北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1.考生要认真填写考场号和座位序号.
2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.
3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】集合，根据集合交集的运算，可得.
故选：A.
2. 复数（ ）
A. iB. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据复数的运算得答案.
【详解】.
故选：D.
3. 函数的零点为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.
【详解】令，则，
即函数的零点为0，
故选：B
4. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.
【详解】,
.
故选：C.
5. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由题意知，或，
所以原不等式的解集为或.
故选：D
6. 在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（ ）
A. 相交B. 平行C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.
【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，
则a与b可能平行，也可能是异面直线，
故选：D
7. 在同一坐标系中，函数与的图象（ ）
A. 关于原点对称B. 关于轴对称
C. 关于轴对称D. 关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.
【详解】当时，与互为相反数，
即函数与图象关于轴对称.
故选：B.
8. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据充分性和必要定义判断求解.
【详解】当时，，
当时， ，
则“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
9. 故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.
【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，
其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，
则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为.
故选：A.
10. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.
【详解】当时，，当时，，
故由，得，
故选：A
11. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.
【详解】在中，，
由余弦定理得,
而A三角形内角，故，
故选：D
12. 下列函数中，存在最小值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.
【详解】单调递减值域为,无最小值，A选项错误；
在单调递减，在单调递增，当取得最小值，B选项正确；
单调递增，值域为，无最小值，C选项错误；
单调递增，值域为,无最小值，D选项错误.
故选:B.
13. 贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：
则这10年占比数据的中位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.
【详解】把这10年占比数据从小到大排列得，
中位数为.
故选：B
14. 若，则角可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据正切值求角即可.
【详解】,
，观察选项可得角可以为.
故选：C.
15. （ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故选：B.
16. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
17. 如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.
【详解】因为面
所以.
故选：D.
18. （ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.
【详解】，
故选：C
19. 已知，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先通过条件求出的范围，再消去求范围即可.
【详解】由得，
所以，得，
所以.
故选：C.
20. 某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ）
A. 最多有1651名学生B. 最多有1649名学生
C. 最少有618名学生D. 最少有617名学生
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.
【详解】,
，即研学人数最多的地点最少有617名学生，
，即研学人数最多的地点最多有名学生.
故选：D
第二部分（非选择题 共40分）
二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.
21. 已知幂函数的图象经过点(2,4)，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数所过的点可得，即可求.
【详解】由题设，，可得.
故答案为：
22. 已知，且，则________（填“>”或“<”）.
【答案】<
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质即可求解.
【详解】由题意知，，则，
所以，即.
故答案：<
23. 已知向量，其中.命题p：若，则，能说明p为假命题的一组和的坐标为________，________.
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】直接根据可得答案.
【详解】让即可，
如，此时
故答案为：（答案不唯一）.
24. 已知的，给出下列三个结论：
①的定义域为；
②；
③，使曲线与恰有两个交点.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①②
【解析】
【分析】①直接观察函数可得答案；②通过求出的最值即可；③将问题转化为与的交点个数即可.
【详解】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确；
对于②：，②正确；
对于③：令，变形得，
作出函数的图象如下图：
根据图象可得在上单调递增，
故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误.
故答案为：①②.
三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
25. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】25.
26. 最大值为2，最小值为-2
【解析】
【分析】（1）结合公式计算直接得出结果；
（2）由题意求得，根据余弦函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
由，
知函数的最小正周期为；
【小问2详解】
由，得，
令，则，
函数在上单调递减，所以，
所以，
即函数在上的最大值为2，最小值为-2.
26. 阅读下面题目及其解答过程.
以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”），
【答案】ABABA
【解析】
【分析】根据的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.
【详解】①由于的定义域为R，故A正确；
②由于，故B正确；
③根据函数单调性定义可知任取，故A正确；
④因为，所以，故，故B正确；
⑤因为，故，故，故A正确.
27. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明；
（2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明.
小问1详解】
因为平面，平面，所以，
又平面为菱形，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，
则，又平面，平面，
所以平面.
28. 已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.
①任意中有三个，一个3；
②存在，使中恰有三个数相等.
（1）判断数表是否由生成；（结论无需证明）
（2）是否存在数表由生成？说明理由；
（3）若存在数表由生成，写出所有可能的值.
【答案】（1）是 （2）不存在，理由见解析
（3）3，7，11.
【解析】
【分析】（1）根据数表满足的两个性质进行检验，即可得结论；
（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A，由性质①推出对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；
（3）判断出的所有可能的值为3，7，11，一方面说明取这些值时可以由生成数表A，另一方面，分类证明的取值只能为3，7，11，由此可得所有可能的值.
【小问1详解】
数表是由生成；
检验性质①：
当时，，共三个，一个3；
当时，，共三个，一个3；
当时，，共三个，一个3；
任意中有三个，一个3；
检验性质②：
当时，，恰有3个数相等.
【小问2详解】
不存在数表由生成,理由如下:
若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3，
则或-1，总有与的奇偶性相反，
类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；
因为中恰有2个奇数，2个偶数，
所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，
此时中至多有2个数相等，不满足性质②；
综上，不存在数表由生成；
【小问3详解】
的所有可能的值为3，7，11.
一方面，当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
另一方面，若存在数表A由生成，
首先证明：除以4余3；
证明：对任意的，令，
则，
分三种情况：（i）若，且，则；
（ii）若，且，则；
（iii）若，且，则；
均有与除以4的余数相同.
特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同.
注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.
其次证明：；
证明：只需证明；
由上述证明知若可以生成数表A，则必存在，
使得；
若，则，，，
所以，对任意，均有，矛盾；
最后证明：；
证明：由上述证明可得若可以生成数表A，
则必存在，使得，
，，
，
欲使上述等号成立，对任意的，，
则，，
经检验，不符合题意；
综上，所有可能的取值为3，7，11.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定所有可能的取值，解答时要根据数表A满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
占比
39.2
40.3
38.9
38.6
39.6
40.6
42.4
41.4
42.2
45.4
已知函数.
（1）证明：是偶函数；
（2）证明：在区间上单调递增.
解：（1）的定义域为①________.
因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数.
（2）③________，且，
因为，
所以④________0，⑤________0，.
所以，即.
所以在区间上单调递增.
空格序号
选项
①
A. B.
②
A. B.
③
A.任取 B.存在
④
A. B.
⑤
A. B.