2024年中考数学真题模拟分类试题--锐角三角函数与三视图（9）

这是一份2024年中考数学真题模拟分类试题--锐角三角函数与三视图（9），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以3m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．12m2B．123m2C．24m2D．243m2
5．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5，OA：OD=1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ）
A．(1，2)B．(−1，2)C．(5−1，2)D．(1−5，2)
7．如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ）
A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤
9．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H.则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB2=BF⋅AE②S△BGF：S△BAF=2：3③当AB=a时，BD2−BD⋅HD=a2
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
10．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A(1，0)，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 ．
12．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 .
三、计算题
13．先化简，再求代数式(xx2+2x+1−12x+2)÷x−14x+4的值，其中x=2cs45°−1．
14．计算：|1−2|−2cs45°+(12)−1．
15．先化简，再求值：(1−2x−1)÷x−3x2−1，其中x=sin30°．
16．先化简，再求值：(1−2m+1)÷m2−2m+1m2−m，其中m=tan60°−1．
17．
（1）计算：|3−1|−4sin30°+(12)−1+(4−π)0
（2）分解因式：2a3−12a2+18a
四、作图题
18．在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE=90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
五、解答题
19．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB=400米，BP=200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cs15°≈0.966，tan15°≈0.268）
六、综合题
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF⋅AC=AE⋅AH；
（3）若sin∠DEA=45，求AHFH的值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.
22．如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE=30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE=45°.
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿DE的方向走(123+12)米到达P点.求tan∠CPE的值.
23．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+2时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2−6x+8=0的两个根（OB>OC）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC=2：1，直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC=60°，OC的长是一元二次方程x2−4x−12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式．
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式．
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
26．如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H.点A在MC上，点B在NC上，∠OND+∠AHM=90°.
（1）求证：MH⋅CH=AH⋅BH.
（2）求证：AC=BC.
（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若sin∠CMN=35，求NG的长.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】(22+2)
11．【答案】(1−3，3)或(1+3，−3)
12．【答案】3+33
13．【答案】解：(xx2+2x+1−12x+2)÷x−14x+4
=[x(x+1)2−12(x+1)]÷x−14x+4
=[2x2(x+1)2−x+12(x+1)2]÷x−14x+4
=x−12(x+1)2⋅4(x+1)x−1
=2x+1，
当x=2cs45°−1=2×22−1=2−1时，
原式=22−1+1=22=2．
14．【答案】解：原式＝﹣1+2﹣2×22+2
＝﹣1+2−2+2
=1．
15．【答案】解：(1−2x−1)÷x−3x2−1
=(x−1x−1−2x−1)⋅x2−1x−3
=x−1−2x−1⋅(x+1)(x−1)x−3
=x+1，
当x=sin30°=12时，
原式=12+1=32．
16．【答案】解：原式=m+1m+1−2m+1÷m−12mm−1=m−1m+1×mm−1=mm+1，
∵m=tan60°−1=3−1，
∴原式=3−13−1+1=33−13×3=3−33.
17．【答案】（1）解：原式=3−1−4×12+2+1
=3
（2）解：原式=2a(a2−6a+9)
=2a(a−3)2
18．【答案】解：作图如下，
满足条件的线段AE的长为AE=23或AE=2213．
19．【答案】解：过点B作BD⊥PC于D，作BE⊥AC于E，则四边形DCEB为矩形，
∴DC=BE，
在Rt△ABE中，∠A=15°，sinA=BEAB，
则BE=AB⋅sinA≈400×0.259=103.6（米），
∴DC=BE=103.6米，
在Rt△PBD中，∠PBD=30°，BP=200米，
则PD=12BP=100米，
∴PC=PD+DC=100+103.6≈204米．
答：垂直高度PC约为204米．
20．【答案】（1）连接OC
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴∠D=∠OCE=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）证明，如下：
由（1）得，∠OCE=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∴∠AHF=∠CAB+90°，
∵∠ACE=∠OCA+90°，
∴△ACE∽△AHF，
∴ACAH=AEAF，
∴AC⋅AF=AE⋅AH．
（3）∵sin∠DEA=45，
∴OCOE=45，
设⊙O的半径为4x，
∴OE=5x，
∴CE=OE2−OC2=3x，
∵AE=OA+OE=9x，
∴AD=45×9x=365x，DE=AE2−AD2=275x，
∵DE=DC+CE，
∴DC=125x，
∵AC2=AD2+DC2=(365)2+(125)2，
∴AC=12105x，
∵△ACE∽△AHF，
∴AHFH=ACCE=12105x3x=4105．
21．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA，OD是⊙O的半径，∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠BAD，
∴∠ODA=∠BAD，
∴OD∥AB
∴∠ODC=∠B=90°，∴OD⊥BC于点D，
又∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：连接OF，DE
∵在Rt△ABD中，∠B=90°，tan∠ADB=3，
∴∠ADB=60°，∠BAD=30°，
∵BD=5，∴AD=2BD=10，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAD=30°，
在Rt△ADE中，AD=10，∴AE=2033，
∴OA=12AE=1033
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=60°，
∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∵OD∥AB，∴S△ADF=S△AOF，
∴S阴影=S扇形OAF=60π×(1033)2360
=50π9
22．【答案】（1）解：过C作CH⊥EF于点H，
∵tan∠CBH=33=CHHB，
∴HB=3CH.
∵∠CDH=45°，
∴CH=DH.
∵BH-DH=BD=40，
∴3CH-CH=40，
解得CH=203+20，
∴河两岸之间的距离是(203+20)m.
（2）解：∵HP=HD-PD=203+20-(123+12)=83+8，
∴tan∠CPE=CHHP=203+2083+8=52.
23．【答案】（1）解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1，0)，(0，−3)，(1，−4)，代入y=ax2+bx+c得到
a−b+c=0c=−3a+b+c=−4，
解得a=1b=−2c=−3，
∴二次函数y=ax2+bx+c的表达式为y=x2−2x−3；
（2）如图，连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ交PQ的延长线于点M，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q(m，m2−2m−3)，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点P与点Q关于直线x=1对称，
设点P(n，m2−2m−3)，
则m−1=1−n，解得n=2−m，
∴点P的坐标为(2−m，m2−2m−3)，
当x=m+2时，y=x2−2x−3=(m+2)2−2(m+2)−3=m2+(22−2)m−1−22，
即R(m+2，m2+(22−2)m−1−22)，
则M(m+2，m2−2m−3)，
∴RM=m2+(22−2)m−1−22−(m2−2m−3)=22m+2−22，
PM=m+2−(2−m)=2m+2−2，
∴tan∠RPQ=RMPM=22m+2−222m+2−2=2(2m+2−2)2m+2−2=2，
即tan∠RPQ的值为2；
（3）由表格可知点A(−1，0)、B(3，0)，
将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A′(0，3)、B′(4，3)，
由题意可得，二次函数y=1t(x2−2x−3)=1t(x−1)2−4t，与线段A′B′只有一个交点，
当t>0时，抛物线y=1t(x2−2x−3)=1t(x−1)2−4t开口向上，顶点(1，−4t)在A′B′下方，
当x=4时，1t(x2−2x−3)≥yB′，
即−3t<3，
解得t≤53，
∴t≤53，
当x=0时，1t(x2−2x−3)解得t>−1，
∴0此时满足题意，
当t<0时，抛物线y=1t(x2−2x−3)=1t(x−1)2−4t开口向下，顶点(1，−4t)在A′B′上时，−4t=3，
解得t=−43，
此时满足题意，
将点A′(0，3)代入y=1t(x2−2x−3)得到3=−3t，解得t=−1，
将点B′(4，3)代入y=1t(x2−2x−3)得到3=1t(16−8−3)，解得t=53，
∴−1综上可知，−124．【答案】（1）解：解方程x2−6x+8=0，得x1=4，x2=2．
∵OB>OC，
∴OB=4，OC=2．
∴B(−4，0)；
（2）解：∵OD：OC=2：1，OC=2
∴OD=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6．
∵M是AD中点，
∴MD=3．
∴M(−3，4)．
将M(−3，4)代入y=−x+b，得3+b=4．
∴b=1．
∴E(1，0)，F(0，1)．
∴∠FEO=45°．
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．
∵△DOC∽△NKC，DO：OC=NK：CK=2：1．
∴NK=2CK
∵∠KEN=∠FEO=45°
∴∠KNE=90°−∠KEN=45°
∴∠KEN=∠KNE
∴EK=NK=2CK
∴EC=CK
∵EC=OC−OE=2−1=1
∴CK=1，NK=2，EK=2
∴在Rt△ENK中，EN=EKcs∠KEN=2cs45°=22
在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cs∠CEH=1⋅cs45°=22
∴NH=EN−EH=22−22=322
∴tan∠MND=CHNH=22322=13
（3）解：存在点Q，使△NPQ为腰长为5的等腰三角形.理由如下：
由（2）可知N（3，-2），
设P（0，m），Q（t，-t+1），
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2.
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=-6；
当QN=5时，2(t-3)2=25，解得t=6±522；
△P′NQ1、△PNQ2、△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，故Q1（-4，5），Q2（6−522，52−42）.
△P′NQ3、△P′NQ4、△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，故Q3（4，-3），Q4（6+522，−52−42）.
△PQ5N、△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，故Q5（6−522，52−42）.
综上可得：点Q的坐标为（-4，5）或（4，-3）或（6+522，−52−42）或（6−522，52−42）.
25．【答案】（1）解：解方程x2-4x-12=0，
得x1=6，x2=-2，
∴OC=6，
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC=60°，
∴OA=OC=6，∠BOC=12∠AOC=30°，
∴CD=OC·tan30°=6×33=23，
∴点D（6，23），
过点A作AH⊥OC于点H，
∵∠AOH=60°，
∴OH=12OA=3，AH=OA·sin60°=6×32=33，∴A（3，33），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A、D的坐标分别代入得
3k+b=336k+b=23，
解得k=−33b=43，
∴直线AD的解析式为：y=−33x+43；
（2）解：在Rt△COD中，
∵CD=23，∠DOC=30°，
∴OD=2CD=43，
∴OE=OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠EDO=∠BDF=60°，ED=OD=43，
∴∠OFE=∠DOF=30°，
∴OD=DF=43；
①当点N在DF上，即0≤t≤23时，
由题意得：DM=OD-OM=43-t，DN=43-2t，
过点N作NP⊥OB于点P，
则NP=DN×sin∠PDN=DN×sin60°=（43-2t）×32=6-3t，∴SS=12DM×NP=1243−2t×6−3t=32t2−9t+123；
②当点N在DE上，即23＜t≤43时，
由题意，得DM=OD-OM=3−t，DN=2t−43，
过点N作NT⊥OB于点T，
则NT=DN·sin∠NDT=DN·sin60°=2t−43×32=3t−6，
∴S=12DM×NT=1243−t3t−6=−32t2+9t−123，
综上，S=32t2−9t+123(0≤t≤23)−32t2+9t−123(23（3）解：存在，分类讨论：
①当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于点K，
∵∠NFC=30°，OE=43，
∴∠NCK=60°，OF=3OE=12，
∴CF=12-6=6，
∴CN=12CF=3，
∴CK=CN×cs60°=3×12=32，NK=CN×sin60°=3×32=332，
∴将点N向左平移32个单位长度，再向下平移332个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移32个单位长度，再向下平移332个单位长度得到点Q，
∵A（3，33），
∴Q32，332；
②当AN是对角线时，则∠ACN=90°，过点N作NL⊥CF于点L，
∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∴∠NCF=180°-60°-90°=30°=∠NFC，
∴CL=FL=12CF=3，
∴NL=CL·tan30°=3×33=3，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点Q，
∵A（3，33），
∴Q6，43；
∴存在一点Q，使得以A、C、N、Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标为 (32，332)或(6，43) .
26．【答案】（1）证明：∵∠ABC和∠AMC是AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠AMC
∵∠AHM=∠CHB
∴△BCH∽△MAH
∴BHMH=CHAH
∴MH⋅CH=AH⋅BH
（2）连接OC，交AB于点F
∵MC与ND为一组平行弦（也可写成MC∥ND）
∴∠OND=∠OMC
∵OM=OC
∴∠OMC=∠OCM
∵∠OND+∠AHM=90°
∴∠∠OCM+∠AHM=∠OCM+∠CHB=90°
∴∠HFC=90°
∴OC⊥AB
∴AC=BC
（3）解：连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，
∵DG=DG′，∠G′ND=∠GND，DG′=DM，弧DM=弧DG′，
∴DG=DM，
∴△DGM为等腰三角形.
∵DE⊥MN，
∴GE=ME.
∵DN∥CM，
∴∠CMN=∠DNM.
∵MN为直径，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°.
∵DE⊥MN，
∴∠DEN=90°，
∴∠DNM+∠EDN=90°，
∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=35.
∵MN=15，
∴sin∠DNM=MDMN=35，
∴MD=9.
∵sin∠EDM=35=MEMD，
∴ME9=35，
∴ME=275，
∴NG=MN-MG=MN-2ME=215.x
⋯
−1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
0
−3
−4
−3
0
5
⋯