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2024届广东省广州市高三上学期12月调研考试（零模）数学试题及答案
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本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，，则（ ）
A 1B. 2C. D.
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则的值为（ ）
A B. C. D. 2
8. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 图中a的值为0.015
B. 样本的第25百分位数约为217
C. 样本平均数约为198.4
D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108
10. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
12. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则______.
14. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
15. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.
16. 已知函数恰有两个零点，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
18. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角余弦值.
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围.
21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
22. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，，则（ ）
A 1B. 2C. D.
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则的值为（ ）
A B. C. D. 2
8. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 图中a的值为0.015
B. 样本的第25百分位数约为217
C. 样本平均数约为198.4
D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108
10. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
12. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则______.
14. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
15. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.
16. 已知函数恰有两个零点，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
18. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角余弦值.
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围.
21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
22. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
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