点07 含30°角的直角三角形的性质 PAGEREF _Tc152228253 \h 24
考点08 最短路径问题 PAGEREF _Tc152228254 \h 27
考点01 轴对称图形
【例1】（2022秋•番禺区校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【例2】（2022秋•潮安区期末）下列图形中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【例3】（2023春•牡丹区期末）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
考点02 轴对称性质的应用—折叠问题
【例1】（2022秋•忠县期末）如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点的对应点是，若，则
A．B．C．D．
【例2】（2022秋•市北区校级期末）如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为
A．B．C．D．
【例3】（2023春•中江县期末）被称为“数学小王子”的小王同学参加了学校纸艺社团活动．在一次折纸活动中，他发现：一张如图所示的长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，此时，小王测得，据此，小王算出了的度数，这个度数应该是 度．
考点03 线段垂直平分线的性质与判定
【例1】（2022秋•道县期末）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为
A．B．C．D．
【例2】（2022秋•天桥区期末）如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是
A．B．C．D．
【例3】（2022秋•番禺区期末）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）与的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
考点04 坐标系中的轴对称
【例1】（2023春•儋州期末）点关于轴的对称点的坐标是
A．B．C．D．
【例2】（2022秋•东莞市期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出关于轴对称的图形△；
（2）直接写出、、的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△的面积．
【例3】（2022秋•克什克腾旗期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；
（2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时点关于这条直线的对称点的坐标为 ；
（3）求△的面积．
考点05 等腰三角形
【例1】（2023春•福田区校级期末）如图，中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是
A．3B．4C．5D．6
【例2】（2023春•新泰市期末）如图，在中，，的平分线交于点，交于点．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，若，垂足为，，求的长．
【例3】（2023春•礼泉县期末）如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
考点06 等边三角形
【例1】（2022秋•交口县期末）如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（异于点、，过点作，垂足为，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．当点在边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②一定为等边三角形；③可能为等腰三角形．其中正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例2】（2022秋•道外区期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ．
【例3】（2023春•揭东区期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”、“ ”或“” ．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， （填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
考点07 含30°角的直角三角形的性质
【例1】（2022秋•沙河市期末）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是
A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8
【例2】（2022秋•江汉区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，，则的长度是 ．
【例3】（2022秋•枣阳市期末）如图，中，，，的角平分线交于点．点为上一点，且，，交于点．
（1）求的度数；
（2）若于点，，求的长．
考点08 最短路径问题
【例1】（2022秋•浏阳市期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为
A．B．C．D．
【例2】（2023春•宜阳县期末）问题：如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两个小区供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
小明认为：只要找到点关于直线的对称点并连结，与直线的交点为点．泵站建在线上的点处，就可使输气管线最短．
你认为小明的方案正确吗？请你运用所学的数学知识来进行说明（提示：设点为直线上除点以外的任意点）．
【例3】（2022秋•路北区校级期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）若，则的度数是 度；
（2）若，的周长是，
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
考技提升
一、选择题
1．（2022秋•新洲区期末）点关于轴的对称的点的坐标是
A． 2，B．C．D．
2．（2022秋•香洲区期末）已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为
A．1.5B．3C．D．
3．（2023春•文昌校级期末）如图，在中，，，，，则的长为
A．1.5B．2C．3D．4
4．（2022秋•聊城期末）如图，在等边中，点为上一动点（不与，重合），再以为边作等边，连接．有以下结论：①平分；②；③；④；⑤当时，的周长最小．其中一定正确的有
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③④⑤
二、填空题
5．（2022秋•洪山区校级期末）如图，在边长为2的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ．
6．（2022秋•番禺区期末）如图三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为 7 ．
7．（2022秋•讷河市期末）如图，等腰的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值为： 8 ．
8．（2022秋•岳阳县期末）如图，已知点、点分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为 6 ．
三、解答题
9．（2023春•周村区期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
（1）求证：；
（2）连接，请判断的形状，并说明理由．
10．（2023春•新邵县期末）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）试在平面直角坐标系中，标出、、三点；
（2）求的面积．
（3）若△与关于轴对称，写出、、的坐标．
11．（2022秋•晋安区期末）如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动．
（1）当点的运动速度是，点的运动速度是，当到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为，则当为何值时，是直角三角形？
判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（2）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
（3）轴对称在折纸中的应用：先折后剪，每次折叠的折痕所在直线都是这个图形的一条对称轴，然后剪去一部分，再将图形展开铺平，利用轴对称图形的性质，就可以准确判断出被剪掉部分的形状和位置．
1．无论运用定义法还是判定定理，都思路导引要理解垂直平分线的含义，再从已知条件着手进行证明．
2．判定一条直线是线段的垂直平分线时用的两种方法：
（1）定义法，必须满足两个条件：一是垂直，二是平分．
（2）判定定理，必须证明直线上不同的两个点到线段两个端点的距离都相等，再根据“两点确定一条直线”得出结论．
3．线段垂直平分线的性质经常和角平分线的性质结合使用，运用性质可以解决证明线段相等和求线段长度的问题．辅助线一般是连接垂直平分线上的点和这条线段的两个端点．
1．关于坐标轴对称的点的坐标特点：
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．
2．关于谁对称谁不变，即若关于x轴对称，则横坐标x的值不变，简记为“横同纵反”；若关于y轴对称，则纵坐标y的值不变，简记为“纵同横反”．
1．等腰三角形的性质：
（1）性质1：等边对等角．
性质2：三线合一．
（2）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．
（3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．
2．判定等腰三角形的方法：（1）定义法；（2）等角对等边．
3．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
4．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
5．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
6．注意：
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
1．判定等边三角形时常用的选择方法：
（1）若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
3．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择．
1．轴对称
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；
（2）两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；
（3）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；
（4）轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．
2．垂直平分线
（1）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（3）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（4）对称的两个图形是全等的；
（5）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（6）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
3．作轴对称图形
分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；（注意取特殊点）
4．用坐标表示轴对称
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，﹣y）．
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y）．
（3）P（a，b）关于直线x=m的对称点P'的坐标为（2m﹣a，b）．
（4）P（a，b）关于直线y=n的对称点P'的坐标为（a，2n﹣b）．
5．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等．（定义）
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ．
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（三线合一）
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．
6．有关的定理及其推论
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”．）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
7．等边三角形
1．等边三角形定义：三条边都相等的三角形．（等边三角形是特殊的等腰三角形）
2．等边三角形的性质：
①等边三角形的三个内角都是60°．
②等边三角形的每条边都存在三线合一．
3．等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线．（有3条对称轴）
4．等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形．
8．含30°的直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
考向解读
（1）理解图形的平移、翻折的直观意义．
（2）认识平面图形翻折的过程，在实例中理解轴对称的意义；知道轴对称图形的基本性质．
（3）会画平移后的图形；会画已知图形关于某一条直线对称的图形；会画已知图形关于某一点对称的图形．
（4）理解两个图形叠合的意义，知道在平移、翻折等运动中图形的形状和大小保持不变．
（5）了解等腰三角形、直角三角形、等边三角形的有关概念．
（6）掌握等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质和判定定理．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 轴对称图形 PAGEREF _Tc152228247 \h 4
考点02 轴对称性质的应用—折叠问题 PAGEREF _Tc152228248 \h 6
考点03 线段垂直平分线的性质与判定 PAGEREF _Tc152228249 \h 8
考点04 坐标系中的轴对称 PAGEREF _Tc152228250 \h 11
考点05 等腰三角形 PAGEREF _Tc152228251 \h 15
考点06 等边三角形 PAGEREF _Tc152228252 \h 19
考点07 含30°角的直角三角形的性质 PAGEREF _Tc152228253 \h 24
考点08 最短路径问题 PAGEREF _Tc152228254 \h 27
考点01 轴对称图形
【例1】（2022秋•番禺区校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【例2】（2022秋•潮安区期末）下列图形中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【例3】（2023春•牡丹区期末）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
考点02 轴对称性质的应用—折叠问题
【例1】（2022秋•忠县期末）如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点的对应点是，若，则
A．B．C．D．
【例2】（2022秋•市北区校级期末）如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为
A．B．C．D．
【例3】（2023春•中江县期末）被称为“数学小王子”的小王同学参加了学校纸艺社团活动．在一次折纸活动中，他发现：一张如图所示的长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，此时，小王测得，据此，小王算出了的度数，这个度数应该是 度．
考点03 线段垂直平分线的性质与判定
【例1】（2022秋•道县期末）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为
A．B．C．D．
【例2】（2022秋•天桥区期末）如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是
A．B．C．D．
【例3】（2022秋•番禺区期末）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）与的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
考点04 坐标系中的轴对称
【例1】（2023春•儋州期末）点关于轴的对称点的坐标是
A．B．C．D．
【例2】（2022秋•东莞市期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出关于轴对称的图形△；
（2）直接写出、、的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△的面积．
【例3】（2022秋•克什克腾旗期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，．
（1）在图中画出关于轴对称的图形△；
（2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时点关于这条直线的对称点的坐标为 ；
（3）求△的面积．
考点05 等腰三角形
【例1】（2023春•福田区校级期末）如图，中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是
A．3B．4C．5D．6
【例2】（2023春•新泰市期末）如图，在中，，的平分线交于点，交于点．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，若，垂足为，，求的长．
【例3】（2023春•礼泉县期末）如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
考点06 等边三角形
【例1】（2022秋•交口县期末）如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（异于点、，过点作，垂足为，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．当点在边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②一定为等边三角形；③可能为等腰三角形．其中正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例2】（2022秋•道外区期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ．
【例3】（2023春•揭东区期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”、“ ”或“” ．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， （填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
考点07 含30°角的直角三角形的性质
【例1】（2022秋•沙河市期末）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是
A．1.8B．2.2C．3.5D．3.8
【例2】（2022秋•江汉区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，，则的长度是 ．
【例3】（2022秋•枣阳市期末）如图，中，，，的角平分线交于点．点为上一点，且，，交于点．
（1）求的度数；
（2）若于点，，求的长．
考点08 最短路径问题
【例1】（2022秋•浏阳市期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为
A．B．C．D．
【例2】（2023春•宜阳县期末）问题：如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两个小区供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
小明认为：只要找到点关于直线的对称点并连结，与直线的交点为点．泵站建在线上的点处，就可使输气管线最短．
你认为小明的方案正确吗？请你运用所学的数学知识来进行说明（提示：设点为直线上除点以外的任意点）．
【例3】（2022秋•路北区校级期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）若，则的度数是 度；
（2）若，的周长是，
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
考技提升
一、选择题
1．（2022秋•新洲区期末）点关于轴的对称的点的坐标是
A． 2，B．C．D．
2．（2022秋•香洲区期末）已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为
A．1.5B．3C．D．
3．（2023春•文昌校级期末）如图，在中，，，，，则的长为
A．1.5B．2C．3D．4
4．（2022秋•聊城期末）如图，在等边中，点为上一动点（不与，重合），再以为边作等边，连接．有以下结论：①平分；②；③；④；⑤当时，的周长最小．其中一定正确的有
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③④⑤
二、填空题
5．（2022秋•洪山区校级期末）如图，在边长为2的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ．
6．（2022秋•番禺区期末）如图三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为 7 ．
7．（2022秋•讷河市期末）如图，等腰的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值为： 8 ．
8．（2022秋•岳阳县期末）如图，已知点、点分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为 6 ．
三、解答题
9．（2023春•周村区期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
（1）求证：；
（2）连接，请判断的形状，并说明理由．
10．（2023春•新邵县期末）平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）试在平面直角坐标系中，标出、、三点；
（2）求的面积．
（3）若△与关于轴对称，写出、、的坐标．
11．（2022秋•晋安区期末）如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动．
（1）当点的运动速度是，点的运动速度是，当到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为，则当为何值时，是直角三角形？
判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（2）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
（3）轴对称在折纸中的应用：先折后剪，每次折叠的折痕所在直线都是这个图形的一条对称轴，然后剪去一部分，再将图形展开铺平，利用轴对称图形的性质，就可以准确判断出被剪掉部分的形状和位置．
1．无论运用定义法还是判定定理，都思路导引要理解垂直平分线的含义，再从已知条件着手进行证明．
2．判定一条直线是线段的垂直平分线时用的两种方法：
（1）定义法，必须满足两个条件：一是垂直，二是平分．
（2）判定定理，必须证明直线上不同的两个点到线段两个端点的距离都相等，再根据“两点确定一条直线”得出结论．
3．线段垂直平分线的性质经常和角平分线的性质结合使用，运用性质可以解决证明线段相等和求线段长度的问题．辅助线一般是连接垂直平分线上的点和这条线段的两个端点．
1．关于坐标轴对称的点的坐标特点：
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．
2．关于谁对称谁不变，即若关于x轴对称，则横坐标x的值不变，简记为“横同纵反”；若关于y轴对称，则纵坐标y的值不变，简记为“纵同横反”．
1．等腰三角形的性质：
（1）性质1：等边对等角．
性质2：三线合一．
（2）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．
（3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．
2．判定等腰三角形的方法：（1）定义法；（2）等角对等边．
3．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
4．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
5．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
6．注意：
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
1．判定等边三角形时常用的选择方法：
（1）若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
3．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择．
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