甘肃省酒泉市金塔县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省酒泉市金塔县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
2．若mn＝ab，则下列比例式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15
4．柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直且相等
6．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．173（1+x%）2＝127B．173（1﹣2x%）＝127
C．173（1﹣x%）2＝127D．127（1+x%）2＝173
7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1B．2C．0或2D．0
8．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则满足条件的四边形是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形
9．已知，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
10．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A．2B．3C．4D．3
二、填空题：（每小题3分，共计24分）
11．一元二次方程x2＝3x的解是： ．
12．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是 ．
13．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和2个白球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色不放回再随机摸出一个球，则小明两次摸到一红一白两个小球的概率是 ．
14．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB＝100°，则∠OAB＝ ．
15．已知三个数：1，2，，请你添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 （只填一个）．
16．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x﹣3）#5＝0的解为 ．
17．菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为 ，面积为 ．
18．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使得BC的对应边BC′与AD相交于点E，若BC＝5cm，DC＝3cm，则AE＝ ．
三、解答下列各题（请书写必要的解题步骤）
19．（20分）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）3x2+8x﹣3＝0；
（3）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（4）（x+5）（x+1）＝12．
20．已知方程3x2﹣9x+m＝0的一个根是1，求另一根和m的值？
21．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．
22．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由．
23．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD：OA＝OE：OB．
24．永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
26．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由．
参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
2．解：A、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；
B、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；
C、由＝得，mb＝an，故本选项正确；
D、由＝得，mn＝ab，故本选项错误．
故选：C．
3．解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：C．
4．解：P（配成一双鞋）＝．
故选：D．
5．解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：C．
6．解：当商品第一次降价x%时，其售价为173﹣173x%＝173（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为173（1﹣x%）﹣173（1﹣x%）x%＝173（1﹣x%）2．
∴173（1﹣x%）2＝127．
故选：C．
7．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，
∴，
解m﹣2≠0得m≠2；
解m2﹣2m＝0得m＝0或2．
∴m＝0．
故选：D．
8．解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是矩形．
∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．
∴∠FEH＝90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．
∴AC⊥BD，即对角线互相垂直的四边形其中点四边形是矩形，
因为对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以满足条件的四边形是菱形，
故选：B．
9．解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k．
所以＝＝，
故选：B．
10．解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝AD＝CD，
∴∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠EAC＝30°，
∴AE＝，
同理：AF＝，
∵AE＝AF，∠CAF＝30°
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF＝，
∴△AEF的周长为3．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共计24分）
11．解：（1）x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
12．解：Δ＝（﹣4）2﹣4×4c＝0，
c＝1，
故答案为：1．
13．解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小明两次摸到一红一白两个小球的结果有4种，
∴小明两次摸到一红一白两个小球的概率为＝，
故答案为：．
14．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝100°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣100°）＝40°
故答案为：40°．
15．解：根据比例式的概念，可得：
1×÷2＝；
2×÷1＝2
或1×2÷＝等．
答案不唯一．
16．解：方程（x﹣3）#5＝0，变形得：（x﹣3）2﹣52＝0，即（x﹣3）2＝25，
开方得：x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，
解得：x1＝8，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝8，x2＝﹣2．
17．解∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，
∵菱形的面积＝对角线乘积的一半，
∴菱形的面积＝6×8÷2＝24．
故答案为：5，24．
18．解：由折叠的性质可知，∠EBD＝∠CBD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝5﹣AE，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
即32+AE2＝（5﹣AE）2，
解得：AE＝，
故答案为：cm．
三、解答下列各题（请书写必要的解题步骤）
19．解：（1）x2﹣6x﹣18＝0，
x2﹣6x＝18，
x2﹣6x+9＝27，即（x﹣3）2＝27，
∴x﹣3＝±3，
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3；
（2）3x2+8x﹣3＝0，
（3x﹣1）（x+3）＝0，
∴3x﹣1＝0或x+3＝0，
∴x1＝，x2＝﹣3；
（3）7x（5x+2）＝6（5x+2），
7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
（5x+2）（7x﹣6）＝0，
∴5x+2＝0或7x﹣6＝0，
∴x1＝﹣，x2＝；
（4）（x+5）（x+1）＝12，
x2+6x﹣7＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+7＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣7，x2＝1．
20．解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1+t＝3，1×t＝，
解得t＝2，m＝6，
所以另一根为2，m的值为6．
21．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）．
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1＝∠3（等量代换）．
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
22．解：不公平．
画树状图得：
∵共有24种等可能的结果，所得的积是偶数的有18种情况，是奇数的有6种情况，
∴P（甲获胜）＝＝，P（乙获胜）＝＝，
∴不公平．
23．证明：∵DF∥AC，EF∥BC，
∴△ODF∽△OAC，△OEF∽△OBC，
∴，，
∴OD：OA＝OE：OB．
24．解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
故x＝10为所求．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
25．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAC+∠CAE＝∠BAD+∠MAE，
∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE＝180°，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：答案不唯一，如：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
故当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
26．解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于8cm2，根据题意得：
×2t（6﹣t）＝8，
解得：t＝2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）由题意得，
×2t（6﹣t）＝10，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，
此方程无解，
所以△PBQ的面积不能等于10cm2．