2024年中考数学真题模拟分类试题--函数（3）

这是一份2024年中考数学真题模拟分类试题--函数（3），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数y=x+1中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≥−1C．x<−1D．x>1
2．下列说法正确的是（ ）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
3．一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（ ）
A．15m/min，25m/minB．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/minD．30m/min，25m/min
4．如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是（ ）
​​
A．3B．4C．5D．6
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2，0)，(3，0)．下列结论：①abc>0；②c=2b；③若抛物线上有点(52，y1)，(−3，y2)，(−12，y3)，则y2A．4B．3C．2D．1
6．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD=12，则k的值是（ ）
A．−6B．−12C．−92D．−9
7．如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4)，△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：
①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
⑤若点(m，y1)，(−m+2，y2)均在该二次函数图象上，则y1=y2.其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC=2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y=kx（x>0）的图象经过点B，D，则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．32
10．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以3m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．12m2B．123m2C．24m2D．243m2
二、填空题
12．在函数y=2x−8中，自变量x的取值范围是 ．
13．已知反比例函数y=14x的图象经过点(a，7)，则a的值为 ．
14．抛物线y=−(x+2)2+6与y轴的交点坐标 ．
15．将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
16．如图，点A在反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函数y=−k2x图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 .
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C=90°.则点C′的坐标为 .（结果用含a，b的式子表示）
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y=33x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB=22，顶点C在直线l2：y=3x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，……，则△A2023B2023C2023的面积是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA=OB=4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 .
三、综合题
20．一次函数y=−x+m与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1，2)．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T(t，0)作x轴的垂线l，l与一次函数y=−x+m和反比例函数y=kx的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
21．某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−b2a，顶点坐标是(−b2a，4ac−b24a)．
23．在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1ℎ后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5ℎ后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xℎ之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 km/ℎ，乙车行驶的速度是 km/ℎ．
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．
24．已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发23ℎ后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(ℎ)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(ℎ)之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
25． 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
26．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）拋物线上是否存在一点P，使得S△PBC=12S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 千米，a= ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
28．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+2时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
29．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC=60°，OC的长是一元二次方程x2−4x−12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式．
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式．
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
30．某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人.
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地.下图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米.
31．如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(−6，0)，B(−2，0)，C(0，6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B.
（1）求抛物线和一次函数的解析式.
（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧.这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.
（3）将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）.点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方.已知点P的横坐标为m.过点P作PD⊥NC于点D.求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？
32．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+63与x轴交于点A(−6，0)，B(8，0)，与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S=63时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM=12∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM−∠GBM=∠FRB+12∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL−NV=12BV，若∠EBF=∠VMN，求直线BF的解析式．
四、实践探究题
33．综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c上的点A，C坐标分别为(0，2)，(4，0)，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM=2，连接AC，CM.
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC=S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当MA′+MC′的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MA′+MC′的最小值为 .
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】A
11．【答案】C
12．【答案】x≠8
13．【答案】2
14．【答案】(0，2)
15．【答案】2或4
16．【答案】-6
17．【答案】(6−2a，−2b)
18．【答案】240463
19．【答案】(4−122021，122021)
20．【答案】（1）解：把A(1，2)代入一次函数y=−x+m，
得−1+m=2，
解得：m=3，
∴一次函数的解析式为：y=−x+3，
把A(1，2)代入反比例函数y=kx，
得k1=2，
解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x；
（2）解：联立y=−x+3y=2x，
解得：x=1y=2或x=2y=1，
∴B(2，1)，
令直线AB与x交于点C，如图，
，
当y=0时，−x+3=0，
解得：x=3，
∴C(3，0)，
∴S△AOB=S△AOC−S△BOC=12⋅OC⋅yA−12⋅OC⋅yB=12×3×2−12×3×1=32
（3）解：由图象可得：
，
当M在N的上方时，t的取值范围为：t<0或121．【答案】（1）∵四边形BCDE是矩形，
∴BC∥DE，
∵BE∥IJ∥MN∥CD，
∴BE=IJ=MN=CD=y．
∵AB=AC，F是边BC的中点，
∴BC=DE=2x，AF⊥BC，
∵AF：BF=3：4，
∴AF=3x4，
∴AB=AC=BF2+AF2=5x4．
∵点G、H、F分别是边AB、AC的中点，
∴FG=FH=12AB=5x8，
∴4y=16−2x×2−5x8×2−5x4×2−3x4，
∴4y=16−17x2，
∴y=4−17x8，
∵4−17x8>0x>0，
∴0∴y=4−17x8(0（2）设面积为S，
则S=2x(4−17x8)+12×2x×3x4
=8x−72x2
=−72(x−87)2+327，
∴当x=87时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为327．
22．【答案】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1，0)，B(4，0)，
∴1−b+c=016+4b+c=0，
解这个方程组，得b=−3c=−4．
∴抛物线对应的解析式y=x2−3x−4．
∵P点的坐标为 (32，−254)．
（2）如图，连接OP．
∵A(−1，0)，B(4，0)，C(0，−4)，P(32，−254)，
∴S△OCP=12×4×32=3，
S△OBP=12×4×254=252，
S△BOC=12×4×4=8．
∵S△BCP=S△OCP+S△OBP−S△BOC，
∴S△BCP=3+252−8=152．
23．【答案】（1）120；80
（2）解：设线段MN所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)．
将(1.5，360)，(3，240)代入y=kx+b，得1.5k+b=3603k+b=240．
解得k=−80b=480．
∴线段MN所在直线的解析式为y=−80x+480(1.5≤x≤6)．
（3）解：在y=−80x+480(1.5≤x≤6)中，当y=0时，x=6，
∴N(6，0)，
由（1）可得乙车行驶速度为80km/ℎ，甲车行驶速度为120km/ℎ且两车同时到达目的地，
则乙到达目的地时，甲距离A地的距离为360−120×(6−3−1)=120(km)，
∴F(6，120)，E(4，360)，
设乙车出发t时，两车距各自出发地路程的差是160km，
当0由|80t−120(t+1.5)|=160，
解得t1=−0.5，t2=−8.5（不合题意，舍去）；
当1.5解得t1=2.5，t2=6.5（不合题意，舍去）；
当2.5解得t1=4.1，t2=2.5（不合题意，舍去）
综上，乙车出发2.5ℎ或4.1ℎ，两车距各自出发地路程的差是160km．
24．【答案】（1）120
（2）解：由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120 =240(km)，
∴出租车距离甲地为480-240=240(km)，
把y=240代入y=120x，
得240=120x，
解得x=2，
∴货车装完货物时，x=2，B(2，120)，
根据货车继续出发23h后与出租车相遇，可得23×（出租车的速度+货车的速度）=120，
根据直线OC的解析式为y=120x，可得出租车的速度为120km/ h，
∴相遇时，货车的速度为120÷23-120=60km/h，
故可设直线BG的解析式为y=60x+b，将B(2，120)代入y=60x+b，
可得120=120+b，解得b=0，
∴直线BG的解析式为y=60x，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 (km)与行驶时间x (h)之间的函数关系式为y=60x；
（3）12517h或13117h
25．【答案】（1）解： 设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，根据题意得
500x+10=400x，
解得：x=40，
经检验、x=40是所列方程的解，且符合题意；
∴A款文化衫的单价为：40+10=50（元），
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元； A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
（2）解：设购买y件A款文化衫，则购买(300-y)件B款文化衫，
根据题意得：50y+40300−y≤1480050y+40300−y≥14750
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）解：设购买300件两款文化衫所需总费用为w 元，则w=50×0.7y+(40-m)(300-y)=(m -5)y+300(40-m)，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m-5=0，
∴m=5；
答：m的值为5.
26．【答案】（1）解：将点A（-3，0）及点B（1，0）分别代入y=ax2+bx+3，
得9a−3b+3=0a+b+3=0
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）解：存在，理由如下：
令y=-x2-2x+3中的x=0可得y=3，
∴C（0，3），OC=3，
∵A（-3，0）、B（1，0），∴AB=4，
∴S△ABC=12AB·OC=12×4×3=6，
∴S△PBC=12S△ABC=3，
作PE∥x轴交BC于点E，如图，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
将点B（1，0）及点C（0，3）分别代入得
k+m=0m=3，
解得k=−3m=3，
∴BC的解析式为：y=-3x+3；
设点P的坐标为P（t，-t2-2t+3），则点E的纵坐标为-t2-2t+3，
代入直线BC可得x=t2+2t3，
∴E（t2+2t3，-t2-2t+3），
∴PE=t2+2t3-t=t2−t3，
∴S△PBC=12×t2−t3×3=3，
解得t1=-2，t2=3，
∴点P（-2，3）或（3，-12）.
27．【答案】（1）60；1
（2）设线段FG所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)
将F(1，60)，G(2，0)
代入y=kx+b，得
k+b=602k+b=0
解得k=−60b=120，
∴线段FG所在直线的函数解析式为y=−60x+120
（3）511小时，1917小时，2517小时.
28．【答案】（1）解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1，0)，(0，−3)，(1，−4)，代入y=ax2+bx+c得到
a−b+c=0c=−3a+b+c=−4，
解得a=1b=−2c=−3，
∴二次函数y=ax2+bx+c的表达式为y=x2−2x−3；
（2）如图，连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ交PQ的延长线于点M，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q(m，m2−2m−3)，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点P与点Q关于直线x=1对称，
设点P(n，m2−2m−3)，
则m−1=1−n，解得n=2−m，
∴点P的坐标为(2−m，m2−2m−3)，
当x=m+2时，y=x2−2x−3=(m+2)2−2(m+2)−3=m2+(22−2)m−1−22，
即R(m+2，m2+(22−2)m−1−22)，
则M(m+2，m2−2m−3)，
∴RM=m2+(22−2)m−1−22−(m2−2m−3)=22m+2−22，
PM=m+2−(2−m)=2m+2−2，
∴tan∠RPQ=RMPM=22m+2−222m+2−2=2(2m+2−2)2m+2−2=2，
即tan∠RPQ的值为2；
（3）由表格可知点A(−1，0)、B(3，0)，
将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A′(0，3)、B′(4，3)，
由题意可得，二次函数y=1t(x2−2x−3)=1t(x−1)2−4t，与线段A′B′只有一个交点，
当t>0时，抛物线y=1t(x2−2x−3)=1t(x−1)2−4t开口向上，顶点(1，−4t)在A′B′下方，
当x=4时，1t(x2−2x−3)≥yB′，
即−3t<3，
解得t≤53，
∴t≤53，
当x=0时，1t(x2−2x−3)解得t>−1，
∴0此时满足题意，
当t<0时，抛物线y=1t(x2−2x−3)=1t(x−1)2−4t开口向下，顶点(1，−4t)在A′B′上时，−4t=3，
解得t=−43，
此时满足题意，
将点A′(0，3)代入y=1t(x2−2x−3)得到3=−3t，解得t=−1，
将点B′(4，3)代入y=1t(x2−2x−3)得到3=1t(16−8−3)，解得t=53，
∴−1综上可知，−129．【答案】（1）解：解方程x2-4x-12=0，
得x1=6，x2=-2，
∴OC=6，
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC=60°，
∴OA=OC=6，∠BOC=12∠AOC=30°，
∴CD=OC·tan30°=6×33=23，
∴点D（6，23），
过点A作AH⊥OC于点H，
∵∠AOH=60°，
∴OH=12OA=3，AH=OA·sin60°=6×32=33，∴A（3，33），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A、D的坐标分别代入得
3k+b=336k+b=23，
解得k=−33b=43，
∴直线AD的解析式为：y=−33x+43；
（2）解：在Rt△COD中，
∵CD=23，∠DOC=30°，
∴OD=2CD=43，
∴OE=OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠EDO=∠BDF=60°，ED=OD=43，
∴∠OFE=∠DOF=30°，
∴OD=DF=43；
①当点N在DF上，即0≤t≤23时，
由题意得：DM=OD-OM=43-t，DN=43-2t，
过点N作NP⊥OB于点P，
则NP=DN×sin∠PDN=DN×sin60°=（43-2t）×32=6-3t，∴SS=12DM×NP=1243−2t×6−3t=32t2−9t+123；
②当点N在DE上，即23＜t≤43时，
由题意，得DM=OD-OM=3−t，DN=2t−43，
过点N作NT⊥OB于点T，
则NT=DN·sin∠NDT=DN·sin60°=2t−43×32=3t−6，
∴S=12DM×NT=1243−t3t−6=−32t2+9t−123，
综上，S=32t2−9t+123(0≤t≤23)−32t2+9t−123(23（3）解：存在，分类讨论：
①当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于点K，
∵∠NFC=30°，OE=43，
∴∠NCK=60°，OF=3OE=12，
∴CF=12-6=6，
∴CN=12CF=3，
∴CK=CN×cs60°=3×12=32，NK=CN×sin60°=3×32=332，
∴将点N向左平移32个单位长度，再向下平移332个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移32个单位长度，再向下平移332个单位长度得到点Q，
∵A（3，33），
∴Q32，332；
②当AN是对角线时，则∠ACN=90°，过点N作NL⊥CF于点L，
∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∴∠NCF=180°-60°-90°=30°=∠NFC，
∴CL=FL=12CF=3，
∴NL=CL·tan30°=3×33=3，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点Q，
∵A（3，33），
∴Q6，43；
∴存在一点Q，使得以A、C、N、Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标为 (32，332)或(6，43) .
30．【答案】（1）设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意得
5x+2y=3103x+4y=340
解得x=40y=55
答：每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人.
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车(10−m)辆，由题意得
500m+600(10−m)⩽550040m+55(10−m)⩾420 解得：5⩽m⩽823
∵m取正整数，
∴m=5，6，7，8
∴共有4种租车方案
设总租金为w元，则w=500m+600(10−m)=−100m+6000
∵−100<0
∴w随着m的增大而减小
∴m=8时，w最小
∴租8辆A型车，2辆B型车最省钱.
（3）设s甲=kt，s乙=k1t+b.
由题意可知，甲车经过(4，300)；乙车经过(0.5，0)，(3.5，300)两点.
∴s甲=75t，s乙=100t−50
s乙−s甲=25，即100t−50−75t=25
解得t=3
或300−75t=25
解得t=113
所以，在甲乙两车第一次相遇后，当t=3小时或113小时，两车相距25千米.
31．【答案】（1）解：把A(−6，0)，B(−2，0)，C(0，6)代入y1=ax2+bx+c
得36a−6b+c=04a−2b+c=0c=6
解得a=12b=4c=6
∴y1=12x2+4x+6
把B(−2，0)代入y=kx+6得k=3
∴y=3x+6
（2）解：①当BC为正方形的边长时，分别过B、C作E1E2⊥BC，F1F2⊥BC，使E1B=E2B=BC，CF1=CF2=BC，连接E1F1、E2F2，过E1作E1H1⊥x轴于点H1，则△BE1H1≌△CBO（AAS），
∴E1H1=OB=2，H1B=OC=6，
∴E1（-8，2）.
同理可得E2（4，-2）.
②以BC为正方形的对角线时，过BC的重点G作E3F3⊥BC，使E3F3与BC互相平分且相等，则四边形E3BF3C为正方形，过E3作E3N⊥y轴于点N，过B作BM⊥E3N于点M，
∴△CE3N≌△E3BM（AAS），
∴CN=E3M，BM=E3N.
∵BC=210，
∴E3G=BG=10，
∴E3B=25.
∵E3C2=CN2+E3N2，
∴(25)2=CN2+(6-CN)2，
解得CN=2或4.
当CN=4时，E3（2，2），此时点E在点F右侧，舍去；
当CN=2时，E3（-4，4），
综上可得：E1（-8，2），E2（4，-2），E3（-4，4）.
（3）∵y1=12x2+4x+6向右平移8个单位长度得到抛物线y2
∴M(2，0)，N(6，0)
∵y2过M，N，C三点
∴y2=12x2−4x+6
在直线NC下方的抛物线y2上任取一点P，作PH⊥x轴交NC于点H，过点H作HG⊥y轴于点G.
∵N(6，0)，C(0，6)
∴ON=OC
∴△CON是等腰直角三角形
∵∠CHG=45°，∠GHP=90°
∴∠PHD=45°
又PD⊥CN
∴△HPD是等腰直角三角形
∴HD=DP=22HP
∵点P在抛物线y2上，且横坐标为m
∴CG=GH=m
∴CH=2m
∵yCN=−x+6
∴H(m，−m+6)
∴HP=−m+6−(12m2−4m+6)=−12m2+3m
∴HD=DP=22(−12m2+3m)=−24m2+322m
∴CD+12PD=CH+HD+12PD=CH+32PD=2m+32(−24m2+322m)
=−328(m−133)2+169224
∴当m=133时，CD+12PD的最大值为169224.
32．【答案】（1）解：∵点A(−6，0)，B(8，0)在抛物线y=ax2+bx+63上，
∴36a−6b+63=064a+8b+63=0，
解得：a=−38b=34，
∴a=−38，b=34；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式是y=−38x2+34x+63，
∵C是抛物线与y轴的交点，
∴x=0时，y=63，
∴C(0，63)，
∴OC=63，
如下图，过点E作EW⊥y轴，垂足为W，
∵E是第二象限抛物线上一点，点E的横坐标为t，
∴EW=−t，
∴S=12OC⋅EW=12×63⋅(−t)=−33t
（3）解：如下图，以BM为一边作∠MBT=∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T；作MK⊥BT，垂足为K；作FS⊥BE，垂足为S；作EQ⊥x轴，垂足为Q，
∵S=63，由（2）知S=−33t，
∴−33t=63，
∴t=−2，
∴y=−38×(−2)2+34×(−2)+63=53，
∴E(−2，53)，
∵ED∥BG，
∴∠DEB=∠EBG，
∵∠GBM=12∠BEG，即∠GEB=2∠GBM，
∴∠GEB=∠GBT，
∴∠DEB+∠GEB=∠EBG+∠GBT，
∴∠DEG=∠EBT，
∵∠PBM−∠GBM=∠FRB+12∠DEG，∠PBM−∠GBM=∠PBM−∠MBT=∠TBP，∠ROB=90°，
∴∠FRB=90°−∠RBO，
∴∠TBP=90°−∠RBO+12∠EBT，
又∵∠RBO+∠EBT+∠TBP=180°，
∴∠EBT=60°，
∵LG⊥EB，
∴∠GLB=90°，
∴∠T=30°，
∴BL=12BT，
∵MK⊥BT，MN⊥BG，
∴∠MKT=∠MNB=∠MKB=90°，
在△MNB和△MKB中，
∠MNB=∠MKB∠MBN=∠MBKMB=MB，
∴△MNB≌△MKB(AAS)，
∴NB=BK，MN=MK，
∵BL−NV=12BV，
∴2BL−2NV=BV，
∴BT−NV=BV+NV=BN=BK，
∴BT−BK=NV=KT，
∴Rt△NMV≌Rt△KMT(HL)，
∴∠T=∠NVM=30°，
∴∠NMV=60°，
∵∠EBF=∠VMN，
∴∠EBF=60°，
∵FS⊥BE，EQ⊥x轴，
∴∠EQB=∠RSF=∠BSF=90°，
∵B(8，0)，
∴OB=8，
∵E(−2，53)，
∴EQ=53，QB=10，
∵tan∠EBQ=EQBQ=OROB，
∴5310=OR8，
∴OR=43，
∴BR=OR2+OB2=47，
∵tan∠FRB=FSRS=OBOR=843=233，tan∠FBS=tan60°=3=FSBS，
∴设FS=23m，则RS=3m，BS=2m，
∵RS+BS=BR，
∴3m+2m=47，
∴m=475，
∵RF=FS2+SˉR2ˉ=21m=2835，
∴OF=RF−OR=835，
又∵点F在y轴负半轴上，
∴F(0，−835)，
设直线BF的解析式为y=kx+c，
把B(8，0)，F(0，−835)代入，得：c=−8358k+c=0，
解得：k=35c=−835，
∴直线BF的解析式为y=35x−835
33．【答案】（1）解：∵点M在y轴负半轴且OM=2，
∴M(0，−2)
将A(0，2)，C(4，0)代入y=−x2+bx+c，得
c=2−16+4b+c=0
解得b=72c=2
∴抛物线的解析式为y=−x2+72x+2
（2）解：过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，
设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0)，
将A(0，2)，C(4，0)代入y=kx+m，得
m=24k+m=0，解得k=−12m=2，
∴直线AC的解析式为y=−12x+2
设点P的横坐标为p(0则P(p，−p2+72p+2)，E(p，−12p+2)，
∴PE=−p2+72p+2−(−12p+2)=−p2+4p(0∵S△ACM=8，∴S△PAC=12PE⋅OC=−2p2+8p=8，解得p=2
∴P(2，5)
（3）Q1(32，5)，Q2(−12，0)
（4）(−1112，8116)；213x
⋯
−1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
0
−3
−4
−3
0
5
⋯