北师大版（2019）必修第一册2-4-2简单幂函数的图象和性质学案

第2课时　简单幂函数的图象和性质

课堂篇·重难要点突破

研习1 　幂函数

[典例1]　下列函数中是幂函数的是(　　)

①y＝；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝x＋x4；④y＝xn；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.

A．①②③⑧        B．①④

C．③④⑤⑥        D．②④⑦

答案：B　

解析：由幂函数的定义：形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数，则y＝＝x－3，y＝xn是幂函数．

幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以底数x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据之一．

[练习1](1)在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋1，y＝(x＋1)3中，幂函数的个数为(　　)

A．1        B．2

C．3        D．4

(2)已知M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝x2        B．f(x)＝x－2

C．f(x)＝x        D．f(x)＝x

答案：(1)A　

解析：形如y＝xα的函数才是幂函数，其中xα前的系数为1，α为实常数，故只有y＝＝x是幂函数．

(2)答案：B　

解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝α，∴α＝－2.∴f(x)＝x－2.

研习2 　幂函数的图象与性质

[典例2]　如图所示是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．－1＜n＜0＜m＜1

B．n＜－1,0＜m＜1

C．－1＜n＜0，m＞1

D．n＜－1，m＞1

答案：B　

解析：此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0与各图象有交点，则有“指大图低”，如图，0＜m＜1，n＜－1.故选B．

作幂函数的图象的原则与方法

(1)原则：联系函数的定义域、值域、单调性、对称性等函数的性质．

(2)方法：先画第一象限，然后根据对称性和定义域画其他象限．

①指数大于1，在第一象限的图象，类似于y＝x2的图象；

②指数等于1，在第一象限为上升的射线；

③指数大于0且小于1，在第一象限的图象，类似于y＝的图象；

④指数等于0，在第一象限为水平的射线；

⑤指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1的图象．

[练习2]图中的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为(　　)

A．－2，－，，2

B．2，，－，－2

C．－，－2,2，

D．2，，－2，－

答案：B　

解析：由题意知，C3，C4的函数对应的α值为负值，而C1，C2的函数对应的α值应为正值．且由x＞1时，C1的图象在C2的上方，C3的图象在C4的上方，可知选B．

研习3  求幂函数的解析式

[典例3]　幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．

[审题路线图]幂函数⇒形式y＝xα⇒性质⇒分析与0,1的大小关系．

解：∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，

∴m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0，

∴m＝2或m＝－1.

当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，符合题意；

当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)为幂函数，但当x∈(0，＋∞)时不是减函数，不符合题意，舍去．

∴m＝2.

求幂函数解析式的方法

(1)待定系数法：借助幂函数的定义，设幂函数或求函数中相应量的值．

(2)定指数：结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)定系数：如函数f(x)＝k·xα是幂函数，求f(x)的解析式，就应由定义知必有k＝1，即f(x)＝xα.

[练习3]已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)．

(1)a为何值时，此函数为幂函数？

(2)a为何值时，此函数为正比例函数？

(3)a为何值时，此函数为反比例函数？

解：(1)由题意得，a2－3a＋2＝1，

即a2－3a＋1＝0，解得a＝.

(2)由题意得解得a＝4，

(3)由题意得解得a＝3.

课后篇·演练提升方案

1．函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是(　　)

A．k＝3　　　　　　　 B．k＝－2

C．k＝3或k＝－2        D．k≠3且k≠－2

答案：C　

解析：由幂函数的定义知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.故选C．

2．下列关系中正确的是(　　)

A．＜＜

B．＜＜

C．＜＜

D．＜＜

答案：D　

解析：∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜，∴＜＜，故选D．

3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－4的图象不过原点，则m的值是________．

答案：1或2　

解析：由题意得解得m＝1或m＝2.

4．已知f(x)＝(m2＋m)xm2－2m－1，当m取什么值时，

(1)f(x)是正比例函数；

(2)f(x)是反比例函数；

(3)f(x)是幂函数，且在第一象限内它的图象是上升曲线？

解：(1)当即m＝1±时，f(x)＝(5±3)x是正比例函数．

(2)当即m＝2时，f(x)＝为反比例函数．

(3)∵f(x)是幂函数，∴m2＋m＝1，解得m＝.

当m＝－时，

m2－2m－1＝1－m－2m－1＝－3m＝(1＋)>0，

∴f(x)＝x(1＋)是在(0，＋∞)上的增函数．

当m＝时，

m2－2m－1＝－3m＝－(－1)<0，

∴f(x)＝x(－1)是在(0，＋∞)上的减函数，

∴m≠.故所求m的值为－.

[误区警示]　幂函数的性质理解不透致误

[典例]　已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)＜(3－2a)的a的取值范围．

[错解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，

∴3m－9＜0，解得m＜3，又m∈N＋，∴m＝1,2.

又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，

此时，原不等式为(a＋1)＜(3－2a).

又y＝x是减函数，∴a＋1＞3－2a，∴a＞.

[错因分析]　没有全面准确地把握y＝x(x≠0)的定义域及单调性，缺少对底数(a＋1)及(3－2a)的讨论．

[正解]　由上述错解，知m＝1，

因此(a＋1)＜(3－2a)，

又y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，

∴a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1.

故a的取值范围是(－∞，－1)∪.

[防范措施]　(1)在解题时要认真分析题目条件，选准解题的入手点，最后要注意根据题目的要求用准确的数学语言将其表述出来．

(2)本题综合性较强，解题的关键是准确把握幂函数的图象，抓住了幂函数的图象就抓住了性质，也就有效地克服了应用中的难点．