江苏省南京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟综合评估卷

这是一份江苏省南京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟综合评估卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1.[国防教育]北京时间2023年10月26日顺利进驻空间站组合体以来，神舟十七号航天员乘组已在轨工作生活54天，为期6个月的飞天之旅已完成近三分之一，将于近日择机实施第一次出舱活动。下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
2.下列说法中，正确的是( )
A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B.“太阳东升西落”是不可能事件
C.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13
3.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x－1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为( )
A.y=(x－2)2－1B.y=(x－2)2+3C.y=x2+1D.y=x2－1
4.如图，在△AOB中，AO=1，BO=AB= eq \f(3,2) .将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'，则线段AA'的长为( )
A.1B. eq \r(2) C. eq \f(3,2) D.
5.学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是( )
A.625(1－x)2=400B.400(1+x)2=625C.625x2=400D.400x2=625
6.[国防历史](原创)题目：我国自行制造的第一颗原子弹于_______在新疆罗布泊爆炸成功.甲、乙、丙、丁四位同学把自己的答案写在一张纸上并折叠.甲：1964年10月15日；乙：1964年10月16日；丙：1964年10月15日；丁：1967年6月17日.已知正确答案是1964年10月16日，则老师随机打开一个同学的答案，恰好正确的概率是( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,3) C. eq \f(1,4) D.0
7.若关于x的方程(a－1)x2+ eq \r(3) x+1=0有两个实数根，则a的最大整数值为( )
A.－1B.0C.1D.2
8.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点，则该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙0的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为( )
A.10 cmB.15cmC.20cmD.24cm
9.如图，正六边形ABCDEF内接于0，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为( )
A.4， eq \f(π,3) B.3 eq \r(3) ，πC.2 eq \r(3) ， eq \f(4π,3) D.3 eq \r(3) ，2π
10.[学科素养·几何直观]如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有( )
①abc>0；②2a+b=0；
③函数y=ax2+bx+c的最大值为－4a；④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根，则－ eq \f(1,5) A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验.根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为_______.
12.在平面直角坐标系中，点P(3m－1，2－m)与点P'关于原点对称，且点P'在第三象限，则m的
取值范围是____________________.
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为(1，0)，(2，3)，(3，1).若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为________
14.在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车，如图，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AB边上，以此方法做下去，…则B点通过一次旋转至B'处所经过的路径长为_______.(结果保留 π)
15.[易错题]关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=________
16.[阅读理解试题]定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数，下面给出特征数为[m，1－m，2－m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m>0时，函数有最小值；④如果m<0，那么当x> eq \f(1,2) 时，y随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是________
三、解答题(本大题共6小题，共66分)
17.(每小题5分，共10分)解下列方程：
(1)x2－2x－1=0；
(2)(2x+3)2=(3x+2)2.
18.[主题教育·中华优秀传统文化](10分)为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记为A，B，C，D).小雨和莉莉两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组.
(1)小雨抽到A组题目的概率是_______.
(2)请用列表或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.
19.[学科素养·推理能力](10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若AC= eq \r(3) ，求图中阴影部分的面积.
20.[主题教育·中华优秀传统文化](10分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价为x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数解析式，并求最大利润.
21.[学科素养·推理能力](12分)如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F.
(1)求证：BD=CE，BD⊥CE；
(2)如图②，连接AF，DC，已知∠BDC=135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由.
22.(14分)如图，直线l：y=2x+1与抛物线C：y=2x2+bx+c相交于点A(0，m)，B(n，7).
(1)填空：m=_______，n=_______，抛物线的解析式为______________.
(2)将直线l向下平移a(a>0)个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围；
(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【参考答案及解析】
九年级数学期末模拟综合评估卷
1－5 BADBB 6－10 ACCDC
1.B 只有选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形故选B.
2.A A项，调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故A符合题意；B项，“太阳东升西落”是必然事件，故B不符合题意；C项，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故C不符合题意；D项，任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13，故D不符合题意.故选A.
3.D 将二次函数y=(x－1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=(x－1+1)2+1－2，即y=x2－1.故选D.
4.B 由旋转可知，OA'=OA=1，∠AOA'=90°，则△AOA'为等腰直角三角形，∴.故选B.
5.B 因为该校植树棵数的年平均增长率为x，第一年共植树400棵，所以第二年共植树400(1+x)棵，第三年共植树400(1+x)2棵，所以列方程为400(1+x)2=625，故选B.
6.A 我国自行制造的第一颗原子弹于1964年10月16日在新疆罗布泊爆炸成功.四个同学的答案只有一个正确，所以随机打开一个同学的答案，恰好正确的概率是 eq \f(1,4) ,故选A.
7.C 方程(a－1)x2+ eq \r(3) x+1=0有两个实数根，Δ=b2－4ac=( eq \r(3) )2－4(a－1)≥0，解得a≤ eq \f(4,7) ,∴a的最大整数值是1.故选C.
8.C 如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，.AC∥BD，∵AC=BD=4cm，四边形ACDB是平行四边形，又∠C=90°，四边形ACDB是矩形，.AB∥CD，AB=CD=16cm.∵CD切O于点E，OE⊥CD，.OE⊥AB，.四边形EFBD是矩形，AF= eq \f(1,2) AB= eq \f(1,2) ×16=8(cm)，∴EF=BD=4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA=rcm，OF=OE－EF=(r－4)cm，在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2，.r2=82+(r－4)2，解得r=10，.这种铁球的直径为20cm.故选C.
9.D 如图，连接OB、OC，六边形ABCDEF为正六边形，∠BOC= eq \f(360°,6) =60°，∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，.BC=OB=6，∵OM⊥BC，∴BM= eq \f(1,2) BC=3，∴OM=OB2－BM2= eq \r(62-32) =3 eq \r(3) ， eq \(\s\up5(⌒),\s\d1(BC)) 的长为.故选D.
10.C ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一个交点为点(3，0)，抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3)=ax2－2ax－3a，.∴b=－2a，c=－3a，∴abc=a(－2a)(－3a)=6a3，
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下，a<0，.abc=6a3<0，故①错误：对称轴为直线x=1，.=1，2a+b=0，故②正确；
∵y=ax2+bx+c=ax2－2ax－3a=a(x2－2x)－3a=a(x－1)2－4a，函数y=ax2+bx+c的最大值为－4a，故③正确；若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根，即ax2－2ax－3a=a+1无实数根，整理得ax2－2ax－4a－1=0，.Δ=(－2a)2－4a(－4a－1)=4a(5a+1)<0，a<0，
∴5a+1>0，解得，，
故④正确.综上，正确结论有3个，故选C.
11.答案：20
解析：通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2左右.，解得m=20.
经检验，m=20是原方程的解.
12.答案：解析：因为在平面直角坐标系中，点P(3m－1，2－m)与点P'关于原点对称，且点P'在第三象限，所以点P在第一象限，所以解得.
13.答案：(4，3)或(1，2)或(5，2)
解析：连接PA、PB，由勾股定理得PA=PB= eq \r(12+22) = eq \r(5) ，∵P是△ABC的外心，PC= eq \r(5) ，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标O均为整数，点C的坐标为(4，3)或(1，2)或(5，2).
14.答案：
解析：∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，AB=2AC=
4，∠BAC=60°，由旋转的性质得，∠BAB'=∠BAC=
60°，∴B点通过一次旋转至B'所经过的路径长为
15.答案：
解析：易错点：易出现仅考虑根与系数的关系，而不考虑根的判别式的错误.
依题意，得x1+x2=－2m，，
，∴4m2－m=，
不合题意,故
16.答案：①②③
解析：由特征数的定义可得特征数为[m，1－m，2－m]的二次函数的表达式为y=mx2+(1－m)x+2－m.当m=1时，该二次函数图象的对称轴为直线，即y轴，故①正确；当m=2时，此二次函数表达式为y=2x2－x，令x=0，则y=0，.函数图象过原点，故②正确；当m>0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；m<0，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即时，y随x的增大而减小，故④错误.故答案为①②③.
17.解析：(1)移项，得x2－2x=1，
配方，得x2－2x+1=2，即(x－1)2=2，………(3分)
开方，得x－1=± eq \r(2) ，
解得 x1=1+ eq \r(2) ，x2=1－ eq \r(2) .……(5分)
(2)解法一：(2x+3)2=(3x+2)2，
开方，得2x+3=3x+2或2x+3=－3x－2，……(8分)
解得 x1=1，x2=－1.………(10分)
解法二：方程变形为(2x+3)2－(3x+2)2=0.
因式分解，得[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)－(3x+2)]=0，………………………………… (8分)
即(5x+5)(1－x)=0，
解得 x1=1，x2=－1. ………………………(10分)
18.解析 ：(1)
(2)画树状图如下：
(6分)
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有4种，
小和莉莉两名同学抽到相同题目的概率为.………(10分)
19.解析：(1)证明：连接OD，CD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，∠A=90°－∠B=60°…………(1分)
∵D为AB的中点，∴BD=AD=CD=AB，
∴AD=AC，∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC= ∠ACD=60°……… (2分)
∵∠ACB=90°，∠DCO=90°－60°=30°.…(3分)
∵OD=OC，∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即 OD⊥AB. (4分)
∵OD过圆心O，直线AB是⊙O的切线.………(5分)
(2)由(1)可知AC=AD=BD.
∵AC= eq \r(3) ，.BD=AC= eq \r(3) . ………………(6分)
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2OD.
由勾股定理得BO2=OD2+BD2，即(2OD)2=OD2+( eq \r(3) )2，
解得OD=1(舍去负值)，……………(8分)
设BC与⊙O交于点E.
…………(10分)
20.解析：(1)设猪肉粽每盒的进价为a元，则豆沙粽每盒的进价为(a－10)元，
由题意得(3分)
解得a=40，经检验，a=40是方程的解，且符合题意，
a－10=40－10=30，猪肉粽每盒的进价为40元，
豆沙粽每盒的进价为30元.…(5分)
(2)由题意得，y=(x－40)[100－2(x－50)]=－2x2+280x－8 000，
∴y=－2(x－70)2+1 800， …………………(7分)
∵－2<0，∴当x<70时，y随x的增大而增大，
∵50≤x≤65，∵当x=65时，y取得最大值，为－2×(65－70)2+1800=1750.
故y关于x的函数解析式为y=－2x2+280x－8000(50≤x≤65)，且最大利润为1750元.……(10分)
21.解析：(1)证明：如图1，设AC与BF交于点O，线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE， ∠DAE= 90°.∵∠BAC=90°，∴∠BAC =∠DAE，∴∠BAD = ∠CAE. ……… (2分)
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴ BD=CE， ∠ABD= ∠ACE. ………… (4分)
又∵∠AOB=∠COF，∠BFC=∠BAC=90°，
∴BD ⊥ CE.(6分)
(2)AF∥CD，理由如下：……(7分)
如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由(1)知△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，S△ABD=S△ACE，∴ AG=AH. …… (9分)
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，.FA平分∠BFE.
又∵∠BFE=90°，∠AFD=45°.………(11分)
∵∠BDC=135°，∵∠FDC=45°，∴∠AFD=∠FDC，
∴AF∥DC. (12分)
22.解析：(1)1；3；y=2x2－4x+1.……………(3分)
(2)由题意可得平移后的直线l的解析式为y=2x+1－a(a>0)，联立得2x2－6x+a=0.…(6分)
平移后的直线l与抛物线C仍有公共点，
…………(8分)
(3)存在以AQ为直径的圆与x轴相切.
设Q(t，s)，以AQ为直径的圆为⊙M，
∴⊙M的半径.………………(10分)
∵AQ2=t2+(s－1)2=(s+1)2，∴t2=4s，
∵s=2t2－4t+1，…………………(12分)
∴t2=4(t2－4+1)，∴t=2或t=
∴点P的坐标为(1，0)或.………………(14分)
题号
一
二
三
总分
得分