还剩22页未读，
继续阅读
湖北省襄阳市襄州区2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷 含解析
展开
这是一份湖北省襄阳市襄州区2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷 含解析，共25页。试卷主要包含了若点A，如图，在Rt△ABC中，已知等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．剪纸是我国传统的民间艺术下列剪纸作品不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
3．若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m，n的值是（ ）
A．5，7 B．5，﹣7 C．﹣5，7 D．﹣5，﹣7
4．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
6．如图，在Rt△ABC中（AB＞2BC），∠C＝90°，以BC为边作等腰△BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
8．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．15
9．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
10．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
二．填空题（共6小题）
11．如图所示，∠1的度数为 ．
12．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 ．
13．把两根钢条AD，BC的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB＝8厘米，则槽宽为 厘米．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为 ．
15．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为 ．
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动，在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时间t可能的值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．已知点A（a，b）和点B（c，d）（d≠0）关于y轴对称，求3a+3c的值．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB＝105°，求∠C+∠D的度数．
19．如图，在探究三角形的内角和的小组活动中，小颖作如下辅助线：延长△ABC的边BC到D，作CE∥AB，于是小颖得出三角形内角和的证明方法．
（1）求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）如果CE平分∠ACD，AC＝5，求BC的长．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB＝10cm，CD＝4cm，求△ABD的面积．
21．如图，已知BC是△ABD的角平分线，BC＝DC，∠A＝∠E＝30°，∠D＝50°．
（1）写出AB＝DE的理由；
（2）求∠BCE的度数．
22．操作探究：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线l对称
（1）画出△A'B′C'，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；
（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ °，∠C＝ °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
25．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．剪纸是我国传统的民间艺术下列剪纸作品不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
2．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：C．
3．若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m，n的值是（ ）
A．5，7 B．5，﹣7 C．﹣5，7 D．﹣5，﹣7
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，
∴m＝5，n＝7，
故选：A．
4．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
【分析】先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得5﹣2＜x＜5+2，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：
5﹣2＜x＜5+2，
3＜x＜7，
∴5cm符合题意，
故选：C．
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH＝DE＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH＝DE＝3，
∴△BCE的面积＝×BC×EH＝9，
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中（AB＞2BC），∠C＝90°，以BC为边作等腰△BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰三角形的性质结合找线段相等的画法，画出图形，利用数形结合即可得出结论．
【解答】解：①以点B为圆心，BC长度为半径作圆，交AB于点D1；
②以点C为圆心，BC长度为半径作圆，分别交AB、BC于点D2、D3；
③作BC的垂直平分线，交AB于点D4．
∵AB＞2BC，
∴点D1、D2、D4均不重合．
故选：C．
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1＝∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠ACB+∠DEF＝90°．
故选：C．
8．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．15
【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝2，可求得其周长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB＝5，BD＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝2，
∴△ADE的周长为6，
故选：B．
9．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【解答】解：由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝40海里．
故选：B．
10．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】根据等腰三角形的判定逐一进行判断即可．
【解答】解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2，
故不能判定△ABC是等腰三角形．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．如图所示，∠1的度数为 120° ．
【分析】先根据邻补角性质得出∠4的度数，再利用∠1＝∠2+∠4可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠3＝140°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝40°，
又∠1＝∠2+∠4，且∠2＝80°，
∴∠1＝120°，
故答案为：120°．
12．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 等边三角形 ．
【分析】根据已知条件得出OA＝OC＝AC，根据等边三角形的判定得出即可．
【解答】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，
∴OA＝OC，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴AC＝AO，
∴OC＝AC＝OA，
∴△AOC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
13．把两根钢条AD，BC的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB＝8厘米，则槽宽为 8 厘米．
【分析】连接AB，CD，根据O为AD和CB的中点，且∠COD＝∠AOB即可判定△COD≌△OAB，即可求得CD的长度．
【解答】解：连接AB，CD，
O为AD和CB的中点，
∴OC＝OB，OA＝OD，
∵∠COD＝∠AOB
∴△OCD≌△OAB，
即CD＝AB，
故CD＝AB＝8cm，
故答案为8．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为 10cm ．
【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到AG＝EG，EF＝CF，再根据△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC，即可得出结论．
【解答】解：∵EG∥AB，
∴∠BAE＝∠AEG，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠AEG，
∴AG＝EG，
同理可得，EF＝CF，
∴△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC＝10cm，
故答案为：10cm．
15．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为 2 ．
【分析】作PF⊥OB于F，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠DPO，得到PD＝OD，根据直角三角形的性质求出PF，根据角平分线的性质定理得到答案．
【解答】解：作PF⊥OB于F，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝75°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO＝∠AOC＝75°，
∴∠BOC＝∠DPO＝75°，
∴PD＝OD＝4，∠PDO＝30°，
∴PF＝PD＝2，
∵OC平分∠AOB，PF⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PF＝2，
故答案为：2．
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动，在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时间t可能的值为 4或 ．
【分析】没有指明等腰三角形的底边，所以需要分类讨论：AP＝AC，AP＝PC，AC＝PC．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴由勾股定理，得BC＝＝6cm．
①当AP＝AC时，2t＝8，则t＝4；
②当AP＝PC时，过点P作PD⊥AC于点D，则AD＝CD，PD∥BC，
∴PD是△ABC的中位线，
∴点P是AB的中点，
∴2t＝5，即t＝；
③若AC＝PC＝8cm时，与PC＜AC矛盾，不符合题意．
综上所述，t的值是4或．
故答案为：4或．
三．解答题（共9小题）
17．已知点A（a，b）和点B（c，d）（d≠0）关于y轴对称，求3a+3c的值．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+c＝0，b＝d，再代入即可．
【解答】解：∵点 A与点B关于y 轴对称，所以a+c＝0，b＝d，
∴3a+3c＝3（a+c）+2×＝0+2＝2．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB＝105°，求∠C+∠D的度数．
【分析】先根据角平分线得：∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA，之后运用三角形内角和定理和四边形内角和定理进行变形可得结论．
【解答】解：∵∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，
∴∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA，
在△EAB中，∠EAB+∠EBA＝180°﹣∠AEB＝180°﹣105°＝75°，
∴∠DAB+∠CBA＝2（∠EAB+∠EBA）＝150°，
∴∠C+∠D＝360°﹣（∠DAB+∠CBA）＝360°﹣150°＝210°．
19．如图，在探究三角形的内角和的小组活动中，小颖作如下辅助线：延长△ABC的边BC到D，作CE∥AB，于是小颖得出三角形内角和的证明方法．
（1）求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）如果CE平分∠ACD，AC＝5，求BC的长．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠1，两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠2，再根据平角的定义列式整理即可得证．
（2）根据CE平分∠ACD，即可得出∠1＝∠2，再根据平行线的性质，即可得到∠A＝∠B，即可得到AC＝BC．
【解答】解：（1）如图，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∵BA∥CE，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），
又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2，
又∵CE∥AB，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC＝5．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB＝10cm，CD＝4cm，求△ABD的面积．
【分析】（1）根据三角形角平分线的定义，即可得到AD；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝4，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝4，
∴S△ABD＝AB×DE＝×10×4＝20cm2．
21．如图，已知BC是△ABD的角平分线，BC＝DC，∠A＝∠E＝30°，∠D＝50°．
（1）写出AB＝DE的理由；
（2）求∠BCE的度数．
【分析】（1）先判断出∠CBD＝∠CBA，∠CBD＝∠D＝50°，进而得出∠CBD＝∠CBA，判断出△CDE≌△CBA即可得出结论；
（2）先求出∠ACB＝100°，在求出∠ACE＝80°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BC是△ABD的角平分线，
∴∠CBD＝∠CBA，
∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠D＝50°，
∴∠CBD＝∠CBA，
在△CDE和△CBA中，，
∴△CDE≌△CBA，
∴DE＝AB；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠D＝50°，
∴∠BCD＝80°，
∴∠ACB＝100°
由（1）知，△CDE≌△CBA，
∴∠DCE＝∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACE＝80°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝20°．
22．操作探究：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线l对称
（1）画出△A'B′C'，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；
（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可解决问题；
（2）探究规律利用规律（对应点的横坐标不变，纵坐标的和为2）即可解决问题；
【解答】解：（1）△A'B′C'如图所示．A′（﹣3，﹣3），B′（﹣5，0），C′（﹣1，﹣1）；
（2）点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标（a，2﹣b）．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AE＝CE，求出∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DC+AC＝13，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝40°，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°，
∴∠BAD＝90°﹣80°＝10°；
（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，
∵BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE＝DC，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝2DC+AC＝2×4+5＝13．．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ 36 °，∠C＝ 72 °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
25．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．剪纸是我国传统的民间艺术下列剪纸作品不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
3．若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m，n的值是（ ）
A．5，7 B．5，﹣7 C．﹣5，7 D．﹣5，﹣7
4．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
6．如图，在Rt△ABC中（AB＞2BC），∠C＝90°，以BC为边作等腰△BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
8．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．15
9．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
10．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
二．填空题（共6小题）
11．如图所示，∠1的度数为 ．
12．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 ．
13．把两根钢条AD，BC的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB＝8厘米，则槽宽为 厘米．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为 ．
15．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为 ．
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动，在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时间t可能的值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．已知点A（a，b）和点B（c，d）（d≠0）关于y轴对称，求3a+3c的值．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB＝105°，求∠C+∠D的度数．
19．如图，在探究三角形的内角和的小组活动中，小颖作如下辅助线：延长△ABC的边BC到D，作CE∥AB，于是小颖得出三角形内角和的证明方法．
（1）求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）如果CE平分∠ACD，AC＝5，求BC的长．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB＝10cm，CD＝4cm，求△ABD的面积．
21．如图，已知BC是△ABD的角平分线，BC＝DC，∠A＝∠E＝30°，∠D＝50°．
（1）写出AB＝DE的理由；
（2）求∠BCE的度数．
22．操作探究：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线l对称
（1）画出△A'B′C'，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；
（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ °，∠C＝ °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
25．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．剪纸是我国传统的民间艺术下列剪纸作品不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
2．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：C．
3．若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m，n的值是（ ）
A．5，7 B．5，﹣7 C．﹣5，7 D．﹣5，﹣7
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，
∴m＝5，n＝7，
故选：A．
4．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
【分析】先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得5﹣2＜x＜5+2，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：
5﹣2＜x＜5+2，
3＜x＜7，
∴5cm符合题意，
故选：C．
5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH＝DE＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH＝DE＝3，
∴△BCE的面积＝×BC×EH＝9，
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中（AB＞2BC），∠C＝90°，以BC为边作等腰△BCD，使点D落在△ABC的边上，则点D的位置有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰三角形的性质结合找线段相等的画法，画出图形，利用数形结合即可得出结论．
【解答】解：①以点B为圆心，BC长度为半径作圆，交AB于点D1；
②以点C为圆心，BC长度为半径作圆，分别交AB、BC于点D2、D3；
③作BC的垂直平分线，交AB于点D4．
∵AB＞2BC，
∴点D1、D2、D4均不重合．
故选：C．
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1＝∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠ACB+∠DEF＝90°．
故选：C．
8．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．15
【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝2，可求得其周长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB＝5，BD＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝2，
∴△ADE的周长为6，
故选：B．
9．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【解答】解：由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝40海里．
故选：B．
10．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】根据等腰三角形的判定逐一进行判断即可．
【解答】解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2，
故不能判定△ABC是等腰三角形．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．如图所示，∠1的度数为 120° ．
【分析】先根据邻补角性质得出∠4的度数，再利用∠1＝∠2+∠4可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠3＝140°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝40°，
又∠1＝∠2+∠4，且∠2＝80°，
∴∠1＝120°，
故答案为：120°．
12．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 等边三角形 ．
【分析】根据已知条件得出OA＝OC＝AC，根据等边三角形的判定得出即可．
【解答】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，
∴OA＝OC，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴AC＝AO，
∴OC＝AC＝OA，
∴△AOC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
13．把两根钢条AD，BC的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB＝8厘米，则槽宽为 8 厘米．
【分析】连接AB，CD，根据O为AD和CB的中点，且∠COD＝∠AOB即可判定△COD≌△OAB，即可求得CD的长度．
【解答】解：连接AB，CD，
O为AD和CB的中点，
∴OC＝OB，OA＝OD，
∵∠COD＝∠AOB
∴△OCD≌△OAB，
即CD＝AB，
故CD＝AB＝8cm，
故答案为8．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为 10cm ．
【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到AG＝EG，EF＝CF，再根据△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC，即可得出结论．
【解答】解：∵EG∥AB，
∴∠BAE＝∠AEG，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠AEG，
∴AG＝EG，
同理可得，EF＝CF，
∴△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC＝10cm，
故答案为：10cm．
15．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为 2 ．
【分析】作PF⊥OB于F，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠DPO，得到PD＝OD，根据直角三角形的性质求出PF，根据角平分线的性质定理得到答案．
【解答】解：作PF⊥OB于F，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝75°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO＝∠AOC＝75°，
∴∠BOC＝∠DPO＝75°，
∴PD＝OD＝4，∠PDO＝30°，
∴PF＝PD＝2，
∵OC平分∠AOB，PF⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PF＝2，
故答案为：2．
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动，在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时间t可能的值为 4或 ．
【分析】没有指明等腰三角形的底边，所以需要分类讨论：AP＝AC，AP＝PC，AC＝PC．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴由勾股定理，得BC＝＝6cm．
①当AP＝AC时，2t＝8，则t＝4；
②当AP＝PC时，过点P作PD⊥AC于点D，则AD＝CD，PD∥BC，
∴PD是△ABC的中位线，
∴点P是AB的中点，
∴2t＝5，即t＝；
③若AC＝PC＝8cm时，与PC＜AC矛盾，不符合题意．
综上所述，t的值是4或．
故答案为：4或．
三．解答题（共9小题）
17．已知点A（a，b）和点B（c，d）（d≠0）关于y轴对称，求3a+3c的值．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+c＝0，b＝d，再代入即可．
【解答】解：∵点 A与点B关于y 轴对称，所以a+c＝0，b＝d，
∴3a+3c＝3（a+c）+2×＝0+2＝2．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB＝105°，求∠C+∠D的度数．
【分析】先根据角平分线得：∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA，之后运用三角形内角和定理和四边形内角和定理进行变形可得结论．
【解答】解：∵∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，
∴∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA，
在△EAB中，∠EAB+∠EBA＝180°﹣∠AEB＝180°﹣105°＝75°，
∴∠DAB+∠CBA＝2（∠EAB+∠EBA）＝150°，
∴∠C+∠D＝360°﹣（∠DAB+∠CBA）＝360°﹣150°＝210°．
19．如图，在探究三角形的内角和的小组活动中，小颖作如下辅助线：延长△ABC的边BC到D，作CE∥AB，于是小颖得出三角形内角和的证明方法．
（1）求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）如果CE平分∠ACD，AC＝5，求BC的长．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠1，两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠2，再根据平角的定义列式整理即可得证．
（2）根据CE平分∠ACD，即可得出∠1＝∠2，再根据平行线的性质，即可得到∠A＝∠B，即可得到AC＝BC．
【解答】解：（1）如图，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∵BA∥CE，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），
又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2，
又∵CE∥AB，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC＝5．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB＝10cm，CD＝4cm，求△ABD的面积．
【分析】（1）根据三角形角平分线的定义，即可得到AD；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝4，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝4，
∴S△ABD＝AB×DE＝×10×4＝20cm2．
21．如图，已知BC是△ABD的角平分线，BC＝DC，∠A＝∠E＝30°，∠D＝50°．
（1）写出AB＝DE的理由；
（2）求∠BCE的度数．
【分析】（1）先判断出∠CBD＝∠CBA，∠CBD＝∠D＝50°，进而得出∠CBD＝∠CBA，判断出△CDE≌△CBA即可得出结论；
（2）先求出∠ACB＝100°，在求出∠ACE＝80°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BC是△ABD的角平分线，
∴∠CBD＝∠CBA，
∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠D＝50°，
∴∠CBD＝∠CBA，
在△CDE和△CBA中，，
∴△CDE≌△CBA，
∴DE＝AB；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠D＝50°，
∴∠BCD＝80°，
∴∠ACB＝100°
由（1）知，△CDE≌△CBA，
∴∠DCE＝∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACE＝80°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝20°．
22．操作探究：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线l对称
（1）画出△A'B′C'，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；
（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可解决问题；
（2）探究规律利用规律（对应点的横坐标不变，纵坐标的和为2）即可解决问题；
【解答】解：（1）△A'B′C'如图所示．A′（﹣3，﹣3），B′（﹣5，0），C′（﹣1，﹣1）；
（2）点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标（a，2﹣b）．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AE＝CE，求出∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DC+AC＝13，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝40°，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°，
∴∠BAD＝90°﹣80°＝10°；
（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，
∵BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE＝DC，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝2DC+AC＝2×4+5＝13．．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝ 36 °，∠C＝ 72 °．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
25．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
相关试卷
2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）： 这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（下）开学数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区九年级（下）开学数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
