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高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第三章 机械波本章复习与测试同步练习题
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这是一份高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第三章 机械波本章复习与测试同步练习题，共16页。试卷主要包含了进一步理解波的形成、波的描述，会解决波的多解问题等内容，欢迎下载使用。
1．进一步理解波的形成、波的描述．
2．能正确的分析波动，并能将波动和振动有效的联系起来．
3．会解决波的多解问题．
振动图像和波的图像的比较
【典例1】 一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过34周期开始计时，则图乙描述的是( )
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
B [因横波沿x轴正方向传播，经34周期振动到平衡位置的质点为平衡位置在b、d处的质点，该时刻平衡位置在b处的质点的振动方向沿y轴负方向，平衡位置在d处的质点的振动方向沿y轴正方向，故题图乙为平衡位置在b处的质点的振动图像，故选B．]
【典例2】 (多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，下列说法中正确的是( )
A．此列波的振幅是0.1 m
B．平衡位置在x＝15 cm处质点的位移是0.1 m
C．若质点A的速度沿y轴正方向，则质点B的速度亦沿y轴正方向
D．质点A的加速度沿y轴负方向，而质点B、C的加速度沿y轴正方向
ACD [从题图波的图像上可以直接读出振幅是0.1 m，平衡位置在x＝15 cm处质点的位移是－0.1 m，A正确，B错误；各质点加速度的方向总是指向平衡位置，D正确；由于A、B两质点此刻处在同一“坡”上，根据“上下坡法”可以判断A、B速度方向一致，均沿y轴正方向，C正确．]
【典例3】 如图所示，一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示，图乙表示x＝1.0 m处质点P的振动图像．求：
(1)波的波长λ和振幅A；
(2)请判断这列波的传播方向，并计算该简谐横波传播速度v的大小；
(3)t＝0.7 s内质点Q运动的路程s．
[解析] (1)由题图甲知，此波的波长λ＝2.0 m，振幅A＝10 cm．
(2)由题图乙知，质点P在t＝0时刻正向上运动，由“上下坡法”知波的传播方向为沿x轴正方向；
由v＝λT，又T＝0.4 s，
所以v＝5 m/s．
(3)由于周期T＝0.4 s，0.7 s＝(1＋34)T，
t＝0时刻，质点Q处于平衡位置，运动的路程
s＝(1＋34)×4A＝0.7 m．
[答案] (1)2.0 m 10 cm (2)沿x轴正方向 5 m/s (3)0.7 m
波的多解问题
(1)周期性．
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解．
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解．
(2)双向性．
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
【典例4】 图中的实线是一列简谐波在某一时刻的波形曲线．经0.5 s后，其波形如图中虚线所示．设该波的周期T大于0.5 s．
(1)如果波是向左传播的，波速是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波速是多大？波的周期是多大？
[解析] (1)如果波是向左传播的，从题图可以看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动了x＝6 cm(即λ4)，由此可求出波速为v＝xt＝0.060.5 m/s＝0.12 m/s，波的周期T＝λv＝ s＝2.0 s．
(2)如果波是向右传播的，从题图可以看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动了x′＝18 cm(即3λ4)，由此可求出波速为v′＝x't＝0.180.5 m/s＝0.36 m/s，波的周期为T′＝λv'＝ s≈0.67 s．
[答案] (1)0.12 m/s 2.0 s (2)0.36 m/s 0.67 s
【典例5】 一列简谐横波在一均匀介质中传播的速度v＝10 m/s，P、Q是该波传播过程中的两个质点，它们的平衡位置相距x＝4 m，这列波的波长大于2 m而小于20 m．如图表示在波的传播过程中P、Q两质点的振动图像．求：
(1)波的能量在P和Q间传播所需要的时间Δt；
(2)该波的振动周期T．
[解析] (1)机械波在同一种均匀介质中传播x＝vΔt，
解得Δt＝0.4 s．
(2)①若波从P向Q传播x＝(n＋34)λ(n＝0，1，2，…)
则λ＝4n+34 m(n＝0，1，2，…)
由公式v＝λT得T＝0.4n+34 s＝1.64n+3 s(n＝0，1，2，…)
因为2 m＜λ＜20 m，所以n只能取0或1，故周期为T＝815 s或T＝835 s
②同理，若波从Q向P传播x＝(n＋14)λ(n＝0，1，2，…)
则λ＝4n+14 m(n＝0，1，2，…)
T＝0.4n+14 s＝1.64n+1 s(n＝0，1，2，…)
因为2 m＜λ＜20 m，所以n只能取0或1，
故周期为T＝1.6 s或T＝0.32 s．
[答案] (1)0.4 s (2)见解析
素养提升练(二) 波的图像与波的多解问题
1．(2022·广东实验中学高二练习)图甲为一列沿x轴传播的简谐横波在t＝1 s时刻的图像，图甲中某质点的振动情况如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．该时刻起质点K在1 s的时间内沿x轴移动0.2 m
B．该时刻起再经0.5 s质点K的加速度为正方向最大
C．如果图乙为质点K的振动图像，则波沿x轴负向传播
D．如果图乙为质点L的振动图像，则波沿x轴负向传播
C [质点K只能沿y轴振动，不能沿x轴移动，故A错误；根据题意，由题图乙可知，该波的周期为T＝2 s，假如波向左传播，质点K再经过0.5 s时，到达负方向最大位移处，此时，质点K的加速度为正方向最大；假如波向右传播，质点K再经过0.5 s时，到达正方向最大位移处，此时，质点K的加速度为负方向最大，故B错误；如果题图乙为质点K的振动图像，由题图乙可知，质点K在t＝1 s时沿y轴负方向振动，结合题图甲可知，波沿x轴负向传播，故C正确；如果题图乙为质点L的振动图像，由题图乙可知，质点L在t＝1 s时沿y轴负方向振动，则波沿x轴正向传播，故D错误．]
2．(2022·江苏扬州市江都区育才中学一模)已知一列波某时刻波的图像和某一点的振动图像如图所示，则( )
A．甲是波的图像，波速是2 000 m/s
B．甲是振动图像，波速是2 000 m/s
C．乙是波的图像，波速是5 000 m/s
D．乙是振动图像，波速是5 000 m/s
D [题图甲的横坐标是长度，故题图甲为波的图像，题图乙的横坐标是时间，故其为振动图像，由甲图可知波长λ为10 m，由乙图可知周期T为2×10-3 s，根据波长与周期的关系有λ＝vT，解得v＝5 000 m/s，故选D．]
3．(多选)(2022·山东卷)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示．当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
A B C D
AC [由O点的振动图像可知，周期为T＝12 s，设原点处的质点的振动方程为y＝A sin (2πTt＋φ)，则10＝20sin φ，解得φ＝π6，在t＝7 s时刻y7＝20sin (2π12×7＋π6)＝－103 cm≈－17.3 cm，因7 s＝12T＋112T，则在t＝7 s时刻原点O处的质点在y轴负向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形为C所示；若波向左传播，则波形如A所示．]
4．(2022·广东揭阳市第三中学高二期中)如图所示，实线是一列简谐横波在T1时刻的波形图，虚线是在T2＝(T1＋0.5) s时刻的波形图．下列说法正确的是( )
A．当波向左传播时，波速的表达式为v＝4(4n＋1) m/s(n＝0，1，2…)
B．当波向左传播且3T＜(T2－T1)＜4T时，波速大小为60 m/s
C．当波向右传播时，波速的表达式为v＝4(4n＋3) m/s(n＝0，1，2…)
D．若波速v＝68 m/s，则波向左传播
B [当波向左传播时v左＝nλ+34λΔt＝8n+60.5 m/s＝4(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，…)，故A错误；当波向左传播且3T＜(T2－T1)＜4T，若此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ，即n＝3，有v左＝4(4n＋3)m/s＝4×(4×3＋3)m/s＝60 m/s，故B正确；当波向右传播时v右＝nλ+λ4Δt＝8n+20.5 m/s＝4(4n＋1)m/s(n＝0，1，2，…)，故C错误；若波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝(4＋14)λ，故波向右传播，故D错误．]
5．(2022·福建厦门英才学校高三期中)如图甲所示，一列简谐横波沿着x轴正方向传播，波源的平衡位置在坐标原点，自t＝0时刻起开始振动，经过一段时间，波源第一次处于y轴正方向一侧的最高点，此时x＝3 cm处的质点M恰好开始振动．已知波源离开平衡位置的位移y随时间t变化的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．该简谐波的波长为12 cm
B．在0～1.7 s时间内，质点M经过的路程为 0.8 cm
C．t＝3 s时，x＝6 cm处的质点开始振动
D．t＝4.5 s时，质点M的加速度最大
C [波源第一次处于y轴正方向一侧的最高点，此时x＝3 cm处的质点M恰好开始振动，由图乙知波传递到质点M经过的时间t＝34T＝34×2 s＝1.5 s，波速v＝xt＝3 cm1.5 s＝2 cm/s，波长λ＝vT＝2 cm/s×2 s＝4 cm，A错误；在0～1.7 s时间内，质点M振动的时间t′＝t0－t＝1.7 s－1.5 s＝0.2 s＝0.1T，质点M经过的路程s＝|y|＝2sin (2πTt′)＝2sin (2π2s×0.2 s)＝2sin π5，B错误；t＝3 s时，波传递的距离x′＝vt1＝2 cm/s×3 s＝6 cm，C正确；t＝4.5 s时，质点M振动的时间t″＝t2－t＝4.5 s－1.5 s＝3 s＝32T，由题图乙可知，此时质点M的状态与波源1 s时的状态相同，此时处于平衡位置，加速度最小，等于0，D错误．]
6．(多选)(2022·广东省清远英德中学高二练习)如图甲所示为一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，a、b、c为介质中的三个质点，图乙表示该波x＝6 m处a质点的振动图像，下列说法正确的是( )
A．该波沿x轴负向传播
B．t＝15 s时，质点a处于波峰位置
C．t＝5 s时，质点b振动的速度方向与回复力方向相同
D．质点c的位移随时间变化的关系式为y＝10sin (π2t＋π6)cm
BD [由题图乙可知，t＝0时a质点正在向y轴负方向振动，可判断出，波沿x轴正方向传播，A错误；由题图乙可知，振动周期为4 s，所以t＝15 s＝(3＋34)T，t＝15 s时质点a与t＝3 s时的状态一样，由题图乙知，此时质点a处于波峰位置，B正确；根据t＝5 s＝(1＋14)T，所以t＝5 s时，质点b的状态与t＝1 s时的状态一致，由题图甲，t＝0时质点b在y轴正半轴向y轴负方向振动，经过14周期，质点b在y轴负半轴向y轴负方向振动(竖直向下)，回复力指向平衡位置(竖直向上)，C错误；波沿x轴正方向传播，质点c正在向y轴正方向振动，可知其函数关系式为y＝－10sin (2πTt＋φ) cm＝－10sin (2π4t－56π)＝10sin (π2t＋π6) cm，D正确．]
7．(多选)(2022·浙江杭州一模)一列简谐横波在t＝0.8 s时的波形图如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点Р的振动图像．已知该波在该介质中的传播速度为 10 m/s，则( )
A．该波沿x轴负方向传播
B．再经过0.9 s，质点P通过的路程为30 cm
C．t＝0时刻质点P离开平衡位置的位移－53 cm
D．质点P的平衡位置坐标为x＝7 m
AD [由题图乙可知0.8 s时P点振动方向向下，根据上下坡法，波沿x轴负方向传播，A正确；经过1个周期，质点经过的路程s＝4A，经过0.5个周期，经过的路程s＝2A，以上规律质点在任何位置开始都适用，经过14或34个周期，经过的路程s＝A或3A的规律只有在特殊位置(平衡位置、最大位移处)的质点才适用，此时P未处于特殊位置，t＝0.9 s＝34T，路程不只为30 cm，B错误；由题图乙可知，0时刻质点P位于平衡位置，C错误；由y＝A sin 2πTt(cm)＝10sin 5π3t(cm)，可得x＝0处的质点从平衡位置到y＝5 cm，经历的时间为t1＝0.1 s，则质点P的平衡位置坐标为xP＝v(t－t1)＝10×(0.8－0.1)m＝7 m，故D正确．]
8．(多选)(2022·黑龙江·大庆实验中学高三期中)如图所示是沿x轴传播的一列简谐横波，实线是在t＝0时刻的波形图，虚线是在t＝0.2 s时刻的波形图．已知该波的波速是0.8 m/s，则下列说法正确的是( )
A．这列波沿x轴负方向传播
B．t＝0时，x＝4 cm处的质点速度沿y轴正方向
C．0～0.2 s内，x＝4 cm处的质点振动方向改变了3次
D．t＝0.2 s时，x＝4 cm处的质点加速度方向沿y轴负方向
AC [从题图中可以看出波长是12 cm，已知波速为v＝0.8 m/s，则周期为T＝λv＝0.120.8 s＝0.15 s，因为t＝0.2 s＝43T，s＝vt＝0.8×0.2 m＝0.16 m＝43 λ＝(1＋13)λ，根据波形平移法可知，该波沿x轴负方向传播，A正确；由于该波沿x轴负方向传播，t＝0时刻，x＝4 cm处的质点的速度沿y轴负方向，B错误；0～0.2 s内，x＝4 cm处的质点振动了43T，振动方向改变了3次，C正确；t＝0.2 s时，x＝4 cm处的质点位移沿y轴负方向，故加速度方向沿y轴正方向，D错误．]
9．(多选)(2022·广东深圳市高级中学高二阶段练习)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在xA＝0和xB＝0.6 m处的两个质点A、B的振动图像如图所示，则( )
A．波由质点A传到质点B的时间可能是0.1 s
B．波由质点A传到质点B的时间可能是0.3 s
C．这列波的波速可能是1 m/s
D．这列波的波速不可能是3 m/s
BD [由题意可得，波的周期为T＝0.4 s，AB间的距离为xAB＝nλ＋34λ，波由质点A传到质点B的时间为t＝xv＝nλv+34λv＝nT＋34T≥0.3 s，故A错误，B正确；由上述分析可得，波速为v＝xt＝0.6nT+34T＝64n+3 m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，波速最大，为2 m/s，当波速为1 m/s时，n不是整数，故C错误，D正确．]
10．(多选)(2022·湖南永顺县第一中学模拟)某列简谐横波在t1＝0时刻的波形如图甲中实线所示，t2＝3.0 s时刻的波形如图甲中虚线所示，若图乙是图甲a、b、c、d四点中某质点的振动图像，则正确的是( )
A．这列波的周期为4 s
B．波速为0.5 m/s
C．图乙是质点b的振动图像
D．从t1＝0到t2＝3.0 s这段时间内，质点a通过的路程为1.5 m
AB [由图乙可知，波的周期为4 s，A正确；由甲图可知，波长λ＝2 m，根据波速公式v＝λT＝24 m/s＝0.5 m/s，B正确；在t1＝0时刻，质点b正通过平衡位置，与乙图情况不符，所以乙图不可能是质点b的振动图像，C错误；从t1＝0到t2＝3.0 s这段时间为34T，所以质点a通过的路程为s＝34×4A＝15 cm＝0.15 m，D错误．]
11．如图所示，一列横波沿x轴传播，实线a为0时刻的波形曲线，虚线b为0.5 s时的波形曲线．
(1)写出该波的波长和振幅；
(2)假设该波向左传播且T＞0.5 s，求波速为多大；
(3)假设波速为18 m/s，通过计算说明波的传播方向；并求出在此波速下x＝3 m处的质点从t＝0时刻开始计时的振动方程(不写推导过程，用正弦表达)．
[解析] (1)根据图像可得波长和振幅分别为
λ＝4 m
A＝2 cm．
(2)若该列波向左传播，则
(34＋n)T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
又由题可知周期大于0.5 s，则
n＝0
可得周期T＝23s
由v＝λT得波速v＝6 m/s．
(3)假设该列波向左传播，则由v＝λT得
v＝(8n＋6) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
则n＝1.5
可见n取不到整数，故舍去．
假设该列波向右传播，则
(14＋n)T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
由v＝λT得
v＝(8n＋2) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
则n＝2
所以该列波向右传播，且在此波速下，波的周期为T＝29s．
由波形图可知，0时刻，x＝3 m处质点处于平衡位置且向y轴负方向振动，所以振动方程为
y＝－A sin ωt(cm)
其中ω＝2πT
联立得y＝－2sin 9πt (cm)．
[答案] (1)4 m，2 cm (2)6 m/s (3)该列波向右传播，y＝－2sin 9πt (cm)
12．(2022·广东河源二中高三期中)一列简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距8 m的两质点，波先传到P点，当Q点振动一段时间后开始计时，P、Q两点的振动图像为如图所示的实、虚线．求：
(1)波的传播速度大小v；
(2)Q点的振动方程．
[解析] (1)距离和波长的关系
Δx＝(n＋13)λ(n＝0，1，2，…)
周期T＝6 s
波速v＝λT
解得v＝43n+1 m/s (n＝0，1，2，…)．
(2)圆频率ω＝2πT
初相位φ0＝－2π3
Q点的振动方程y＝0.5sin (π3t－2π3)m．
[答案] (1)v＝43n+1 m/s (n＝0，1，2，…)
(2)y＝0.5sin (π3t－2π3)m
13．(2022·江西赣州市第四中学高三期中)一简谐横波在某时刻(t＝0)的波形图如图中的实线所示，图中的虚线是t＝0.2 s时刻该波的波形，P是平衡位置在x＝3 m处的质点．
(1)若该波沿x轴正方向传播，求该波在0～0.2 s内传播的距离s；
(2)若该波的波速大小v＝35 m/s，求质点P在t＝0.2 s时刻相对平衡位置的位移yP及其在0～0.2 s内通过的路程L．
[解析] (1)由题图可知，该波的波长λ＝4 m，若该波沿x轴正方向传播，则该波在Δt时间内传播的最小距离
x＝λ4＝1 m
由周期性可知，该波在0～0.2 s内传播的距离
s＝(n＋14)λ＝(4n＋1) m(n＝0，1，2，…)．
(2)若波速大小v＝35 m/s，则该波的周期
T＝λv＝435 s
因为Δt＝0.2 s＝134T
所以波沿x轴负方向传播，在t＝0时刻，质点P处于平衡位置并沿y轴正方向运动．
在t＝0.2 s时刻，质点P到达负方向的最大位移处，可知
yP＝－2 cm
在0～0.2 s内，质点P通过的路程
L＝7A＝14 cm．
[答案] (1)s＝(n＋14)λ＝(4n＋1) m(n＝0，1，2，…) (2)yP＝－2 cm，L＝14 cm
比较项目
振动图像
波的图像
图像
坐标
横坐标
时间
各质点的平衡位置
纵坐标
某一质点在不同时刻的振动位移
各质点在同一时刻的振动位移
研究对象
一个质点
沿波传播方向上的各质点
物理意义
一个质点在不同时刻的振动位移
介质中各质点在同一时刻的振动位移
1．进一步理解波的形成、波的描述．
2．能正确的分析波动，并能将波动和振动有效的联系起来．
3．会解决波的多解问题．
振动图像和波的图像的比较
【典例1】 一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置．某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过34周期开始计时，则图乙描述的是( )
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
B [因横波沿x轴正方向传播，经34周期振动到平衡位置的质点为平衡位置在b、d处的质点，该时刻平衡位置在b处的质点的振动方向沿y轴负方向，平衡位置在d处的质点的振动方向沿y轴正方向，故题图乙为平衡位置在b处的质点的振动图像，故选B．]
【典例2】 (多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，下列说法中正确的是( )
A．此列波的振幅是0.1 m
B．平衡位置在x＝15 cm处质点的位移是0.1 m
C．若质点A的速度沿y轴正方向，则质点B的速度亦沿y轴正方向
D．质点A的加速度沿y轴负方向，而质点B、C的加速度沿y轴正方向
ACD [从题图波的图像上可以直接读出振幅是0.1 m，平衡位置在x＝15 cm处质点的位移是－0.1 m，A正确，B错误；各质点加速度的方向总是指向平衡位置，D正确；由于A、B两质点此刻处在同一“坡”上，根据“上下坡法”可以判断A、B速度方向一致，均沿y轴正方向，C正确．]
【典例3】 如图所示，一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波形图如图甲所示，图乙表示x＝1.0 m处质点P的振动图像．求：
(1)波的波长λ和振幅A；
(2)请判断这列波的传播方向，并计算该简谐横波传播速度v的大小；
(3)t＝0.7 s内质点Q运动的路程s．
[解析] (1)由题图甲知，此波的波长λ＝2.0 m，振幅A＝10 cm．
(2)由题图乙知，质点P在t＝0时刻正向上运动，由“上下坡法”知波的传播方向为沿x轴正方向；
由v＝λT，又T＝0.4 s，
所以v＝5 m/s．
(3)由于周期T＝0.4 s，0.7 s＝(1＋34)T，
t＝0时刻，质点Q处于平衡位置，运动的路程
s＝(1＋34)×4A＝0.7 m．
[答案] (1)2.0 m 10 cm (2)沿x轴正方向 5 m/s (3)0.7 m
波的多解问题
(1)周期性．
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解．
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解．
(2)双向性．
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
【典例4】 图中的实线是一列简谐波在某一时刻的波形曲线．经0.5 s后，其波形如图中虚线所示．设该波的周期T大于0.5 s．
(1)如果波是向左传播的，波速是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右传播的，波速是多大？波的周期是多大？
[解析] (1)如果波是向左传播的，从题图可以看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动了x＝6 cm(即λ4)，由此可求出波速为v＝xt＝0.060.5 m/s＝0.12 m/s，波的周期T＝λv＝ s＝2.0 s．
(2)如果波是向右传播的，从题图可以看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动了x′＝18 cm(即3λ4)，由此可求出波速为v′＝x't＝0.180.5 m/s＝0.36 m/s，波的周期为T′＝λv'＝ s≈0.67 s．
[答案] (1)0.12 m/s 2.0 s (2)0.36 m/s 0.67 s
【典例5】 一列简谐横波在一均匀介质中传播的速度v＝10 m/s，P、Q是该波传播过程中的两个质点，它们的平衡位置相距x＝4 m，这列波的波长大于2 m而小于20 m．如图表示在波的传播过程中P、Q两质点的振动图像．求：
(1)波的能量在P和Q间传播所需要的时间Δt；
(2)该波的振动周期T．
[解析] (1)机械波在同一种均匀介质中传播x＝vΔt，
解得Δt＝0.4 s．
(2)①若波从P向Q传播x＝(n＋34)λ(n＝0，1，2，…)
则λ＝4n+34 m(n＝0，1，2，…)
由公式v＝λT得T＝0.4n+34 s＝1.64n+3 s(n＝0，1，2，…)
因为2 m＜λ＜20 m，所以n只能取0或1，故周期为T＝815 s或T＝835 s
②同理，若波从Q向P传播x＝(n＋14)λ(n＝0，1，2，…)
则λ＝4n+14 m(n＝0，1，2，…)
T＝0.4n+14 s＝1.64n+1 s(n＝0，1，2，…)
因为2 m＜λ＜20 m，所以n只能取0或1，
故周期为T＝1.6 s或T＝0.32 s．
[答案] (1)0.4 s (2)见解析
素养提升练(二) 波的图像与波的多解问题
1．(2022·广东实验中学高二练习)图甲为一列沿x轴传播的简谐横波在t＝1 s时刻的图像，图甲中某质点的振动情况如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．该时刻起质点K在1 s的时间内沿x轴移动0.2 m
B．该时刻起再经0.5 s质点K的加速度为正方向最大
C．如果图乙为质点K的振动图像，则波沿x轴负向传播
D．如果图乙为质点L的振动图像，则波沿x轴负向传播
C [质点K只能沿y轴振动，不能沿x轴移动，故A错误；根据题意，由题图乙可知，该波的周期为T＝2 s，假如波向左传播，质点K再经过0.5 s时，到达负方向最大位移处，此时，质点K的加速度为正方向最大；假如波向右传播，质点K再经过0.5 s时，到达正方向最大位移处，此时，质点K的加速度为负方向最大，故B错误；如果题图乙为质点K的振动图像，由题图乙可知，质点K在t＝1 s时沿y轴负方向振动，结合题图甲可知，波沿x轴负向传播，故C正确；如果题图乙为质点L的振动图像，由题图乙可知，质点L在t＝1 s时沿y轴负方向振动，则波沿x轴正向传播，故D错误．]
2．(2022·江苏扬州市江都区育才中学一模)已知一列波某时刻波的图像和某一点的振动图像如图所示，则( )
A．甲是波的图像，波速是2 000 m/s
B．甲是振动图像，波速是2 000 m/s
C．乙是波的图像，波速是5 000 m/s
D．乙是振动图像，波速是5 000 m/s
D [题图甲的横坐标是长度，故题图甲为波的图像，题图乙的横坐标是时间，故其为振动图像，由甲图可知波长λ为10 m，由乙图可知周期T为2×10-3 s，根据波长与周期的关系有λ＝vT，解得v＝5 000 m/s，故选D．]
3．(多选)(2022·山东卷)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示．当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
A B C D
AC [由O点的振动图像可知，周期为T＝12 s，设原点处的质点的振动方程为y＝A sin (2πTt＋φ)，则10＝20sin φ，解得φ＝π6，在t＝7 s时刻y7＝20sin (2π12×7＋π6)＝－103 cm≈－17.3 cm，因7 s＝12T＋112T，则在t＝7 s时刻原点O处的质点在y轴负向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形为C所示；若波向左传播，则波形如A所示．]
4．(2022·广东揭阳市第三中学高二期中)如图所示，实线是一列简谐横波在T1时刻的波形图，虚线是在T2＝(T1＋0.5) s时刻的波形图．下列说法正确的是( )
A．当波向左传播时，波速的表达式为v＝4(4n＋1) m/s(n＝0，1，2…)
B．当波向左传播且3T＜(T2－T1)＜4T时，波速大小为60 m/s
C．当波向右传播时，波速的表达式为v＝4(4n＋3) m/s(n＝0，1，2…)
D．若波速v＝68 m/s，则波向左传播
B [当波向左传播时v左＝nλ+34λΔt＝8n+60.5 m/s＝4(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，…)，故A错误；当波向左传播且3T＜(T2－T1)＜4T，若此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ，即n＝3，有v左＝4(4n＋3)m/s＝4×(4×3＋3)m/s＝60 m/s，故B正确；当波向右传播时v右＝nλ+λ4Δt＝8n+20.5 m/s＝4(4n＋1)m/s(n＝0，1，2，…)，故C错误；若波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝(4＋14)λ，故波向右传播，故D错误．]
5．(2022·福建厦门英才学校高三期中)如图甲所示，一列简谐横波沿着x轴正方向传播，波源的平衡位置在坐标原点，自t＝0时刻起开始振动，经过一段时间，波源第一次处于y轴正方向一侧的最高点，此时x＝3 cm处的质点M恰好开始振动．已知波源离开平衡位置的位移y随时间t变化的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．该简谐波的波长为12 cm
B．在0～1.7 s时间内，质点M经过的路程为 0.8 cm
C．t＝3 s时，x＝6 cm处的质点开始振动
D．t＝4.5 s时，质点M的加速度最大
C [波源第一次处于y轴正方向一侧的最高点，此时x＝3 cm处的质点M恰好开始振动，由图乙知波传递到质点M经过的时间t＝34T＝34×2 s＝1.5 s，波速v＝xt＝3 cm1.5 s＝2 cm/s，波长λ＝vT＝2 cm/s×2 s＝4 cm，A错误；在0～1.7 s时间内，质点M振动的时间t′＝t0－t＝1.7 s－1.5 s＝0.2 s＝0.1T，质点M经过的路程s＝|y|＝2sin (2πTt′)＝2sin (2π2s×0.2 s)＝2sin π5，B错误；t＝3 s时，波传递的距离x′＝vt1＝2 cm/s×3 s＝6 cm，C正确；t＝4.5 s时，质点M振动的时间t″＝t2－t＝4.5 s－1.5 s＝3 s＝32T，由题图乙可知，此时质点M的状态与波源1 s时的状态相同，此时处于平衡位置，加速度最小，等于0，D错误．]
6．(多选)(2022·广东省清远英德中学高二练习)如图甲所示为一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，a、b、c为介质中的三个质点，图乙表示该波x＝6 m处a质点的振动图像，下列说法正确的是( )
A．该波沿x轴负向传播
B．t＝15 s时，质点a处于波峰位置
C．t＝5 s时，质点b振动的速度方向与回复力方向相同
D．质点c的位移随时间变化的关系式为y＝10sin (π2t＋π6)cm
BD [由题图乙可知，t＝0时a质点正在向y轴负方向振动，可判断出，波沿x轴正方向传播，A错误；由题图乙可知，振动周期为4 s，所以t＝15 s＝(3＋34)T，t＝15 s时质点a与t＝3 s时的状态一样，由题图乙知，此时质点a处于波峰位置，B正确；根据t＝5 s＝(1＋14)T，所以t＝5 s时，质点b的状态与t＝1 s时的状态一致，由题图甲，t＝0时质点b在y轴正半轴向y轴负方向振动，经过14周期，质点b在y轴负半轴向y轴负方向振动(竖直向下)，回复力指向平衡位置(竖直向上)，C错误；波沿x轴正方向传播，质点c正在向y轴正方向振动，可知其函数关系式为y＝－10sin (2πTt＋φ) cm＝－10sin (2π4t－56π)＝10sin (π2t＋π6) cm，D正确．]
7．(多选)(2022·浙江杭州一模)一列简谐横波在t＝0.8 s时的波形图如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点Р的振动图像．已知该波在该介质中的传播速度为 10 m/s，则( )
A．该波沿x轴负方向传播
B．再经过0.9 s，质点P通过的路程为30 cm
C．t＝0时刻质点P离开平衡位置的位移－53 cm
D．质点P的平衡位置坐标为x＝7 m
AD [由题图乙可知0.8 s时P点振动方向向下，根据上下坡法，波沿x轴负方向传播，A正确；经过1个周期，质点经过的路程s＝4A，经过0.5个周期，经过的路程s＝2A，以上规律质点在任何位置开始都适用，经过14或34个周期，经过的路程s＝A或3A的规律只有在特殊位置(平衡位置、最大位移处)的质点才适用，此时P未处于特殊位置，t＝0.9 s＝34T，路程不只为30 cm，B错误；由题图乙可知，0时刻质点P位于平衡位置，C错误；由y＝A sin 2πTt(cm)＝10sin 5π3t(cm)，可得x＝0处的质点从平衡位置到y＝5 cm，经历的时间为t1＝0.1 s，则质点P的平衡位置坐标为xP＝v(t－t1)＝10×(0.8－0.1)m＝7 m，故D正确．]
8．(多选)(2022·黑龙江·大庆实验中学高三期中)如图所示是沿x轴传播的一列简谐横波，实线是在t＝0时刻的波形图，虚线是在t＝0.2 s时刻的波形图．已知该波的波速是0.8 m/s，则下列说法正确的是( )
A．这列波沿x轴负方向传播
B．t＝0时，x＝4 cm处的质点速度沿y轴正方向
C．0～0.2 s内，x＝4 cm处的质点振动方向改变了3次
D．t＝0.2 s时，x＝4 cm处的质点加速度方向沿y轴负方向
AC [从题图中可以看出波长是12 cm，已知波速为v＝0.8 m/s，则周期为T＝λv＝0.120.8 s＝0.15 s，因为t＝0.2 s＝43T，s＝vt＝0.8×0.2 m＝0.16 m＝43 λ＝(1＋13)λ，根据波形平移法可知，该波沿x轴负方向传播，A正确；由于该波沿x轴负方向传播，t＝0时刻，x＝4 cm处的质点的速度沿y轴负方向，B错误；0～0.2 s内，x＝4 cm处的质点振动了43T，振动方向改变了3次，C正确；t＝0.2 s时，x＝4 cm处的质点位移沿y轴负方向，故加速度方向沿y轴正方向，D错误．]
9．(多选)(2022·广东深圳市高级中学高二阶段练习)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在xA＝0和xB＝0.6 m处的两个质点A、B的振动图像如图所示，则( )
A．波由质点A传到质点B的时间可能是0.1 s
B．波由质点A传到质点B的时间可能是0.3 s
C．这列波的波速可能是1 m/s
D．这列波的波速不可能是3 m/s
BD [由题意可得，波的周期为T＝0.4 s，AB间的距离为xAB＝nλ＋34λ，波由质点A传到质点B的时间为t＝xv＝nλv+34λv＝nT＋34T≥0.3 s，故A错误，B正确；由上述分析可得，波速为v＝xt＝0.6nT+34T＝64n+3 m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，波速最大，为2 m/s，当波速为1 m/s时，n不是整数，故C错误，D正确．]
10．(多选)(2022·湖南永顺县第一中学模拟)某列简谐横波在t1＝0时刻的波形如图甲中实线所示，t2＝3.0 s时刻的波形如图甲中虚线所示，若图乙是图甲a、b、c、d四点中某质点的振动图像，则正确的是( )
A．这列波的周期为4 s
B．波速为0.5 m/s
C．图乙是质点b的振动图像
D．从t1＝0到t2＝3.0 s这段时间内，质点a通过的路程为1.5 m
AB [由图乙可知，波的周期为4 s，A正确；由甲图可知，波长λ＝2 m，根据波速公式v＝λT＝24 m/s＝0.5 m/s，B正确；在t1＝0时刻，质点b正通过平衡位置，与乙图情况不符，所以乙图不可能是质点b的振动图像，C错误；从t1＝0到t2＝3.0 s这段时间为34T，所以质点a通过的路程为s＝34×4A＝15 cm＝0.15 m，D错误．]
11．如图所示，一列横波沿x轴传播，实线a为0时刻的波形曲线，虚线b为0.5 s时的波形曲线．
(1)写出该波的波长和振幅；
(2)假设该波向左传播且T＞0.5 s，求波速为多大；
(3)假设波速为18 m/s，通过计算说明波的传播方向；并求出在此波速下x＝3 m处的质点从t＝0时刻开始计时的振动方程(不写推导过程，用正弦表达)．
[解析] (1)根据图像可得波长和振幅分别为
λ＝4 m
A＝2 cm．
(2)若该列波向左传播，则
(34＋n)T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
又由题可知周期大于0.5 s，则
n＝0
可得周期T＝23s
由v＝λT得波速v＝6 m/s．
(3)假设该列波向左传播，则由v＝λT得
v＝(8n＋6) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
则n＝1.5
可见n取不到整数，故舍去．
假设该列波向右传播，则
(14＋n)T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
由v＝λT得
v＝(8n＋2) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
则n＝2
所以该列波向右传播，且在此波速下，波的周期为T＝29s．
由波形图可知，0时刻，x＝3 m处质点处于平衡位置且向y轴负方向振动，所以振动方程为
y＝－A sin ωt(cm)
其中ω＝2πT
联立得y＝－2sin 9πt (cm)．
[答案] (1)4 m，2 cm (2)6 m/s (3)该列波向右传播，y＝－2sin 9πt (cm)
12．(2022·广东河源二中高三期中)一列简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距8 m的两质点，波先传到P点，当Q点振动一段时间后开始计时，P、Q两点的振动图像为如图所示的实、虚线．求：
(1)波的传播速度大小v；
(2)Q点的振动方程．
[解析] (1)距离和波长的关系
Δx＝(n＋13)λ(n＝0，1，2，…)
周期T＝6 s
波速v＝λT
解得v＝43n+1 m/s (n＝0，1，2，…)．
(2)圆频率ω＝2πT
初相位φ0＝－2π3
Q点的振动方程y＝0.5sin (π3t－2π3)m．
[答案] (1)v＝43n+1 m/s (n＝0，1，2，…)
(2)y＝0.5sin (π3t－2π3)m
13．(2022·江西赣州市第四中学高三期中)一简谐横波在某时刻(t＝0)的波形图如图中的实线所示，图中的虚线是t＝0.2 s时刻该波的波形，P是平衡位置在x＝3 m处的质点．
(1)若该波沿x轴正方向传播，求该波在0～0.2 s内传播的距离s；
(2)若该波的波速大小v＝35 m/s，求质点P在t＝0.2 s时刻相对平衡位置的位移yP及其在0～0.2 s内通过的路程L．
[解析] (1)由题图可知，该波的波长λ＝4 m，若该波沿x轴正方向传播，则该波在Δt时间内传播的最小距离
x＝λ4＝1 m
由周期性可知，该波在0～0.2 s内传播的距离
s＝(n＋14)λ＝(4n＋1) m(n＝0，1，2，…)．
(2)若波速大小v＝35 m/s，则该波的周期
T＝λv＝435 s
因为Δt＝0.2 s＝134T
所以波沿x轴负方向传播，在t＝0时刻，质点P处于平衡位置并沿y轴正方向运动．
在t＝0.2 s时刻，质点P到达负方向的最大位移处，可知
yP＝－2 cm
在0～0.2 s内，质点P通过的路程
L＝7A＝14 cm．
[答案] (1)s＝(n＋14)λ＝(4n＋1) m(n＝0，1，2，…) (2)yP＝－2 cm，L＝14 cm
比较项目
振动图像
波的图像
图像
坐标
横坐标
时间
各质点的平衡位置
纵坐标
某一质点在不同时刻的振动位移
各质点在同一时刻的振动位移
研究对象
一个质点
沿波传播方向上的各质点
物理意义
一个质点在不同时刻的振动位移
介质中各质点在同一时刻的振动位移
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