2024届广东省广州市真光中学高三上学期12月适应性测试数学试题含答案

这是一份2024届广东省广州市真光中学高三上学期12月适应性测试数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题，应用题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解集合，再利用交集运算求解答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
2．若复数是实数，则实数（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再由已知列式计算作答.
【详解】依题意，，因，且z是实数，则，解得，
所以实数.
故选：A
3．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ）
A．20B．25C．30D．35
【答案】B
【分析】根据所有项的系数之和求解，写出的展开式，求与二项式中含的项相乘所得的项，-1与二项式中含的项相乘所得的项，两项相加，即为的展开式中含的项.
【详解】所有项的系数之和为64，∴，∴
，展开式第项，
时，，，
时，，，，
故选：B．
4．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
5．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
6．设函数，是公差不为的等差数列，，则（ ）
A．0B．7C．14D．21
【答案】D
【分析】根据已知的函数确定函数关于点对称，
再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】由，得
令，所以函数关于点对称.
因为，
所以，
所以为与轴的交点，
因为关于点对称，所以
因为是公差不为0的等差数列，所以
所.
故选：D.
7．已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.
【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；
由图可知，利用整体代换可得，
所以，若为已知，则可求得.
故选：B
8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长 ，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．
则，，
解得，，
如图：

在中,根据余弦定理可得：
，
整理得，即，
设 则有，，
所以，即有，所以，
所以===，
设,
则,
令，得，
所以在上恒成立,
所以在上单调递减，
当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，
所以，
即：.
故选：C.
二、多选题
9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A．招商引资后，工资净收入较前一年增加
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
【答案】AD
【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.
【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则
对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；
对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选：AD.
10．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线在y轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线与圆有2个交点
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABC
【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.
【详解】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确；
B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确；
C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确；
D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误.
故选：ABC
11．已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是R上的奇函数D．是R上的奇函数
【答案】AD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误.
【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称，
所以关于对称，
因为是奇函数，可知关于对称，
所以关于对称，
又因为，则，即，
所以与关于对称，
因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，
所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，
而关于对称，，又，
则，，，
即是周期为4的偶函数，故C选项错误；
由关于直线对称，，关于对称，，
则，，
所以，即是周期为4的偶函数，
由于是周期为4的偶函数，则，
等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，
同理，由于是周期为4的偶函数，则，
等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，
所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确；
由于关于对称，，，则，
所以，故A选项正确；
，故B选项错误；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得.
12．已知正方体棱长为4，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若N为中点，当最小时，
B．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为
【答案】ACD
【分析】对于A，由展开图求解；对于B，取特殊位置判断；对于C，由空间向量求解；对于D，由正四面体的性质可求内切球半径，可得内切球的表面积，．
【详解】对于A，矩形与正方形展开成一个平面，如图所示，
若最小，则A、M、N三点共线，因为，
所以，则有 ，
即，故A正确；
对于B，当点M与点重合时，连接、、、、，如图所示，
在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
因为，平面，所以平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为；
设E、F、Q、N，G，H分别为，、，，，的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形 EFQNGH的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，即B错误；
对于C，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，设，
因为平面，所以是平面的一个法向量，且，，故，
所以直线AB与平面所成角的正弦值的取值范围为，则直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为，故C正确；
对于D，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，棱长，
由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
14．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 .
【答案】8
【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.
【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故答案为：8.
15．已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝ .
【答案】4
【分析】由得，所以，根据解方程即可求出结果．
【详解】因为函数有两个极值点与
由，则有两根与
所以，得
因为，
所以，又
则，
所以
故答案为：
四、双空题
16．设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则A，B，C三个事件 （填“是”或“不是”）两两独立，且 .
【答案】 是
【分析】根据题意分别求得，结合独立事件的定义，可判定事件相互独立，且的值.
【详解】由题意，可得，
且，
所以
所以事件是相互独立事件，且.
故答案为：是；.
五、解答题
17．设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．
(1)求角A；
(2)若BC边上的高，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得.
（2）利用三角形面积公式和正弦定理可得.
【详解】（1）（1）由题意得：，
则，
有，即，因为所以．
（2）（2）由，则，所以，
有，则，
又，则．
18．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【答案】(1)
(2)1809
【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；
（2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和．
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
六、证明题
19．已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析.
【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间；
（2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果.
【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且，
由解得：；由解得：，
所以的增区间为，减区间为．
（2）［方法一］：【最优解】放缩法
当时，.
设，则.
当时，；
当时，.所以是的最小值点.
故当时，.因此，当时，.
［方法二］：【通性通法】隐零点讨论
因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以．
设，则．
所以在区间内单调递减，故，即成立．
［方法三］：分离参数求最值
要证时，即，则证成立．
令，则．
令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减．
所以，而，所以恒成立，原命题得证．
［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式
，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以．
由，得．
．
当且仅当，即时，，所以．
［方法五］：异构
要证明，即证，
即证明，再证明即可．
令，．
设，则．
若时，在上恒成立，所以；
若时，当时；当时，．
所以为的极小值点，则．
因为，所以，所以．
令．
当时，；当时，，所以为的极小值点．
则，所以，即．
所以．
［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数
．
令，则．
令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立．
【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解；
方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法；
方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法；
方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样；
方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐；
方法六：基本类似于方法三．
七、应用题
20．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
【答案】(1)更适宜
(2)
(3)选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，，
所以，
则，
所以z关于x的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为；
（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
八、证明题
21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)求证：平面平面PBC；
(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角的余弦公式，求余弦值的最大值.
【详解】（1）中，E为PB的中点，所以.
在正方形ABCD中，.
因为平面ABCD，平面ABCD，即.
又因为，平面PAB，所以平面PAB.
平面PAB，即，又因为，，平面PBC.
所以平面PBC，平面AEF，
即平面平面PBC.
（2）因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直.
以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

有，，，，，
PB中点，设，.
，，，.
设平面PCD的法向量，由，
得，取.
设平面的法向量，由，
得，取.
所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为.
令，，
则，
所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值，
此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值.
九、问答题
22．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再运用代入法消去，即可得到的轨迹方程；
（2）设，根据向量关系及点在抛物线上，化简可得，由点到直线的距离公式，以及弦长公式，求出的面积，再构造新函数，利用导数即可求得的面积的最小值.
【详解】（1）设直线方程为，代入，
得，
设，
则，，，
∴，，即，
设，由，
消去得中点的轨迹方程为；
（2）设，，
∵，，
∴，
∴，
由点在抛物线上，得，
又∵，
∴，点到直线的距离，
又，
所以，的面积为，
设，有，
由可得，由可得，
故在上是减函数，在上是增函数，
因此，当时取到最小值，，此时，
所以，面积的最小值是.
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
参考数据（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6