湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期第三次检测数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期第三次检测数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
先求解集合A，再求交集即可.
【详解】∵集合，，∴.
故选B．
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
2. 设命题，则命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据特称命题的否定写出命题的否定即可解决.
【详解】命题的否定是
故选：A
3. 已知函数y＝，则使函数值为5的x的值是（ ）
A. －2
B. 2或－
C. 2或－2
D. 2或－2或－
【答案】A
【解析】
【分析】分x≤0和x>0两种情况求解即可
【详解】当x≤0时，
x2＋1＝5，x＝－2.
当x>0时，－2x<0，不合题意.
故x＝－2.
故选：A
4. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊值验证，可排除ACD选项，进而可判断B正确.
【详解】A选项，与图象矛盾，故A错；
C选项，与图象矛盾，故C错；
D选项，与图象矛盾，故D错；
B选项，当时，显然单调递减，且，，能与题中图象符合；当时，，，，即，，能与题中图象符合；故B中解析式能符合题意；
故选：B.
5. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，
该扇形玉雕壁画面积
（）．
故选：D．
6. 某网红城市鹅城人口模型近似为，其中表示年的人口数量，则鹅城人口数量达到的年份大约是（ ）（参考数据：，，）
A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】C
【解析】
【分析】取，计算，计算得到答案.
【详解】，即，，
，，
故选：C.
7. 如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，得到坐标.
【详解】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
故对应坐标为，即.
故选：C
8. 已知实数，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件将两个等式化成同一结构形式，研究的单调性，得到，进而求得答案.
【详解】由可得.
由可得，即
令，
因为在均单调递增，所以在单调递增.
又，所以有，
所以
故选：D
二、多选题
9. 若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间，，，内，则与符号不同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二分法及函数零点的存在性定理，逐步分析可得.
【详解】由二分法的步骤可知，
①零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
②零点在内，则有，则，，取中点1；
③零点在内，则有，则，，取中点；
④零点在内，则有，则，，则取中点；
⑤零点在内，则有，则，，
所以与符号不同的是，，，
故选：ABD.
10. 下列判断正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数函数单调性知A正确，计算得到B正确，不成立，C错误，计算得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，故，，正确；
对选项C：要证，即，即，不成立；
对选项D：，错误；
故选：AB.
11. 下列说法错误的是（ ）
A. 函数的值域为，则，或
B. 若，则函数的最小值为
C. 是的充分不必要条件
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据值域得到，解得A正确，均值不等式等号成立条件不满足，B错误，根据函数单调性得到C正确，当时，不等式恒成立，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：函数的值域为，则，
解得或，正确；
对选项B：，
当且仅当，即时等号成立，等号成立条件不满足，错误；
对选项C：，即，
函数单调递增，故，即；
取，满足，，，不成立，正确；
对选项D：当时，不等式恒成立，错误；
故选：BD.
12. 设函数，其中，.若，，是的三条边长，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的零点均大于
B. 若为直角三角形，则对于，恒成立.
C. ，使，，不能构成一个三角形的三条边长
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，结合题意及函数零点的定义令，则，进而结合不等式的性质及三角形的性质可得，进而结合对数函数的性质即可判断；对于B，由题意可得，进而整理即可判断；对于C，令，，即可判断；对于D，由题意可得，，进而化简函数，进而结合指数函数性质即可判断.
【详解】对于A，若，则，
令，则，即，即，
在中有，，即，则，
又，则，所以，
则，则函数的零点均大于，故A正确；
对于B，若为直角三角形，结合，，
可得，所以，故B错误；
对于C，令，，，能构成一个三角形的三条边长，
但，，，不能构成一个三角形的三条边长，故C正确；
对于D，由题意，，且，，
所以，，
当时，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13. 已知，则的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】由对数的运算性质得，然后利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】由题得，，且，
所以，
，当且仅当时等号成立，又，
解得，
故答案为：.
14. 函数的定义域为_____.
【答案】
【解析】
【分析】函数定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：，
解得且.
故答案为：.
15. 若、是关于的方程的两个根，则____.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
16. 已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意，使得，即，在上有解，即可得到与在上有交点，结合与的单调性得到，解得即可.
【详解】由题意知：，使得，
即在上有解，
所以，在上有解，
即与上有交点，
因为，所以，则，
且在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以，解得，即的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17. 已知，
（1）求的值；
（2）求；
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知，化简整理可得，即可得解；
（2）化简，根据（1）的结果代入即可得解．
【详解】（1）由已知，
化简得，整理得故
（2）
．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，考查了知弦求切和知切求弦，主要利用了诱导公式，属于简单题.
18. 已知函数是上的偶函数，且当时，.
（1）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），增区间为，减区间为；
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，则，根据偶函数的性质即可求出；
（2）根据函数的奇偶性和单调性求解即可.
【小问1详解】
令，则，
则，
所以时，，
故；
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，
且的单调递增区间为，单调递减区间为，
则当时，得；
当时，得；
综上：实数的取值范围为.
19. 已知函数的定义域是.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若，都有，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二次函数的性质求解即可；
（2）由题意可得，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可.
【小问1详解】
当时，，对称轴为，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
因为，都有，则，
则，解得或，
所以的取值范围为.
20. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，求电动汽车在两段道路上分别以怎样的速度行驶时可以使总耗电量最少？（假设在两段路上分别匀速行驶）
【答案】（1），
（2）当高速路上速度为，国道上速度为时，总耗电最少，为
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③，再利用待定系数法即得；
（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得最小值，再由题可得国道上的耗电量，根据二次函数的性质即得.
【小问1详解】
因为函数是定义域上的减函数，又无意义，
所以函数和不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型，
由，解得，，
则，.
【小问2详解】
由题意，高速路上的耗电量为：
，，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，.
国道上的耗电量为：
，，
所以当时，.
综上所述，当高速路上速度为，国道上速度为时，总耗电最少，为.
21. 如图所示，已知、、（其中）是指数函数图像上的三点．
(1)当时，求的值；
(2)设的面积为，求关于的函数及其最大值.
【答案】（1）48；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值.
【详解】（1），
∴ 当时，；
(2)过作直线垂直于轴，分别过作垂直于直线，垂足分别为，
则
即关于的函数为：，
令，因为在上是增函数，∴
再令，则在上是减函数，∴；
而在区间上是增函数，
所以，函数在区间上是减函数，
故当时，．
【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
22. 已知函数的单调递减区间为，函数.
（1）求实数的值，并写出函数的单调递增区间（不用写出求解过程）；
（2）证明：方程在内有且仅有一个根；
（3）在条件（2）下，证明：.
（参考数据：，，.）
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据单调区间得到，确定函数定义域，根据复合函数单调性得到答案.
（2）确定，构造函数，确定函数单调递增，计算，得到证明.
（3）变换，构造函数，确定函数单调递增，计算最值得到证明.
【小问1详解】
函数的单调递减区间为，故，，
，，
函数定义域满足：，解得或，
在上单调递增，在上单调递增，
故函数的单调递增区间为；
【小问2详解】
，即，即，
设，函数在上单调递增，
，，故在上有唯一零点，
即方程在内有且仅有一个根；
【小问3详解】
，要证，即，，
函数在上单调递增，
故，即，得证.
0
10
30
70
0
1150
2250
8050