新高考数学二轮复习 多选题分类提升练习专题六【函数与导函数】多选题专练六十题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
3．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
第二部——基础模拟题
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．1是的极大值，也是的极大值B．1是的极大值，也是的极小值
C．1是的极小值，也是的极小值D．1是的极小值，也是的极大值
【答案】ABC
【分析】由题意构造函数图象满足题干依次判定选项即可.
【详解】对于A选项，构造如图所示图象，则A选项正确；

对于B选项，构造如图所示图象，则B选项正确；

对于C选项，构造如图所示图象，则C选项正确；

对于D选项，因为1是的极小值，则在1的附近存在，使得，
又1也是的极大值，则在1的附近存在，使得，
所以在1的附近存在与，使得，不合题意，故D错误.
故选：ABC.
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知非零实数，，则可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】设函数，，，分情况，讨论，构造函数求导确定单调性，即可得取值情况，从而作出判断.
【详解】令，，，
①当时，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
所以，则，所以；
设，则，所以在上单调递增，
所以，则，所以
所以；
②当时，
，，而因为，所以，所以，
而有两解，一正一负，因为 ，
而，有，所以在单调递增，所以.
当时，，而在单调递增，所以，所以;
当时，，
综上，可能正确的是，.
故选：BC.
8．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数的图像为曲线，下列说法正确的有（ ）．
A．都有两个极值点
B．都有三个零点
C．，曲线都有对称中心
D．，使得曲线有对称轴
【答案】AC
【分析】根据已知函数求导求出单调区间再求出极值点判断A选项，根据极值确定零点个数判断B选项，根据导函数性质以及三次函数图象的性质可判断C,D选项.
【详解】，
，
单调递增；单调递减；
都有两个极值点，故A选项正确；
因为当时， ；当 时， ,
所以函数 至少有一个零点，
已知 极大值
极小值
当，即 时，，
所以函数与 x 轴仅有一个交点，
不满足 都有三个零点，故选项 B 错误；
函数是开口向上的二次函数，且为轴对称，此时对称轴的横坐标即为函数对称中心的横坐标，
是曲线对称中心，故选项 C 正确，
由三次函数图象的性质知 ，曲线C没有对称轴，选项 D 错误．
故选：AC.
9．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
【答案】AB
【分析】对代入特殊值，求出的性质，最后运用构造法求出的解析式，运用错位相减法求和即可.
【详解】对于A，令，则有，
，正确；
对于B，因为的定义域为，
因为对于，，
当时，令，则有，
当时，，
所以是奇函数，正确；
对于C，由B知，当时，，错误；
对于D，，令，，
则有，，令，则，
，是首项为1，公差为1的等差数列，
，即，，
令…①，
则…②，
①-②得：，
故，错误；
故选：AB.
10．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可知4是的一个周期，所以，即可判断B；由，得结合，可知4也是的一个周期，由此求出可判断C；取特值可判断AD.
【详解】因为是奇函数，所以，且．
又，所以，
即．令等价于，所以，
所以4是的一个周期，所以，得，
即，故B正确．
由，得．又，
所以，所以，即．
所以，所以4也是的一个周期，
所以，得，故C正确．
取，则，显然是奇函数，符合题意．
此时，但，故A错误；
因为，所以，得，故D错误．
故选：BC.
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数是周期函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的对称性可得的图象关于对称，结合函数变换可推出函数是周期为的函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.
【详解】因为为奇函数，则，所以，则函数的图象关于对称，故A正确；
因为①，②，
则①+②得：，即③，
②-①得：，即④，
由③得代入④得，所以，则，则函数是周期为的函数，故B正确；
由于的图象关于对称，是周期为的函数，无法确定是否关于点对称，故C不正确；
将③代入①可得，
所以，，，，
，，，，
累加得：，故可得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为，
所以，即，
所以3是函数的一个周期，A正确；
对B，因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点中心对称，B错误；
对C，因为，
所以，
即，即，
所以函数是偶函数，C正确；
对D，，
所以，
所以，D正确；
故选:ACD.
13．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为A，若对任意，都存在正数M使得总成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】可求每个选项函数的值域，然后求出的范围即可得出该函数是否为有界函数．
【详解】对于A：的定义域为,，令，则，
，，
不存在正数，使得总成立，不是有界函数；
对于B：的定义域为，
，所以，
存在，使得，是有界函数；
对于C：，
，
存在，使得，是有界函数；
对于D：，
由于时，单调递增，此时，
故不存在正数，使得总成立，不是有界函数；
故选：BC．
14．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数（），则（ ）
A．若，则函数在上单调递增
B．若在上有最小值，则在上有最大值
C．过原点有且仅有一条直线与的图象相切
D．若函数存在大于1的极值点，则
【答案】BC
【分析】分、和，两种情况可得函数在上单调递减可判断A；令利用奇函数定义可得函数是奇函数，根据奇函数的性质和最值情况可判断B；利用导数求出切线方程，切线过点得方程有且仅有一解可判断C；函数有极值点得有两个不同的根，设两根分别为，可得，利用韦达定理分，和，两种情况可判断D.
【详解】对于A，当，时，易知函数在上单调递增，当，时，易知函数在上单调递减，A项不正确；
对于B，令，关于原点对称，，所以函数是奇函数，
若在上有最小值，则函数在上有最小值，
函数在上有最大值，所以在上有最大值，故B项正确；
对于C，，设切点，则，
所以切线方程为，切线过点，得，该方程有且仅有一解，C项正确；
对于D，若函数有极值点，则有两个不同的根，则，
设两根分别为，，则，若，则，当，时，，当，时，，D项不正确.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：结合导数与单调性、极值、最值的关系求三次的多项式函数的极值与最值
15．（2023·浙江·统考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
【答案】AC
【分析】根据已知可推得，即可得出A项；由为奇函数，即可得出函数的对称性；易知，结合，即可推得，得出C项；根据函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项.
【详解】对于A项，因为，所以，所以3是函数的一个周期，故A正确；
对于B项，因为，为奇函数，所以，
所以，点是函数图象的对称中心，故B错误；
对于C项，因为，为奇函数，所以，
所以.
又因为，所以，
所以，
所以，函数是偶函数，故C项正确；
对于D项，由C知，函数是偶函数，所以.
又3是函数的一个周期，
所以，，，
所以，，
所以，，故D错误.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：根据已知条件，变换得出函数的关系式，进而得出函数的对称性、奇偶性以及周期性.然后根据奇偶性以及周期性求值，即可得出答案.
16．（2023·广东东莞·校考三模）已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（ ）
A．的图象关于对称B．为偶函数
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】A.由得到判断；B.由得到，再结合判断；C.由得到再结合判断；D.由为偶函数且得到是周期函数，且周期为8，再结合当时，，可知在单调递减，画出的大致图象，利用数形结合法求解.
【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，
由得，由得，故为偶函数，故B正确，
由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，
由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：

由性质结合图可知：当，时，，故D正确，
故选：BCD
17．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.
【详解】对于A，由，得，
当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，由，得且，
令，则，解得，解得，
得在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，B正确；
对于C，当时，满足，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知函数的定义域为的导函数的图象关于中心对称，且函数在上单调递增，若且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，可得函数的图象对称轴，结合给定等式探求出正数a，b的关系，再逐项分析判断作答.
【详解】因为函数的图象关于中心对称，则有，，
而，即，，
，令，为常数，当时，，
因此，，即函数的图象关于直线对称，
又函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
由，得，A正确；
而，即有，，
因此，B错误；
显然，即，则，因此，C正确；
，D正确.
故选：ACD
19．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．若，则函数图象在处的切线方程为
B．若，则函数是奇函数
C．若，则函数存在最小值
D．若函数存在极值，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】对于A：根据导数的几何意义求出切线方程可知A正确；对于B：根据偶函数的定义判断可知B错误；对于C：利用导数得在上为单调递减函数，可知C错误；对于D：根据有零点，求出的范围，可知D正确.
【详解】对于A：，；，，
所以切线方程为，所以A正确.
对于B：函数的定义域是，若，则，
所以
，
所以是偶函数，所以B错误.
对于C：时，，
则，所以在上为单调递减函数，无最小值，所以C错误.
对于D：，若函数存在极值，
则有零点，令，即，
.
因为，所以，即，解得：，故D正确.
故选：BC.
20．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．是周期为4的周期函数D．
【答案】ABC
【分析】由图象的平移可得是偶函数，从而判断B；对都有，取，可求得，从而判断A；
进而得到恒成立，从而判断C；再由已知可得在上单调递增，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，故是偶函数， B正确；
因为函数对都有，
所以取，可得，
又是偶函数，所以，从而可得， A正确；
由，知，故是周期为4的周期函数，C正确；
因为是偶函数，且是周期为4的周期函数，所以，
，
又对，当时，都有，
所以在上单调递增，，
即， D错误.
故选：ABC.
21．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】对于A：因为，，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：因为，，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；
对于C：因为，，，所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
22．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数的定义域都为为奇函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】对A，根据令结合为奇函数推导即可；对B，根据结合为奇函数，再令推导即可；对C，求出判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得，进而判断即可.
【详解】对A，由，令可得，又为奇函数，故，，故A错误；
对B，由及可得，
又为奇函数，则，令则，
故.故B正确；
对C，由及可得，当时不成立，故C错误；
对D，由AB可得且周期为2，故，故，故D正确；
故选：BD
23．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，实数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题目给出的等式，代入函数解析式得到、的关系，从而判断出的符号，再把，转化为含有一个字母的式子即可求解．
【详解】∵，∴，
∴或，
又∵，∴，∴，故A不正确，B正确；
又由有意义知，从而，
于是.
所以.
从而.
又，所以，
故.
解得或（舍去）.
把代入解得.
所以，，故C正确，D不正确.
故选：BC.
24．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．关于对称B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D选项，结合单调性得出C选项.
【详解】为偶函数，
所以，所以，
所以关于点对称，A错误；
又，所以，B正确；
因为在上是增函数，
所以，故C正确；
因为，
所以，而的值不确定，故D错误.
故选:BC．
25．（2023·河北·校联考一模）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当时，，若方程在上恰有个实数解，则（ ）
A．的周期为4B．在上单调递减
C．的值域为D．
【答案】AD
【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A、B，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C，画出函数与的图象，数形结合，即可判断D.
【详解】由的图象关于对称可得，
再由为偶函数可得，故，即的周期为4，即A正确；
当时，由，可得在上单调递增，故在上单调递增，即B错误；
又，，故的值域为，即C错误；
在同一坐标系下画出函数与的图象如图所示.

由图可知，要使与在上恰有个不同交点，
只需，即，解得，即的取值范围为，故D正确.
故选：AD
26．（2023·河北·校联考一模）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，构造函数，求导探讨单调性，利用函数单调性逐项比较判断作答.
【详解】令函数，求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，当且仅当时取等号，
因此当且时，恒有，则，A错误；
显然有，则，即有，B正确；
，C正确；
，D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
27．（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．在上单调递增
C．的极小值为
D．在上的最小值为
【答案】BC
【分析】求出函数的导函数，求出，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.
【详解】因为，所以，
所以，故A错误；
令，解得，所以的单调递增区间为，
而，所以在上单调递增，故B正确；
当时，所以的单调递减区间为，
所以的极小值为，故C正确；
在上单调递减，所以最小值为，故D错误；
故选：BC
28．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（ ）
A．都有
B．函数和均不存在最小正周期
C．函数和均为偶函数
D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个
【答案】BCD
【分析】根据狄利克雷函数与广义狄利克雷函数的定义，结合函数值、周期性、奇偶性等逐项判断即可得答案.
【详解】对于A，由于（其中且），当为无理数时，，故A不正确；
对于B，设为非零的有理数，若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，所以对恒成立，对恒成立，即数和均为周期函数，但不存在最小正周期，故B正确；
对于C，，则，所以为偶函数，又，所以为偶函数，故C正确；
对于D，取，则为等边三角形，将这个三角形左右平形移动，即只需要三角形的高为，边长为的三角形均可以，所以这样的三角形有无数个，故D正确.
故选：BCD.
29．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数，，有下列结论，正确的是（ ）
A．任意的，等式恒成立
B．任意的，方程有两个不等实根
C．任意的，，若，则一定有
D．存在无数个实数，使得函数在上有个零点．
【答案】ACD
【分析】计算判断A；举例说明判断B；探讨函数单调性判断C；由函数零点的意义分析判断D作答.
【详解】函数，，
对于A，，，A正确；
对于B，当时，由，得，解得，即方程只有1个实根，B错误；
对于C，当时，，即函数在上单调递减，
由选项A知，函数是上的奇函数，则在上单调递减，
因此函数是上的减函数，，，则一定有，C正确；
对于D，，则有或，即0是的零点，
当时，，则，当时，或，
因此当，函数有3个零点，D正确.
故选：ACD
30．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．的一个周期为
【答案】BCD
【分析】由，可设，（、为常数），再根据所给条件推出，即可得到，从而判断A，即可得到，在两边求导，即可判断C，根据为奇函数，得到求导，即可判断B，最后推出的周期性，即可判断D.
【详解】因为，所以，（、为常数），
又因为，所以，
即，令，则，所以，
所以，故A错误；
所以，所以，所以的图象关于点对称，故C正确；
因为为奇函数，所以，则，即，
所以，所以为偶函数，故B正确；
因为，且，所以，
即，所以，
所以的一个周期为，又，
所以，
所以的一个周期为，故D正确；
故选：BCD
31．（2023·广东汕头·统考三模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上是减函数
C．为奇函数
D．方程仅有6个实数解
【答案】ACD
【分析】根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，即，
因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以，所以，
所以，所以，即函数的一个周期为.
在中，令，得，
在中，令，得，
又，所以，故A正确；
因为在区间上是增函数，且的一个周期为，
所以在上单调递增，在上不为减函数.故B错误；
因为，所以，
所以，从而为奇函数，故C正确；
因为为奇函数，所以的图象关于点对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
又当时，，
作出与的大致图象，如图所示.
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，
故方程仅有6个实数解，故D正确.
故选：ACD.
32．（2023·山东青岛·统考三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即，解得或，
所以或，故A错误；
对于选项B：，
因为a＞b＞0，则，即，且，
所以，即，故B正确；
对于选项C：因为a＞b＞0，且，
可得同号，则有：
若同正，可得，
则，可得；
若同负，可得，
则，可得；
综上所述：，
又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；
对于选项D：因为a＞b＞0，则，
可得在内单调递增，可得，
且，所以，故D正确；
故选：BCD.
33．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．函数在上递减
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据是奇函数判断A，再判断即可得到的图象关于直线对称，从而判断B、C，根据对称性得到，即可判断D.
【详解】对于A，因为是奇函数，所以，故A错误；
因为是奇函数，所以的图象关于点对称，即有，
所以，所以的图象关于直线对称，
函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；
因为，所以，即，故C正确；
因为，且，由函数的图象关于直线对称，得，解得，故C正确.
故选：BCD.
34．（2023·江苏盐城·统考三模）设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由为上的奇函数，，可得的性质，可判断A，B；对，求导可得导函数的性质，即可判断C，D.
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，因为，，所以当得，所以，故A正确；
又，可得，则，
所以函数关于直线对称，故的值无法确定，故B不正确；
因为，则①，所以关于轴对称，
又，所以，即，所以关于点对称，则②，
由①②得，所以，则，
故的周期为6，由②可得，即，所以，故C正确；
由②得，所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
35．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数的定义域均为.若时，且时，则（ ）
A．B．函数的图像关于点对称
C．D．
【答案】AD
【分析】根据条件先求出，再根据求值判断A，结合已知，然后利用对称中心的概念判断B，根据数列知识及函数性质求出函数值的和即可判断C、D.
【详解】因为时，
所以，
又时，所以，，，，
所以，
故选项A正确；
由得，
由知是奇函数，所以，
上面两个式子相加得，所以关于对称，所以错误；
，故选项错误；
由得
，
所以正确.
故选：AD
36．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为
B．
C．若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则
D．有唯一零点
【答案】ABD
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算即可判断B；利用对称关系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.
【详解】对于A，函数，求导得，有，
所以在处的切线方程为，即，A正确；
对于B，函数，有，
而，所以，B正确；
对于C，函数，函数的图象与的图象关于坐标原点对称，
所以，C错误；
对于D，函数的定义域为R，求导得，令，
，当时，当时，，则函数在上递增，在上递减，
于是，函数在上单调递增，而，
由零点存在性定理知在内存在唯一零点，所以有唯一零点，D正确.
故选：ABD
37．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
【答案】AC
【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.
【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.
故选：AC
38．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数则（ ）
A．没有极值点
B．当时，函数图像与直线y＝m有三个公共点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】CD
【分析】证明函数为奇函数即可判断C，由导数判断函数的单调性，得到函数的大致图像，即可判断AB，然后根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】因为，时，
，所以为奇函数，则关于点对称，故选项C正确；
当时，，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，，又为奇函数，
画出的大致图像，

由图知选项A错误，选项B错误；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得
，或；
当时，直线是曲线的切线，故选项D正确．
故选：CD．
39．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有两个零点
C．恒成立D．恒成立
【答案】AD
【分析】求函数的导函数，设，利用导数研究的单调性，最值，判断C，再确定的极值判断A，利用证明由此判断BD.
【详解】函数的定义域为，
，
设，则，
当时，，函数，即在上单调递减，
当时，，函数，即在上单调递增，
又，所以C错误；
又，所以存在，使得，又，
所以当，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值，
所以函数有两个极值点，故A正确；
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，
所以当时，，当且仅当时取等号，
所以当时，，当且仅当时取等号，
所以函数只有一个零点，恒成立，B错误；D正确；
故选：AD．
40．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，或1
C．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为
D．若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用奇函数的定义即可判断选项A；解方程即可判断选项B；根据参数是否为零，分别讨论即可判断选项C；根据函数的奇偶性和已知条件列出不等式组即可判断选项D.
【详解】对于选项，由，可知函数为奇函数，故选项正确；
对于选项，由，解得或，故B选项正确；
对于选项，由，有，当时，函数仅有一个零点0，当时，必有，有，可得，故C选项错误；
对于选项D，由，可知满足题意只需
当时，，有，即，
所以，由，有，
则，可知当时，和恒成立，
，有.故D选项正确.
故选：ABD.
第三部分 能力提升模拟题
41．（2023·重庆巴南·统考一模）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．有最大值
B．
C．若时，恒成立，则
D．设为两个不相等的正数，且，则
【答案】ACD
【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B错误；
对于选项C：构建，则，
因为，且当时，恒成立，
则，解得，
若，则当时恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意
综上所述：符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
整理得，即，
由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，
不妨设，
构建，
因为在上恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上单调递减，且，
所以，即，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
42．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件，即得结果.对于选项B，由题意可推导出为偶函数，为奇函数，所以，即即可证明；对于选项C，由关于对称和关于对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结论和已知条件，由等差数列的前项和即得结果.
【详解】因为可得为偶函数，所以，则为奇函数，故A正确；
因为，偶函数，时偶函数，
所以为偶函数，所以关于对称，
因为，为奇函数，为奇函数，
所以为奇函数，关于对称，
，
则其中为常数，又故，有关于对称，B正确；
令等价于，，所以，
因为关于对称，所以，
所以令等价于，所以，所以，
故可看成数列，
而因为关于对称，所以，，
故是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，为公差的等差数列，
所以没有周期性，故C不正确；
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
43．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）定义在R上的函数，的导函数为，，是偶函数.已知，，则（ ）
A．是奇函数B．图象的对称轴是直线
C．D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用题中条件解出，利用奇函数得定义即可；
对于B,对题中得两个条件进行变化，可得到，从而判定出的对称轴；
对于C,对题中得两个条件进行变化，对进行赋值，即可；
对于D,证明的性质，从而得到结论.
【详解】,，
，又
为奇函数，故A正确.
是偶函数，，
则
又，则，
所以，则
则，，
故的图象关于对称，故B正确.
因为，所以，
令得，，
又，令，
得=，故C正确.
，，
又，是奇函数，
，是奇函数，
则，，
则，，
故，D错误.
故选：ABC.
44．（2023·河北·校联考三模）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】先利用三角函数线得到，进而得到，作差法得到，得到；再构造函数，与，，证明出.
【详解】设为锐角，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，
由三角函数定义可知，，
设扇形的面积为，则，即，故，
所以，

，
因为，所以，故，
综上：，A正确，B错误；
令，，则，
当时，，故在上单调递增，
所以，所以，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，故，
故，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有，，，，等.
45．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据零点的定义求函数的零点，由定义可得函数的零点的范围，结合函数解析式，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.
【详解】由题意，可得，，
易知，则，，
则在有解，
求导得：，令，解得，可得下表：
则当时，取得最大值为，
，
则的取值范围为，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，
所以的值可以是，，.
故选：BCD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
46．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】设切点坐标为，则有，所以问题转化为方程恰有两个解，令，然后利用导数求解其零点即可.
【详解】由，得，
设切点为，则切线的斜率为，
所以有，
整理可得：，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，
，
，
令，则，
所以在上单调递增，因为，
所以当时，；当时，，
①当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要或，即或；
②当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，，
所以只要或，由可得：，
由得；
③当时，，所以函数在上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当时，或；
当时，或，
所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，
故选：AB
【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程恰有两个解，构造函数，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.
47．（2023·山东泰安·统考模拟预测）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．的图象关于对称B．是的一个周期
C．D．
【答案】ACD
【分析】由函数的图象关于对称，可得，即可判断A；先求出最小正周期为，再推出由可判断B；令，求出可判断C；求出，可判断D.
【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得，
令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确.
对于B，令由，，
所以，，所以关于对称.
由，所以，
所以，，所以，关于对称.
令等价于，则，
又因为，所以
令等价于，
所以，
所以可得出最小正周期为.
，，所以不是的周期，所以B错误.
对于C，令，则，所以，所以C正确.
对于D，因为图象关于对称，所以，
因为，，因为最小正周期为，
所以，所以，
，
有，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性和周期性得到的性质，即可求解.
48．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）若是函数（为自然对数的底数）图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．最小值为1
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】先分段求导，利用导数的几何意义得出，通过构造新函数，利用导数的正负求得函数的单调性，再利用单调性求出最值即可.
【详解】当时，，当时，.
因为函数在点和点处的切线互相垂直，所以，
即.可得.
因为，可得.故A正确.
由，设，，
当时，，在上单调递增，所以在上无最小值.故B错误.
由，设，，
当时，，在上单调递减，所以在上有最小值.故C正确.
由，设，，
当时，，在上单调递增，
所以在上有最大值,故D正确.
故选:ACD
49．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知函数，，则（ ）
A．函数在上存在唯一极值点
B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A：利用导数推出在单调递增，可得A错误；对于B：利用导数研究函数的性质，得其图象，根据函数的图象与直线有两个交点，可得B正确；对于C：根据在单调递增，将不等式化为恒成立，右边构造函数求出最大值，可得C正确；对于D：根据以及指对同构得，将化为，再求导可求出最大值，可得D正确.
【详解】对于A：，令，则，
令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在单调递减，
故，故在单调递增，函数在上无极值点，故A错误；
对于B：，令，则，
当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，即，
又时，，作出函数的图象，如图：

若函数有两个零点，得 有两个实根，得函数的图象与直线有两个交点，
由图可知，，故B正确；
对于C：由B得：在上恒成立，则在单调递增，则不等式恒成立，等价于恒成立，故，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，则实数的最小值为，故C正确；
对于D：若，则，
即，
∵，∴，，，
由A知，在上单调递增，故，
所以，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，此时，
故的最大值是，故D正确；
故选：BCD
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，总有成立，故；
（2）若，总有成立，故；
（3）若，使得成立，故；
（4）若，使得，故.
50．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
【答案】AD
【分析】根据题意分析可得：原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，结合图象以及基本不等式逐项分析判断.
【详解】令，可得：
当时，即，可得；
当时，即，可得，；
当时，即，可得，.
原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，
对于选项A、C：如图所示，是方程的两个解，
根据韦达定理可得：，即可知选项A成立，选项C不成立；
对于选项B：因为，结合图象可得，即可知选项B不成立；
对于选项D：其中，
则有，当且仅当时，成立，
综上所述：的最小值为10，选项D成立.
故选：AD.

【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
51．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）若为函数的导函数，数列满足，则称为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，其中，则（ ）
A．
B．数列是单调递减数列
C．
D．关于的不等式的解有无限个
【答案】BCD
【分析】对函数求导，得出数列递推关系，构造等比数列，求出通项，根据数列的函数性质及不等式证明逐一判断各选项.
【详解】对于A，由得，所以，故A错误；
对于B，由得，，所以，数列是单调递减数列，故B正确；
对于C，，，由，得，
所以，所以，
令，则，
所以数列是公比为2的等比数列，又，，
所以，即，
所以，，即.
对于C，，
下面用数学归纳法证明：.
当时，，命题成立；
假设当时，命题成立，即；
当时，即，
，命题成立；
所以命题成立；
综上成立.
对于D，，因为，
所以，即，，所以不等式的解有无限个,故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由和，构造等比数列，考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于偏难题目.
52．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知是周期为4的奇函数，且当时，.设，则（ ）
A．函数是奇函数也是周期函数
B．函数的最大值为1
C．函数在区间上单调递减
D．函数的图象有对称中心也有对称轴
【答案】BCD
【分析】根据判断判断奇函数，判断周期性，求出在的解析式，根据图象平移写出在上解析式并判断奇偶性，进而可得解析式，结合周期性判断B、C，最后利用、判断D.
【详解】由，
令，则，故；
令，则，故；
所以，
综上，一个周期内，
由，
而，故不是奇函数，但周期为4，A错；
所以，是将图象右移一个单位，故在一个周期图象如下：

由图象平移知：，且为偶函数，
所以，故的最大值为1，B对；
由周期性知：在上单调性同区间，即单调递减，C对；
由，
由，
注意：根据周期性有、，
综上，关于中心对称、关于轴对称，D对.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用奇函数、周期性判断的奇偶性、周期性，再应用奇偶性求解析式，结合图象写出解析式，最后求出在一个周期内的解析式关键.
53．（2023·广东广州·统考模拟预测）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数在上为减函数，则
B．若函数的对称中心为，则
C．当时，若有三个根，且，则
D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则
【答案】ACD
【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到，B错误，求导得到函数的单调区间，确定，，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，，
函数在上为减函数，则，解得，正确；
对选项B：函数的对称中心为，则，，错误；
对选项C：，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
，，，故，，
要证，即，
整理得到，，不等式成立，正确；
对选项D：设切点为，则，，
则切线方程为，
将代入上式，整理得，方程有三个不同解，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
极小值，极大值，故，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键.
54．（2023·广东广州·统考三模）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（ ）．
A．，B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明为周期为的函数，利用组合求和法求判断C，根据条件证明，由此判断BD.
【详解】对A，又∵为奇函数，
则图像关于对称，且，
所以，A 正确；
对于C，∵，则，
则，又，
所以，
令，可得，即.
所以，又
所以，
所以，
∴的周期，所以，
由可得，
，，，
所以，，
∴，C正确；
对B，，则是周期的函数，，B错误；
对D，，，所以，
所以，D错误.
故选：AC.
【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.
55．（2023·广东茂名·统考二模）已知定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，，…，，给出以下结论，其中正确的是（ ）
A．B．函数为偶函数
C．函数在区间上单调递减D．
【答案】BCD
【分析】根据已知条件可得函数的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在的单调性，然后利用对称性即可判断C；判断的对称性，结合的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.
【详解】因为，所以，的图象关于对称，
因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，且
又，
所以
，即，
所以的周期为4，所以，故A错误；
由上可知，，
，故B正确；
因为，当时，都有，
即，所以在区间单调递增，
因为的图象关于点对称，所以在区间单调递增，
又的图象关于对称，所以在区间单调递减，C正确；
因为，所以的图象关于点对称，
所以与的交点关于点对称，不妨设
则，
所以，
所以，D正确.
故选：BCD
56．（2023·江苏·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，，则（ ）
A．的图象关于对称B．4是的一个周期
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令可得，即可得到的对称性，对于B，令，即可得到4为的一个周期，从而得到，对于C，令，对于D，结合前面的结论，求出函数值即可.
【详解】因为，即，
令，则，所以关于对称，
则的图象关于对称，故A正确；
因为，则，
令，则，则的图象于对称，
因为，所以，
即，则的图象关于对称.
所以，又，所以，
所以，所以，
所以4为的一个周期，即，
则，故B不正确；
对于C：因为，令可得，故C正确；
对于D：因为，则，，，
又，，，
所以，，
，，
，
，，，
，，，
，，，
，所以，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质.
57．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.
【详解】由可得函数关于中心对称，
且，又因为为偶函数，
所以，令等价于，所以
可知函数关于轴对称，再令替换，所以，
所以知，，
，所以，即是函数的周期，
由，令，则，故A正确；
因为，由已知条件无法求出，故C不正确；
由可得，所以B不正确；
由可得与关于中心对称，
所以是函数的周期，，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数，的对称性和周期性，利用函数的对称性和周期性进行转化求解时解决本题的关键.
58．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】BD
【分析】由题可得方程有两个不相等的实数根，，构造函数，利用导数研究函数的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得，则即，显然，
若方程有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，
即的图象与直线有两个交点，且横坐标分别为，，
又，所以由可得，由可得，
所以在，上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，
对A，要使函数存在两个极值点，，则，A错误；
对B，当时，的图象如图，易知，B正确；
对C，若，则，得，故，C错误；
对D，因为，所以，又，所以，，所以，故，所以，D正确．
故选：BD．
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
59．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知与有两个不同的交点，利用导数研究函数性质，结合图象确定的范围，判断A，要证明只需证明，结合函数单调性只需证明，故构建函数，利用导数证明结论，判断B，利用比差法比较，判断C，利用的范围，结合指数函数性质证明，判断D.
【详解】方程，可化为，
因为方程有两个不等的实根，
所以与有两个不同的交点，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
，
当时，，且，当时，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
故，
当时，，，
根据以上信息，可得函数的大致图象如下：
，且，故A正确．
因为，
构造，
，
在上单调递增，
，
，即，
由在单调递增
所以，故B正确．
对于C，由，，
所以，
又，所以，则，所以，故C错误．
对于D，由，可得，
所以，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
60．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由已知可得.构造函数，根据导函数得出函数的单调性，结合零点存在定理，可得出.根据基本不等式及其取等号的条件，即可得出A项；由已知可得，移项构造函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出不等关系，判断B、C、D.
【详解】由已知可得，.
设，则恒成立，
所以，当时，单调递增.
又，，
根据零点存在定理可得，，使得，
所以，由可得，.
对于A项，因为，
当且仅当，即时等号成立.
因为，，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以.
令，，则.
因为，所以，，所以，
所以，当时，恒成立.
又，所以，
即，即，故B项错误；
对于C项，因为，
所以.
设，，
则.
因为，所以，所以，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，所以，
所以，故C项正确；
对于D项，因为，
所以.
设，，
则
.
因为，，，所以，当且仅当时等号成立.
因为，所以，，.
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立.
因为，所以，
所以，，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，所以，
所以，，故D项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：移项构造函数，然后根据导函数得出函数的单调性以及最值，得出不等式恒成立，进而得出不等关系.
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
极大值