统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练11函数与导数理（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练11函数与导数理（附解析），共12页。
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)＝eq \f(1,ex)＋eq \f(1,x)，证明：当a＝0时，f(x)>g(x).
2．[2023·山西太原三模]已知函数f(x)＝ax2－ex.
(1)若函数f(x)的图象与直线y＝－x＋1相切，求实数a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x－1有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
3．[2023·安徽蚌埠二中模拟预测]已知函数f(x)＝lnx＋eq \f(a,2)x2－ax，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f′(x1)＝f′(x2)＝0，且0－eq \f(1,e2)－eq \f(1,e)＋1，
∵（－eq \f(1,e2)－eq \f(1,e)＋1）－eq \f(1,e)＝eq \f(（e－1）2－2,e2)>0，
∴－eq \f(1,e2)－eq \f(1,e)＋1>eq \f(1,e)，
∴－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －x0＋1>eq \f(1,e)，即h（x）min＝G（x）max，
∴x∈（0，＋∞）时，h（x）>G（x）恒成立，
∴f（x）>g（x）.
2．解析：（1）f′（x）＝2ax－ex，设切点为（x0，f（x0）），
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x0）＝－x0＋1,f′（x0）＝－1))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(axeq\\al(\s\up1(2),\s\d1(0))－ex0＝－x0＋1,2ax0－ex0＝－1)).
a＝0时，显然不成立，∴a≠0，
消去a得（x0－2）（＋1）＝0，
∴x0＝2，a＝eq \f(e2－1,4).
（2）令g（x）＝0，即ax2＋x－1－ex＝0有且只有一个解，
当x＝0时，显然ax2＋x－1－ex＝0不成立，
∴x≠0，a＝eq \f(ex－x＋1,x2)，令h（x）＝eq \f(ex－x＋1,x2)，
∴y＝a与h（x）＝eq \f(ex－x＋1,x2)有且只有一个交点，
∵h′（x）＝eq \f(（ex－1）x2－2x（ex－x＋1）,x4)＝eq \f(（x－2）（ex＋1）,x3)，
当x∈（－∞，0）时，h′（x）>0，h（x）单调递增；
当x∈（0，2）时，h′（x）0，h（x）单调递增，
又当x→－∞时，h（x）→0，当x→0时，h（x）→＋∞，
当x＝2时，h（2）＝eq \f(e2－1,4)，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，
如图所示，
综上，a的取值范围是（0，eq \f(e2－1,4)）.
3．解析：（1）显然，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝eq \f(1,x)＋ax－a＝eq \f(ax2－ax＋1,x)，
①若a＝0，显然f（x）单调递增．
②若a