安徽省亳州市部分学校2023-2024学年九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份安徽省亳州市部分学校2023-2024学年九年级上册月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．计算的值为（ ）
A．B．C．1D．
3．若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．
4．如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若是锐角，，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
6．已知点、分别在边、的延长线上，下列条件中一定能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则的长等于（ ）

A．B．C．D．
8．如图所示的是二次函数（为常数，且）的图象，其对称轴为直线，且经过点，则下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在中，，，延长到点，使，连接.根据此图形可求得的值是( )
A．B．C．D．
10．如图，在中，D、E是边的三等分点，是边的中线，、分别与交于点G、H，若，则的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是 ．
12．如图，在的正方形网格中，点、、都在格点上，则 ．
13．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为 ．
14．如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
（1）若，则正方形的面积为 ．
（2）连接，，则面积的最小值为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．已知实数x，y，z满足，试求的值．
17．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
(1)画出关于y轴的轴对称图形；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为．
19．已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围．
20．如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼的高度．小亮站立在距离楼底部米的点处，操控无人机从地面点，竖直起飞到正上方米点处时，测得楼的顶端的俯角为，小亮的眼睛点看无人机的仰角为（点三点在同一直线上）．求楼的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面米，）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
22．如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线的一部分．小球在距离点3米的点处抛出，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线的一部分．
(1)求小山坡的坡顶高度：
(2)若测得点的高度为3米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）
23．如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．

(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
抛物线的顶点坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
2．A
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【详解】解：=，
故选A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得．
故选D．
4．B
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，
∵与的周长之比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值．
【详解】解：是锐角，，
，
，
故选：B．
6．C
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，推出，进而推出或即可判断．
【详解】解：如图：
根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，
∵，要使三角形，
∴，
即：．
故选：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定、平行线的判定，解题的关键是两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
7．D
【分析】过C作于D，利用锐角三角函数求得、、即可．
【详解】解：过C作于D，
由题意，，，
在中，，，
在中，，
∴，
故选：D．

【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．
8．D
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号，再根据时确定相关式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点，
，，，
，
，故B选项结合正确，不合题意；
由图可知，当时，
，故A选项结合正确，不合题意；
由图可知，当时，
，故C选项结合正确，不合题意；
，，
，故D选项结论错误，符合题意；
故选D．
9．A
【分析】设BC=x，在中，，，可得，AB=2x，AC=，由=2x，可得CD=2x+，由，可知，∠D=∠ABD=∠BAC=15°，在 中，根据锐角正切三角函数的定义，即可求解.
【详解】∵，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC=∠D+∠ABD，
∴∠D=∠BAC=15°，
设BC=x，
∵在中，，，
∴AB=2x，AC=，
∴CD=2x+=，
在中， ，
∴，故选A.
【点睛】本题主要考查锐角正切三角函数的定义，根据图形，设BC=x，用含x的代数式表示相关线段的长，是解题的关键.
10．C
【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，过F作，交于P，过H作，交于Q，先证明，再结合三角形的面积关系可得答案.
【详解】解：如图，过F作，交于P，过H作，交于Q，

∴
∵是边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵D、E是边的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
11．
【分析】先根据坡比求出AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度．
【详解】


故答案为：．
【点睛】本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键．
12．##
【分析】本题考查了正弦函数的定义以及勾股定理．先求得，利用勾股定理求得和的长，再利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，都是正方形的对角线，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：．
13．1
【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数的几何意义，熟练掌握比例系数的几何意义是解题的关键．连接，根据三角形面积公式得到，根据比例系数的几何意义计算即可．
【详解】解：连接，
轴，
，
．
故答案为：．
14． 5
【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE，根据S△DEC+S△DFGS正方形ECGF根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠A＝∠ADC＝90°，
∵，
∴AE1
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．
故答案为5．
（2）如图，设，则
∵，
∴．
∵，
∴当时，的面积最小，且最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
16．
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案．
【详解】解：设，
∴，
∴
．
17．售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
【分析】设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键；
（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
（2）由（1）及位似的性质可进行作图
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，，
∴的取值范围为；
（2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，
∵，
∴，解得，，
∵，
∴，
∴的取值范围为．
20．的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．过点E作，分别过点A，点C作，．设楼的高度为x米，则米， 在中表示出，进一步表示出；在中表示出即可求解．
【详解】解：过点E作，分别过点A，点C作，．
设楼的高度为x米，则米，
由题意得，，，
∵
∴
在中，，，
∴，
由题意知，四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
答：的高度为米．
21．(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 点P的坐标为（，）；(3) .
【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=-x 2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；
（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．
【详解】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点C在y轴上，
所以C点横坐标x=0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P横坐标，
∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）∵点P的坐标为，点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为
∴点C的坐标为（0，），
∴BC== ，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，解直角三角形，勾股定理，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．
22．(1)小山坡的坡顶高度为米
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法以及将一般式化成顶点式是解题关键．
（1）将化成顶点式即可求解；
（2）把代入可求出点的坐标，根据“小球在距离点3米的点处抛出”可求出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
当时，有最大值，最大值为，
小山坡的坡顶高度为米；
（2）解：点的高度为3米，
点的纵坐标为3，
把代入，
得，
解得，，
点在小山坡的坡顶的右侧，
，
即点的坐标为．
令，则，
米，
（米），
即点的坐标为，
将，两点的坐标代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由，平分，，得再结合正方形的性质可证，得，再证，得，进而即可证明结论；
（2）设正方形的边长为，则，，得，结合正方形的性质可证，得，再由等腰三角形的性质得，进而即可求解；
（3）由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得，设正方形的边长为，由（2）得，得，则，在中，可知，进而即可求解．
【详解】（1）解：，平分，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
∴，
；
（2）设正方形的边长为，则，
，
，正方形，
，则，，
，
，
，平分，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，由（2）得，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．