不同函数增长的差异教案

这是一份不同函数增长的差异教案，共10页。

不同函数增长的差异教学设计教学目标1．能借助信息技术，通过列表法和图象法，探索并了解不同函数增长速度的各自特点及差异，并总结其中的规律．2．通过将指数函数与一次函数、对数函数与一次函数作对比，体会类比地研究多个相关联的数学对象的方法和过程．教学重难点教学重点：指数函数、一次函数、对数函数各自增长的特点．教学难点：对“指数爆炸”“直线上过剩”“对数增长”的理解．课前准备 PPT课件，计算器，GGB课件．教学过程（一）整体感知，明确任务引导语：在4.2.1的例2的第（1）小问中，我们进一步研究了这一节的问题1，比较了A，B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，这两种增长方式存在很大的差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．那么我们该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异呢？师生活动：学生讨论交流后提出研究方案，教师予以补充完善．预设的答案：一方面可以根据图象进行观察、探索变化趋势，另一方面可以根据数据进行计算、分析变化率．由于我们对线性函数已经有了一定的认识，其变化规律非常直观：它在整个定义域上的变化率恒定，即为定值．所以线性函数可以作为一把尺子，用来“度量”指数函数和对数函数的增长差异．基于以上分析，我们可以分别比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数．设计意图：函数的表达方式有三种：列表法、图象法和解析式法．在本章，由于学生研究函数增长的工具所限（主要是没有导数工具），所以从解析式无法得出严谨的结论．因此，直观上通过图象得到定性印象，数据上通过不完全归纳变化率得到定量结论．（二）新知探究1．探究指数函数与一次函数的增长差异问题1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？追问1：不妨以函数y=2x和y=2x为例，利用计算器列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？师生活动：学生独立完成对应值表和图象后展示交流．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第三课时-不同函数增长的差异”，设置滑动条a=2，k=2，在较小范围内展示指数函数y=ax和一次函数y=kx的图象．最后师生一起总结，得出结论．预设的答案：完成的对应值表如表1，画出的函数图象如图1．从图象上，发现函数y=2x和y=2x有两个交点(1，2)，(2，4)，并且这两个交点将区间[0，+∞)分成了三段，两个函数的图象位置关系在这三段有所不同．这表明，虽然这两个函数在[0，+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度保持不变，而函数y=2x的增长速度在变化．图1表1设计意图：先从一个较小的范围开始研究，在区间[0，3]上，可以观察到两个函数的增长虽然有差异，但差异不大．追问2：通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应值表，分别计算它们的变化率，你能发现什么？师生活动：学生独立完成，然后展示交流．预设的答案：完成的变化率表如表2．从数据上，通过计算变化率，发现函数y=2x的变化率恒定，即增长速度保持不变．而函数y=2x的变化率越来越大，即增长速度在增大．表2设计意图：通过在小范围在区间[0，3]上的图象获得直观感受后，再从数据上进一步分析，使学生加深印象．追问3：在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中，画出它们的图象，观察它们的增长情况，从图象上和数据上，你能发现什么？师生活动：有了前面的经验，借助计算器，教师引导学生共同完成对应值表和图象即可．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第三课时-不同函数增长的差异”，设置滑动条a=2，k=2，改变坐标单位或视窗设置，在较大范围内展示指数函数y=ax和一次函数y=kx的图象．最后师生一起总结，得出结论．预设的答案：完成的对应值表如表3，画出的函数图象如图2．可以看到，当自变量x越来越大时，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y=2x的增长速度依然保持不变，与函数y=2x的增长速度相比几乎微不足道．图2表3设计意图：从较小的范围扩展到较大的范围，让学生通过图象和数表逐步观察函数y=2x和y=2x的增长变化情况．在区间[0，20]上，可以观察到两个函数的增长差异已经很大．追问4：若以函数y=2x和y=3x为例，重复如上的过程，你能得到什么结论？若以函数y=3x和y=100x为例呢？请大家选择不同的指数函数和一次函数重复如上过程，你得到的结论分别是什么？然后小组交流．师生活动：学生根据上述要求完成，然后小组交流即可．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第三课时-不同函数增长的差异”，设置滑动条a，k的取值，改变坐标单位或视窗设置，在不同范围内展示指数函数y=ax和一次函数y=kx的图象，让学生观察图象后进行讨论交流．设计意图：选取多个指数函数和一次函数进行比较，为追问5中，将指数函数和一次函数的增长差异推广到一般情况作铺垫．追问5：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？师生活动：有了对特定指数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充完善．预设的答案：通过对y=2x和y=2x的研究发现，虽然两个函数在区间[0，+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x．一般地，指数函数y=ax (a>1)与一次函数y=kx (k>0)的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值，y=ax (a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx (k>0)的增长速度．设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与指数函数的增长差异．选择一次函数与指数函数进行比较，除了能体现这两种函数的增长差异外，还能较好地体现指数函数的增长由慢变快且越来越快的爆炸性增长的特点，初步体会“指数爆炸”．2．探究对数函数与一次函数的增长差异问题2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞)上的增长差异．你能描述一下对数函数增长的特点吗？追问1：类比问题1，你计划怎么研究这个问题？师生活动：学生通过类比规划研究方案，教师予以补充完善．预设的答案：先取特殊的对数函数和一次函数进行研究，然后归纳得到一般结论．设计意图：通过类比的方式，使学生逐步掌握研究一类数学问题的基本方法．追问2：既然如此，那就结合我们方便计算的常用对数，不妨以函数和为例，利用计算器，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？师生活动：学生独立完成对应值表和图象后展示交流．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第三课时-不同函数增长的差异”，设置滑动条b=10，k=0.1，展示对数函数y=logbx和一次函数y=kx的图象．最后师生一起总结，得出结论．预设的答案：完成的对应值表如表4，画出的函数图象如图3．从图象上，发现函数和虽然在区间[0，+∞)上都单调递增，但它们的增长速度存在着明显的差异．随着x的增大，函数的图象离x轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样．图3表4设计意图：从图象上直观感受两个函数的增长差异．之所以选择一次函数而没有选择y=x与对数函数进行比较，是因为的增长速度比y=x慢，这样更能体现对数函数增长逐渐趋缓的特点．追问3：通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应值表，分别计算它们的变化率，你能发现什么？师生活动：学生独立完成，然后展示交流．预设的答案：完成的变化率表如表5．从数据上，通过计算变化率，发现函数的变化率恒定，即增长速度保持不变．而函数的变化率越来越小，即增长速度在减小．表5设计意图：通过图象获得直观感受后，再从数据上进一步分析，使学生加深印象．追问4：如果将放大1 000倍，再对函数和的增长情况进行比较，那么仍有前面所述的规律吗？师生活动：有了前面的经验，教师引导学生进行定性分析即可．预设的答案：从图象和数据上都可以看出，随着x的增大，一次函数的增长速度保持不变，而对数函数的增长速度一直在减小．所以一定存在一个x0，当x>x0时，的增长速度比的增长速度小，并且的增长速度还会持续减小下去．设计意图：通过放大对数函数后再进行比较，让学生更好地体会对数增长逐渐趋缓的特点．追问5：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？师生活动：有了对特定对数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充完善．预设的答案：通过对和的研究发现，虽然两个函数在区间[0，+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，的增长速度越来越慢，与的增长速度相比几乎微不足道．一般地，对数函数y=logax (a>1)与一次函数y=kx (k>0)的增长差异都与上述情况类似．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax0)，指数函数y=ax (a>1)和对数函数y=logbx (b>1)的增长有何差异？师生活动：有了前面的经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充完善．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第三课时-不同函数增长的差异”，设置滑动条a，b，k的取值，改变坐标单位或视窗设置，在不同范围内展示指数函数y=ax，对数函数y=logbx和一次函数y=kx的图象，让学生进行观察．预设的答案：一般地，无论k (k>0)、a (a>1)、b (b>1)如何取值，三种函数在区间(0，+∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．设计意图：利用信息技术，通过控制GGB课件中a，b，k的连续变化，可以准确地画出大量不同的函数图象，使学生再次从图象上直观地体会三种不同类型函数的增长差异．追问3：如何理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义？师生活动：“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”从字面意义理解，直观形象、顾名思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论．教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即可．设计意图：学生有了对不同函数增长差异的认识，在后续学习中就能根据这种增长差异，选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律，并更好地理解不同函数类型的特点，逐步理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义．（三）归纳小结，布置作业问题4：回顾本节课，我们是如何研究一次函数、指数函数和对数函数的增长差异的？掌握不同函数的增长差异，有什么现实意义？师生活动：学生思考并做适当交流后，再让学生发言，教师予以补充完善．预设的答案：本节课我们先从简单情况入手，先分别比较一次函数与指数函数、一次函数与对数函数，然后再将三个函数放在一起同时比较．在比较他们增长差异时，先从特定情况研究，分别通过图象、数据分析计算它们增长的差异，然后再归纳出一般情况．掌握了不同函数增长的差异，就可以根据现实问题的变化情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．设计意图：4.4的前面两个课时，是针对一个函数的研究过程“背景—概念—图象和性质—应用”．本课时是同时研究多个函数的相关性，通过总结研究过程，使学生初步了解对比地研究多个相关对象的基本方法．了解不同函数的增长差异的现实意义，可以使学生更好地掌握一次函数、指数函数和对数函数之间的联系，以及它们的差异，并能够学以致用，达到知识技能的灵活应用．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：其中关于x呈指数增长的变量是________．设计意图：通过比较不同变量的值，理解“指数爆炸”的含义．2．如图5，（1）（2）（3）分别是函数y=3x和y=5x在不同范围的图象，借助计算工具估算出使3x>5x的x的取值范围（精确到0.01）．图5设计意图：通过比较具体的指数函数和一次函数的增长差异，进一步理解“直线上升”和“指数爆炸”的含义．3．如图6，对数函数y=lg x的图象与一次函数y=f(x)的图象有A，B两个公共点．求一次函数y=f(x)的解析式．图6设计意图：利用函数图象解决问题，进一步体会对数函数和一次函数增长的差异．4．函数y=f(x)的图象如图7所示，则y=f(x)可能是（ ）．（A），x∈(0，+∞) （B），x∈(0，+∞)（C） （D），x∈(0，+∞)图7设计意图：根据不同函数增长的差异选择函数模型，进一步理解“对数增长”的含义．参考答案：1．y2．2．(-∞，0.27)∪(2.17，+∞)．3．f(x)=(x-1)lg 2．4．C．xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386………xy=2xy=2x0100.51.4140.82812121.17221.52.8281.6563242.34442.55.6573.3145384.6866……………xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624………x0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786………x0不存在01011201.3010.03012301.4770.01763401.6020.01254501.6990.00975601.7780.00796……………x051015202530y151305051 1302 0053 1304 505y25901 62029 160524 8809 447 840170 061 120y35305580105130155