湖南省邵阳市2023-2024学年九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份湖南省邵阳市2023-2024学年九年级上册月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2023年10月26日神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，我国载人航天工程发射任务实现30战30捷，航天员在中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥1
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
则这10名运动员成绩的中位数是（ ）
A．B．C．D．
8．已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1）D．y随x的增大而减小
9．某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．9的算术平方根是 ．
12．分解因式： ．
13．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 ．
14．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
15．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
16．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ．
17．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
18．如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
22．今年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年，为深入贯彻落实党的二十大精神，大力弘扬宣传雷锋精神，某学校举行了以“传承雷锋精神，争当追锋少年”为主题的知识竞赛活动，竞赛满分为10分，学生成绩平均在7分以上，将成绩10分、9分、8分、7分，分别定为A，B，C，D四个等级．学校随机抽取部分学生的竞赛成绩绘制统计图，请回答下列问题：
(1)学校随机抽取的学生人数为 ；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，“C”部分所对应的圆心角的度数为 度；
(4)如果该校共有学生人，且规定等级为A、B的为优秀，请估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有多少人？
23．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
24．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若购买3个篮球和1个排球共需元；若购买5个篮球和3个排球共需元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？
(2)该学校计划购进篮球和排球共个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用．
25．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

(1)求教学楼的高度．
(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
26．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点．
(1)求点及点的坐标；
(2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值；
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可以重合．
3．A
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．确定本题中的，，从而可得答案．
【详解】解：，
故选A
4．A
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
6．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】按照求中位数的方法进行即可．
【详解】解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是，，则中位数为：
故选：C．
【点睛】本题考查了求数据的中位数，熟悉中位数的概念是解题的关键．
8．C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．
9．D
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为，利用时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵骑车学生的速度为，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
∴汽车的速度为．
依题意得：，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．C
【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题．
【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵轴
∴AB⊥y轴，
∴，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线上，且B在第二象限
∴
∴
故选C
【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键．
11．3
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了根据平方差公式“”进行因式分解，直接根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13．1
【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数．
14．
【分析】直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题关键．根与系数的关系：和是一元二次方程的两根时，．
15．24
【分析】由菱形的性质得到，再通过的面积，的面积得到菱形的面积．
【详解】解：如图：菱形中，，
四边形是菱形，
，
的面积，的面积，
菱形的面积的面积的面积．
故答案为：24．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形面积，由三角形的面积得到菱形的面积的面积的面积是解题的关键．
16．23
【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，

，，

故答案为：23
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．
17．6
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：6．
18．
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．连接，过点作于，交于．证明垂直平分线段，推出点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，求出即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H，
四边形是矩形，点是的中点，
点在对角线，的交点，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
19．
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
20．；2
【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．(1)
(2)见解析
(3)
(4)估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有2400人
【分析】（1）根据等级的人数除以占比得出抽取的学生人数；
（2）根据总人数求得等级的人数，进而补全统计图即可求解；
（3）根据等级的人数除以总体人数，乘以，即可求解；
（4）根据样本估计总体，用乘以等级为、的占比即可求解．
【详解】（1），
故答案为：．
（2）C等级人数为（人）
补图如下：
（3）；
故答案为：．
（4）（名）
答：估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有2400人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．(1)见解析
(2)20
【分析】（1）由矩形的性质得，则，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由，得，则四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形，设，由勾股定理得，求得，则四边形的周长为．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
，则，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
24．(1)篮球元/个，排球元/个
(2)当学校购买进篮球个，购进排球个，总费用最少，最少费用是元
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．根据题意正确的列等式和不等式是解题的关键．
（1）设篮球x元/个，排球y元/个，依题意，得：，计算求解即可；
（2）设购进篮球m个，则购进排球个，设总费用为w元，则，解得．依题意，得：，根据一次函数的性质进行判断作答即可．
【详解】（1）解：设篮球x元/个，排球y元/个，
依题意，得：，
解得，
答：设篮球元/个，排球元/个．
（2）解：设购进篮球m个，则购进排球个，设总费用为w元，
∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，
∴，
解得．
依题意，得：，
∵，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学校购买进篮球个，购进排球个，总费用最少，最少费用是元．
25．(1)教学楼的高度为米
(2)无人机刚好离开视线的时间为12秒
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【详解】（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
26．(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或．
【分析】（1）先解得到两个根，取其正值，可得，再由可得，于是可知，进而可求得的中点．
（2）求出直线，直线的解析式，构建方程组确定交点F的坐标，再根据对称性求出点F′的坐标即可．
（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，分，和三种情况列式求出t的值即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，即．
（2）在中，由勾股定理得：
，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得：
∴直线的函数解析式为，
∵，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
此时，
∴，
∴点F关于y轴的对称点为，
∵反比例函数经过点，
∴．
（3）设直线的解析式为，
将点的坐标代入得，
，解得：
∴直线的解析式为
∵点P在直线上，
∴设点，
∴
下面分三种情况讨论：
①当时,
解得：，
∴
∴点P的坐标为；
②当时,
解得：，
∴,此时点P不存在，
，
∴点P的坐标为；
③当时,
解得：，
∴点P的坐标为或；
综上，点P的坐标为或或或．
成绩/m
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
人数/名
1
3
2
3
1