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【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）05第五章 三角函数-讲义
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1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角,和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，csα＝x，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq \f (y,r)，csα＝eq \f (x,r)，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
4．常用结论
（1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
（2）象限角
（3）轴线角
5．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f (sinα,csα)＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f (π,2)＋kπ，k∈Z)).
6．三角函数的诱导公式
7．常用结论
（1）同角三角函数的基本关系的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f (π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
8．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ.
cs(α∓β)＝csαcsβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝eq \f (tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
9．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcsα.
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝eq \f (2tanα,1－tan2α).
10．辅助角公式
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq \f (b,\r(a2＋b2))，csφ＝eq \f (a,\r(a2＋b2)).
11．两角和与差的正切公式的变形
(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
12．倍角公式的变形
(1)降幂公式：sinαcsα＝eq \f (1,2)sin2α；sin2α＝eq \f (1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f (1＋cs2α,2).
(2)升幂公式：1±sin2α＝(sinα±csα)2；1＋cs2α＝2cs2α；1－cs2α＝2sin2α.
13．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，－1))，(2π，0)．
余弦函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，0))，(2π，1)．
14．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z)
考点一 象限角与终边相同的角
【例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f (π,3)，k∈Z))
B．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f (2π,3)，k∈Z))
C．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (2π,3)，k∈Z))
D．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (π,3)，k∈Z))
【答案】D
【解析】因为直线y＝－eq \r(3)x的倾斜角是eq \f (2π,3)，tanα＝－eq \r(3)，
所以终边落在直线y＝－eq \r(3)x上的角的取值集合为{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f (π,3)，k∈Z))或{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f (2π,3)，k∈Z))，
即{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (π,3)，k∈Z)).故选D．
归纳点拨
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq \f (α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq \f (α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f (α,k)的终边所在的位置．
对点训练
1．集合{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,4)≤α≤kπ＋\f (π,2)，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【答案】C
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f (π,4)≤α≤2nπ＋eq \f (π,2)，此时α表示角的终边的范围与eq \f (π,4)≤α≤eq \f (π,2)表示角的终边的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f (π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f (π,2)，此时α表示角的终边的范围与π＋eq \f (π,4)≤α≤π＋eq \f (π,2)表示角的终边的范围一样，故选C．
2．若角α是第二象限角，则eq \f (α,2)是第________象限角．
【答案】一或三
【解析】∵α是第二象限角，∴eq \f (π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq \f (π,4)＋kπ考点二 弧度制及其应用
【例2】 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝eq \f (π,3)，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f (π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【解析】 (1)因为α＝eq \f (π,3)，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝eq \f (π,3)×10＝eq \f (10π,3)(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝eq \f (1,2)lR＝eq \f (1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝eq \f (2π,3) cm，
所以S弓形＝eq \f (1,2)×eq \f (2π,3)×2－eq \f (1,2)×22×sineq \f (π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－\r(3)))cm2.
归纳点拨
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
对点训练
1．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．3 D．eq \r(3)
【答案】D
【解析】如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq \f (2π,3)，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq \f (π,3)，∴AM＝eq \f (\r(3),2)r，AB＝eq \r(3)r，∴l＝eq \r(3)r，由弧长公式得α＝eq \f (l,r)＝eq \f (\r(3)r,r)＝eq \r(3).
2．已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为__________cm2.
【答案】4
【解析】设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则2r＋l＝8(0考点三 三角函数的定义
【例3】(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且csα＝－eq \f (4,5)，则m的值为( )
A．－eq \f (1,2)B．－eq \f (\r(3),2)
C．eq \f (1,2) D．eq \f (\r(3),2)
(2)已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq \f (\r(2)m,4)，则csα＝__________，tanα＝__________.
【答案】(1)C (2)－eq \f (\r(6),4) －eq \f (\r(15),3)或eq \f (\r(15),3)
【解析】(1)由题意得点P(－8m，－3)，r＝eq \r(64m2＋9)，
所以csα＝eq \f (－8m,\r(64m2＋9))＝－eq \f (4,5)，所以m>0，解得m＝eq \f (1,2).
(2)设P(x，y)．由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m，
所以r2＝OP2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq \r(3＋m2)，
所以sinα＝eq \f (m,r)＝eq \f (\r(2)m,4)＝eq \f (m,2\r(2))，所以r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，csα＝eq \f (－\r(3),2\r(2))＝－eq \f (\r(6),4)，tanα＝－eq \f (\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，csα＝eq \f (－\r(3),2\r(2))＝－eq \f (\r(6),4)，tanα＝eq \f (\r(15),3).
归纳点拨
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
对点训练
1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq \f (1,csα)等于( )
A．－eq \f (1,5) B．eq \f (37,15) C．eq \f (37,20) D．eq \f (13,15)
【答案】D
【解析】因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sinα＝－eq \f (4,5)，csα＝eq \f (3,5)，所以sinα＋eq \f (1,csα)＝－eq \f (4,5)＋eq \f (5,3)＝eq \f (13,15).故选D．
考点四 三角函数值符号的判定
【例4】(1)设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f (θ,2)))＝－cseq \f (θ,2)，则eq \f (θ,2)是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
(2)sin2·cs3·tan4的值( )
A．小于0B．大于0
C．等于0D．不存在
【答案】(1)B (2)A
【解析】(1)由θ是第三象限角知，eq \f (θ,2)为第二或第四象限角，因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f (θ,2)))＝－cseq \f (θ,2)，所以cseq \f (θ,2)<0，综上可知，eq \f (θ,2)为第二象限角．
(2)因为eq \f (π,2)<2<3<π<40，cs3<0，tan4>0，所以sin2·cs3·tan4<0.
归纳点拨
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
对点训练
1．(2022·江苏无锡期末)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】∵点P(sinα，tanα)在第四象限，∴sinα>0，tanα<0，∴角α的终边在第二象限，故选B．
考点五 同角三角函数“知一求二”问题
【例5】(1)已知α∈(0，π)，csα＝－eq \f (3,5)，则tanα＝( )
A．eq \f (3,4)B．－eq \f (3,4)
C．eq \f (4,3)D．－eq \f (4,3)
(2)已知α是三角形的内角，且tanα＝－eq \f (1,3)，则sinα＋csα的值为__________．
【答案】(1)D (2)－eq \f (\r(10),5)
【解析】(1)因为csα＝－eq \f (3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f (4,5)，所以tanα＝eq \f (sinα,csα)＝－eq \f (4,3).故选D．
(2)由tanα＝－eq \f (1,3)，得sinα＝－eq \f (1,3)csα，将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f (10,9)cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f (9,10)，易知csα<0，所以csα＝－eq \f (3\r(10),10)，sinα＝eq \f (\r(10),10)，故sinα＋csα＝－eq \f (\r(10),5).
归纳点拨
利用同角基本关系“知一求二”的方法
对点训练
1． (多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋csθ＝eq \f (1,5)，则下列结论正确的是( )
A．sinθ＝eq \f (4,5)B．csθ＝－eq \f (3,5)
C．tanθ＝－eq \f (3,4)D．sinθ－csθ＝eq \f (7,5)
【答案】ABD
【解析】由题意知sinθ＋csθ＝eq \f (1,5)，∴(sinθ＋csθ)2＝1＋2sinθcsθ＝eq \f (1,25)，∴2sinθcsθ＝－eq \f (24,25)<0，又∵θ∈(0，π)，∴eq \f (π,2)<θ<π，∴sinθ－csθ>0，∴sinθ－csθ＝eq \r(1－2sinθcsθ)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (24,25))))＝eq \r(\f (49,25))＝eq \f (7,5)，∴sinθ＝eq \f (4,5)，csθ＝－eq \f (3,5).∴tanθ＝－eq \f (4,3)，故A、B、D正确．
考点六 同角三角函数“弦切互化”问题
【例6】 (1)已知P(－1,3)为角α终边上的一点，则eq \f (sinα－2csα,3sinα＋csα)＝__________.
(2)(2022·吉林长春高三一模)已知sinα＝3csα，则sin2α－2cs2α＝__________.
【答案】(1)eq \f (5,8) (2)eq \f (7,10)
【解析】(1)因为P(－1,3)为角α终边上的一点，所以tanα＝－3，故eq \f (sinα－2csα,3sinα＋csα)＝eq \f (tanα－2,3tanα＋1)＝eq \f (－3－2,3×－3＋1)＝eq \f (5,8).
(2)因为sinα＝3csα，所以tanα＝eq \f (sinα,csα)＝3，所以sin2α－2cs2α＝eq \f (sin2α－2cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (tan2α－2,tan2α＋1)＝eq \f (32－2,32＋1)＝eq \f (7,10).
归纳点拨
利用“弦切互化”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以csα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求解．
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cs2α替换，再将分子与分母同除以cs2α，化为只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解.
对点训练
1．已知eq \f (sinα＋3csα,3csα－sinα)＝5，则eq \f (2,sinαcsα)的值为________．
【答案】5
【解析】由eq \f (sinα＋3csα,3csα－sinα)＝5，得eq \f (tanα＋3,3－tanα)＝5，所以tanα＝2，所以eq \f (2,sinαcsα)＝eq \f (2sin2α＋cs2α,sinαcsα)＝eq \f (2tan2α＋1,tanα)＝eq \f (2×22＋1,2)＝5.
考点八 同角三角函数“和积转换”问题
【例8】(1)已知sinαcsα＝eq \f (1,8)，且eq \f (5π,4)<αA．－eq \f (\r(3),2) B．eq \f (\r(3),2) C．－eq \f (3,4) D．eq \f (3,4)
(2)已知sinθ＋csθ＝eq \f (4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f (π,4)))，则sinθ－csθ的值为( )
A．eq \f (\r(2),3)B．－eq \f (\r(2),3)
C．eq \f (1,3)D．－eq \f (1,3)
【答案】(1)B (2)B
【解析】(1)(csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝1－2×eq \f (1,8)＝eq \f (3,4).∵eq \f (5π,4)<αsinα，∴csα－sinα＝eq \f (\r(3),2).故选B．
(2)∵sinθ＋csθ＝eq \f (4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f (π,4)))，
∴1＋2sinθcsθ＝eq \f (16,9)，2sinθcsθ＝eq \f (7,9).
∴sinθ－csθ＝－eq \r(sinθ－csθ2)
＝－eq \r(1－2sinθcsθ)＝－eq \f (\r(2),3).故选B．
归纳点拨
“和积转换”解决求值问题
(1)由同角的三角函数关系可知：(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，(sinα＋csα)2＋(sinα－csα)2＝2，(sinα－csα)2＝(sinα＋csα)2－4sinαcsα，因此已知sinα＋csα，sinα－csα，sinαcsα三个式子中的任何一个，即可求出另外两个式子的值，这体现了“和积转换”．
(2)求sinα＋csα，sinα－csα的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断．
考点九 诱导公式
【例9】sin570°的值是( )
A．－eq \f (1,2) B．eq \f (1,2) C．eq \f (\r(3),2) D．－eq \f (\r(3),2)
【答案】A
【解析】sin570°＝sin(720°－150°)＝－sin150°＝－eq \f (1,2).
归纳点拨
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
对点训练
1．化简eq \f (csπ＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (11π,2)－α)),csπ－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (9π,2)＋α)))的结果是( )
A．－1B．1
C．tanαD．－tanα
【答案】C
【解析】由诱导公式，得原式＝eq \f (－csα·－sinα·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)－α)),－csα·sinα·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋α)))＝eq \f (－sin2α·csα,－sinα·cs2α)＝tanα，故选C．
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＝eq \f (4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (13π,6)))的值是( )
A．eq \f (4,5)B．－eq \f (4,5)
C．eq \f (3,5)D．－eq \f (3,5)
【答案】B
【解析】sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (13,6)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋α－\f (π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)＋α＋\f (π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＝－eq \f (4,5)，故选B．
3．若3sinα－sinβ＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f (π,2)，则sinα＝__________，cs2β＝__________.
【答案】eq \f (3\r(10),10) eq \f (4,5)
【解析】由α＋β＝eq \f (π,2)，得β＝eq \f (π,2)－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－α))＝3sinα－csα＝eq \r(10).①
又sin2α＋cs2α＝1，②
联立①②解得sinα＝eq \f (3\r(10),10)；cs2β＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－α))))
＝cs(π－2α)＝－cs2α＝2sin2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3\r(10),10)))2－1＝eq \f (4,5).
考点十 同角三角关系和诱导公式的综合应用
【例10】(1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－θ))的值是__________．
(2)若点P(csθ，sinθ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝__________.
【答案】(1)0 (2)eq \f (5π,12)(满足θ＝kπ＋eq \f (5π,12)，k∈Z即可)
【解析】(1)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)＋θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝－a，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝a，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－θ))＝0.
(2)∵P(csθ，sinθ)与Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))))关于y轴对称，即θ，θ＋eq \f (π,6)关于y轴对称，∴θ＋eq \f (π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋eq \f (5π,12)，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f (5π,12).
归纳点拨
(1)利用同角三角函数关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的范围对三角函数值符号的影响．
(2)用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有eq \f (π,3)－α与eq \f (π,6)＋α，eq \f (π,3)＋α与eq \f (π,6)－α，eq \f (π,4)＋α与eq \f (π,4)－α等，常见的互补关系有eq \f (π,6)－θ与eq \f (5π,6)＋θ，eq \f (π,3)＋θ与eq \f (2π,3)－θ，eq \f (π,4)＋θ与eq \f (3π,4)－θ等．
对点训练
1．已知α为锐角，且eq \f (sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))，则角α＝( )
A．eq \f (π,12) B．eq \f (π,6) C．eq \f (π,4) D．eq \f (π,3)
【答案】C
【解析】由条件得eq \f (sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))))＝eq \f (sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))))，又因为α为锐角，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))))，所以有α－eq \f (π,3)＝eq \f (π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))，解得α＝eq \f (π,4)，故选C．
2．已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,4)))＝eq \f (3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f (π,4)))＝________.
【答案】－eq \f (4,3)
【解析】由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,4)))＝eq \f (3,5)，知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)－θ))＝eq \f (3,5).因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，eq \f (π,4)－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)－θ))＝eq \f (3,5)，所以eq \f (π,4)－θ为第一象限角．所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)－θ))＝eq \f (4,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f (π,4)))＝－eq \f (4,3).
考点十一 和、差、倍角公式的直接应用
【例11】1．计算sin133°cs197°＋cs47°cs73°的结果为( )
A．eq \f (1,2)B．－eq \f (1,2)
C．eq \f (\r(2),2) D．eq \f (\r(3),2)
【答案】B
【解析】sin133°cs197°＋cs47°cs73°＝－sin47°cs17°＋cs47°cs73°＝－sin47°sin73°＋cs47°cs73°＝cs(47°＋73°)＝cs120°＝－eq \f (1,2)，故选B．
归纳点拨
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
对点训练
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝eq \f (4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (π,2)))，则csα＝( )
A．eq \f (\r(2),10) B．eq \f (3\r(2),10) C．eq \f (\r(2),2) D．eq \f (7\r(2),10)
【答案】A
【解析】由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (π,2)))，得α＋eq \f (π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，\f (3π,4)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4))))＝－eq \f (3,5)，csα＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))－\f (π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))cseq \f (π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))sineq \f (π,4)＝－eq \f (3,5)×eq \f (\r(2),2)＋eq \f (4,5)×eq \f (\r(2),2)＝eq \f (\r(2),10)，故选A．
2．已知sinα＝eq \f (3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f (1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f (2,11) B．eq \f (2,11) C．eq \f (11,2) D．－eq \f (11,2)
【答案】A
【解析】∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，sinα＝eq \f (3,5)，∴csα＝－eq \f (4,5)，tanα＝－eq \f (3,4)，又tan(π－β)＝eq \f (1,2)，∴tanβ＝－eq \f (1,2)，∴tan(α－β)＝eq \f (tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ)＝eq \f (－\f (3,4)＋\f (1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,2))))
＝－eq \f (2,11).故选A．
3．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，tan2α＝eq \f (csα,2－sinα)，则tanα＝( )
A．eq \f (\r(15),15) B．eq \f (\r(5),5) C．eq \f (\r(5),3) D．eq \f (\r(15),3)
【答案】A
【解析】∵tan2α＝eq \f (csα,2－sinα)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，∴eq \f (sin2α,cs2α)＝eq \f (csα,2－sinα)，
∴2sin2α＝csαcs2α＋sinαsin2α，即4sinαcsα＝cs(2α－α)＝csα，又csα≠0.∴4sinα＝1，
∴sinα＝eq \f (1,4)，∴csα＝eq \f (\r(15),4)，∴tanα＝eq \f (\r(15),15).故选A．
考点十二 和、差、倍角公式的逆用及变形应用
【例12】(1)(2022·江苏无锡联考)设a＝eq \f (\r(3),2)cs29°－eq \f (1,2)sin29°，b＝eq \r(\f (1－cs66°,2))，c＝eq \f (2tan16°,1＋tan216°)，则有( )
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>a>bD．c>b>a
(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则csC＝__________.
【答案】(1)B (2)eq \f (\r(2),2)
【解析】(1)a＝eq \f (\r(3),2)cs29°－eq \f (1,2)sin29°＝sin(60°－29°)＝sin31°，b＝eq \r(\f (1－cs66°,2))＝eq \r(\f (2sin233°,2))＝sin33°，c＝eq \f (2tan16°,1＋tan216°)＝eq \f (\f (2sin16°,cs16°),1＋\f (sin216°,cs216°))＝2sin16°cs16°＝sin32°，显然sin31°(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq \f (tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq \f (3π,4)，则C＝eq \f (π,4)，csC＝eq \f (\r(2),2).
归纳点拨
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
对点训练
1．已知sinα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＋eq \f (1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))的值为( )
A．eq \f (1,3)B．－eq \f (1,3)
C．eq \f (2\r(3),3)D．－eq \f (2\r(3),3)
【答案】B
【解析】由sinα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＋eq \f (1,3)，得sinα＝sinαcseq \f (π,3)＋csαsineq \f (π,3)＋eq \f (1,3)＝eq \f (1,2)sinα＋eq \f (\r(3),2)csα＋eq \f (1,3)，则eq \f (\r(3),2)csα－eq \f (1,2)sinα＝－eq \f (1,3)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝－eq \f (1,3).
考点十三 辅助角公式的运用
【例13】 化简：(1)sineq \f (π,12)－eq \r(3)cseq \f (π,12)；
(2)cs15°＋sin15°；
(3)eq \f (1,sin10°)－eq \f (\r(3),sin80°)；
(4)3eq \r(15)sinx＋3eq \r(5)csx.
【解析】 (1)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)sin\f (π,12)－\f (\r(3),2)cs\f (π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f (π,12)cs\f (π,3)－cs\f (π,12)sin\f (π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,12)－\f (π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)))＝－2sineq \f (π,4)＝－eq \r(2).
(2)cs15°＋sin15°＝eq \r(2)(cs45°cs15°＋sin45°sin15°)＝eq \r(2)cs(45°－15°)＝eq \r(2)×eq \f (\r(3),2)＝eq \f (\r(6),2).
(3)原式＝eq \f (cs10°－\r(3)sin10°,sin10°cs10°)＝eq \f (2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)cs10°－\f (\r(3),2)sin10°)),sin10°cs10°)
＝eq \f (4sin30°cs10°－cs30°sin10°,2sin10°cs10°)
＝eq \f (4sin30°－10°,sin20°)＝4.
(4)3eq \r(15)sinx＋3eq \r(5)csx＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),2)sinx＋\f (1,2)csx))＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinxcs\f (π,6)＋csxsin\f (π,6)))＝6eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6))).
归纳点拨
对asinx＋bcsx化简时，注意辅助角φ的值的确定和函数名的对应．
对点训练
1．若eq \r(3)sinx＋csx＝eq \f (2,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (7π,6)))＝__________.
【答案】±eq \f (\r(2),4)
【解析】由eq \r(3)sinx＋csx＝eq \f (2,3)，得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝eq \f (2,3)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝eq \f (1,3)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝±eq \f (2\r(2),3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝±eq \f (\r(2),4)，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (7π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝±eq \f (\r(2),4).
考点十四 角的变换
【例14】 (1)已知锐角α，β满足csα＝eq \f (2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f (3,5)，则sinβ的值为( )
A．eq \f (2\r(5),5) B．eq \f (\r(5),5) C．eq \f (2\r(5),25) D．eq \f (\r(5),25)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－α))＝eq \f (\r(3),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－2α))的值为________．
[思路引导] (1)用α、α－β表示β→求α、α－β的三角函数值→代入公式求解．
(2)用eq \f (π,6)－α表示eq \f (5π,6)－2α→利用二倍角公式求值．
【答案】(1)A (2)－eq \f (1,3)
【解析】(1)∵α是锐角，β是锐角，csα＝eq \f (2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f (3,5)，∴sinα＝eq \f (\r(5),5)，cs(α－β)＝eq \f (4,5)，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝eq \f (\r(5),5)×eq \f (4,5)－eq \f (2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,5)))＝eq \f (2\r(5),5).故选A．
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－2α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－2α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－α))))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),3)))2－1＝－eq \f (1,3).
归纳点拨
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
对点训练
1．已知tan(α＋β)＝1，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝eq \f (1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f (π,3)))的值为( )
A．eq \f (2,3) B．eq \f (1,2) C．eq \f (3,4) D．eq \f (4,5)
【答案】B
【解析】taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f (π,3)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))))＝
eq \f (tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))))＝eq \f (1－\f (1,3),1＋1×\f (1,3))＝eq \f (1,2).故选B．
2．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝eq \f (1,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)＋2α))＝( )
A．－eq \f (7,8)B．－eq \f (1,4)
C．eq \f (1,4) D．eq \f (7,8)
【答案】A
【解析】cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)＋2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－2α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－2α))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))))＝－eq \f (7,8).故选A．
考点十五 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例15】(1) (多选)下列四个函数中，以π为周期且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增的偶函数为( )
A．y＝cs|2x|B．y＝|tanx|
C．y＝sin|x|D．y＝lg|sinx|
(2)函数f (x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (π,3)＋φ))＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝__________，f (x)图象的对称中心为__________．
【答案】(1)BD (2)eq \f (5π,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)＋\f (kπ,2)，0))，k∈Z
【解析】(1)若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，则2x∈(0，π)，显然函数y＝cs|2x|在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递减，故A不符合题目要求；将函数y＝tanx在x轴下方的图象“翻折”到x轴的上方(x轴上方的图象保持不变)，即可得到函数y＝f (x)＝|tanx|的图象，显然函数y＝f (x)＝|tanx|的周期为π，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增，又f (－x)＝|tan(－x)|＝|tanx|＝f (x)，所以y＝f (x)＝|tanx|为偶函数，所以B符合题目要求；先作出y＝sinx在[0，＋∞)上的图象，再作出其关于y轴的对称图象，即可得到函数y＝sin|x|的图象，通过图象(图略)可知函数y＝sin|x|不是周期函数，所以C不符合题目要求；将函数y＝sinx在x轴下方的图象“翻折”到x轴的上方(x轴上方的图象保持不变)，即可得到函数y＝|sinx|的图象，易知函数y＝|sinx|是周期为π的偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增，所以函数y＝g(x)＝lg|sinx|(x≠kπ，k∈Z)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增，且g(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|＝g(x)，g(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|＝g(x)，所以D符合题目要求．故选BD．
(2)∵f (x)为偶函数，
∴－eq \f (π,3)＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ，k∈Z，得φ＝eq \f (5π,6)＋kπ，k∈Z.
又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f (5π,6).
∴f (x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f (π,2)))＝3cs2x.
由2x＝eq \f (π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f (π,4)＋eq \f (kπ,2)，k∈Z，
∴f (x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)＋\f (kπ,2)，0))，k∈Z.
归纳点拨
(1)三角函数周期的一般求法
①公式法．
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期．
(2)对于可化为f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或f (x)＝Acs(ωx＋φ))形式的函数，如果求f (x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或令ωx＋φ＝\f (π,2)＋kπk∈Z))，求x即可．
(3)对于可化为f (x) ＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x即可．
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)．
对点训练
1．已知函数f (x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)为奇函数，且存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，使得f (x0)＝2，则φ的一个可能取值为( )
A．eq \f (5π,6) B．eq \f (π,3) C．－eq \f (π,6) D．－eq \f (2π,3)
【答案】C
【解析】∵f (x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f (π,6)))为奇函数，∴φ＋eq \f (π,6)＝kπ(k∈Z)，可得φ＝kπ－eq \f (π,6)(k∈Z)，故排除B、D选项．对于A，当φ＝eq \f (5π,6)时，f (x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (2π,3)))，f (x)<0，不符合题意．对于C，当φ＝－eq \f (π,6)时，f (x)＝2sin2x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)))＝2sineq \f (π,2)＝2，满足题意．故选C．
2． (多选)已知函数f (x)＝sinxcsx＋eq \f (\r(3),2)(1－2sin2x)，则有关函数f (x)的说法正确的是( )
A．f (x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，0))对称
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)的图象关于直线x＝eq \f (π,6)对称
D．f (x)的最大值为eq \r(3)
【答案】AB
【解析】由题可知f (x)＝eq \f (1,2)sin2x＋eq \f (\r(3),2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f (π,3))).当x＝eq \f (π,3)时，2x＋eq \f (π,3)＝π，故函数f (x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，0))对称，故A正确；函数f (x)的最小正周期T＝eq \f (2π,2)＝π，故B正确；当x＝eq \f (π,6)时，2x＋eq \f (π,3)＝eq \f (2π,3)，所以函数f (x)的图象不关于直线x＝eq \f (π,6)对称，故C错误；函数f (x)的最大值为1，故D错误．
考点十六 求三角函数的单调区间
【例16】 (1)已知函数f (x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，－\f (π,6)))上单调递减
B．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (π,12)))上单调递增
C．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))上单调递减
D．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (7π,12)))上单调递增
(2)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－\f (1,2)x))，x∈[－2π，2π]的单调递减区间是__________．
【答案】(1)C (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,3)，\f (5π,3)))
【解析】(1)由二倍角公式可知f (x)＝cs2x－sin2x＝cs2x.对于A选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，－\f (π,6)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f (π,3)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，－\f (π,6)))上单调递增，所以不正确；对于B选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (π,12)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，\f (π,6)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (π,12)))上不单调，所以不正确；对于C选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (2π,3)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))上单调递减，所以正确；对于D选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (7π,12)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，\f (7π,6)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (7π,12)))上不单调，所以不正确．故选C．
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－\f (1,2)x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)x－\f (π,3))).由－eq \f (π,2)＋2kπ≤eq \f (1,2)x－eq \f (π,3)≤eq \f (π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f (π,3)＋4kπ≤x≤eq \f (5π,3)＋4kπ(k∈Z)．故在[－2π，2π]上的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,3)，\f (5π,3))).
归纳点拨
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
对点训练
1．设函数f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－2x))，则f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上的单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,6))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，\f (π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,6)，\f (π,2)))
【答案】D
【解析】由已知f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (π,3)))，2kπ≤2x－eq \f (π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，kπ＋eq \f (π,6)≤x≤kπ＋eq \f (2π,3)，k∈Z，又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，∴单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,6)，\f (π,2))).
2．已知f (x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,3)))－1(ω>0)，若f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,6)，\f (π,4)))上单调递增，则ω的取值范围为__________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (2,3)))
【解析】因为f (x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,3)))－1＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f (2π,3)))，f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,6)，\f (π,4)))上单调递增，所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ω×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,6)))＋\f (2π,3)≥0，,2ω×\f (π,4)＋\f (2π,3)≤π，,ω>0，))解得0<ω≤eq \f (2,3).
一、选择题
1．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f (k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f (k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么( )
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
【答案】B
【解析】由于M中，x＝eq \f (k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq \f (k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
2．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,2)，y))，则sinα·tanα等于( )
A．－eq \f (\r(3),3)B．±eq \f (\r(3),3)
C．－eq \f (3,2)D．±eq \f (3,2)
【答案】C
【解析】由|OP|2＝eq \f (1,4)＋y2＝1，得y2＝eq \f (3,4)，y＝±eq \f (\r(3),2).当y＝eq \f (\r(3),2)时，sinα＝eq \f (\r(3),2)，tanα＝－eq \r(3)，此时sinα·tanα＝－eq \f (3,2).当y＝－eq \f (\r(3),2)时，sinα＝－eq \f (\r(3),2)，tanα＝eq \r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq \f (3,2).综上sinα·tanα＝－eq \f (3,2).
3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )
A．1B．4
C．1或4D．2或4
【答案】C
【解析】设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则l＋2r＝6，S＝eq \f (1,2)lr＝2，解得r＝2，l＝2或r＝1，l＝4，故α＝eq \f (l,r)＝1或4，故选C．
4．已知角α与角β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若角α的终边与角β的终边关于x轴对称，则下列式子一定成立的是( )
A．sinα＝sinβB．sinα＝csβ
C．csα＝csβD．csα＝sinβ
【答案】C
【解析】由角α的终边与角β的终边关于x轴对称，知α＋β＝2kπ，k∈Z，故csα＝csβ，sinα＝－sinβ，故选C．
5．已知角α的终边过点P(sin1180°，cs1180°)，则cs(3α＋60°)＝( )
A．eq \f (\r(3),2) B．eq \f (1,2)
C．1D．0
【答案】A
【解析】设O为坐标原点，由题意知|OP|＝eq \r(sin21180°＋cs21180°)＝1，
∴sinα＝eq \f (cs1180°,|OP|)＝cs(100°＋3×360°)＝cs100°＝－sin10°＝sin(－10°)，
csα＝eq \f (sin1180°,|OP|)＝sin(100°＋3×360°)＝sin100°＝cs10°＝cs(－10°)，
∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cs(3α＋60°)＝cs(－30°＋3k·360°＋60°)＝cs30°＝eq \f (\r(3),2).故选A．
6．(2022·山东济南外国语学校模拟)下列结论中错误的是( )
A．若0<αB．若α是第二象限角，则eq \f (α,2)为第一象限或第三象限角
C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝eq \f (4,5)
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
【答案】C
【解析】若0<α7．已知角α的终边经过点P(－5，－12)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)＋α))＝( )
A．－eq \f (5,13)B．－eq \f (12,13)
C．eq \f (5,13) D．eq \f (12,13)
【答案】C
【解析】由三角函数的定义可得csα＝eq \f (－5,\r(－52＋－122))＝－eq \f (5,13)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)＋α))＝－csα＝eq \f (5,13).
8．已知tanα＝－eq \f (1,2)，eq \f (π,2)<α<π，则sinα＝( )
A．eq \f (2\r(5),5)B．－eq \f (\r(5),5)
C．－eq \f (2\r(5),5) D．eq \f (\r(5),5)
【答案】D
【解析】由tanα＝eq \f (sinα,csα)＝－eq \f (1,2)，得csα＝－2sinα.又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝eq \f (1,5).因为eq \f (π,2)<α<π，所以sinα＝eq \f (\r(5),5).故选D．
9．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝eq \f (1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－α))＝( )
A．eq \f (1,3)B．－eq \f (1,3)
C．eq \f (2\r(2),2)D．－eq \f (\r(2),3)
【答案】B
【解析】由题意知，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝－eq \f (1,3).故选B．
10．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f (sinα,\r(1－sin2α))＋eq \f (\r(1－cs2α),csα)的值等于( )
A．2B．－2
C．1D．0
【答案】D
【解析】eq \f (sinα,\r(1－sin2α))＋eq \f (\r(1－cs2α),csα)＝eq \f (sinα,|csα|)＋eq \f (|sinα|,csα).因为α的终边在直线x＋y＝0上，所以α是第二或第四象限角，sinα与csα异号，所以原式＝0.故选D．
11．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－3，－4)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))的值为( )
A．－eq \f (24,7)B．－7
C．eq \f (24,7) D．eq \f (17,31)
【答案】B
【解析】因为角α的终边过点P(－3，－4)，所以tanα＝eq \f (4,3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝eq \f (tanα＋1,1－tanα)＝eq \f (\f (4,3)＋1,1－\f (4,3))＝－7，故选B．
12． eq \f (\r(1－sin270°),\r(3)－tan20°)＝( )
A．4 B．eq \f (\r(3),2) C．eq \f (2\r(3),3) D．eq \f (1,4)
【答案】D
【解析】eq \f (\r(1－sin270°),\r(3)－tan20°)＝eq \f (cs70°·cs20°,\r(3)cs20°－sin20°)＝eq \f (sin20°·cs20°,2sin60°－20°)＝eq \f (\f (1,2)sin40°,2sin40°)＝eq \f (1,4).故选D．
13．设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \f (4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,3)))的值为( )
A．eq \f (12,25) B．eq \f (24,25) C．－eq \f (24,25) D．－eq \f (12,25)
【答案】B
【解析】因为α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \f (4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6))))＝eq \f (3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝2×eq \f (3,5)×eq \f (4,5)＝eq \f (24,25)，故选B．
14．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝eq \f (3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))＝( )
A．－eq \f (24,25) B．eq \f (24,25) C．－eq \f (7,25) D．eq \f (7,25)
【答案】D
【解析】解法一：因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝eq \f (3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))
＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3,5)))2＝eq \f (7,25).
解法二：因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)＋θ))＝eq \f (3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)＋2θ))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3,5)))2－1＝－eq \f (7,25).因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)π＋2θ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\f (π,6)＋2θ))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))＝eq \f (7,25).
15．锐角α，β满足csα＝eq \f (12,13)，
cs(2α＋β)＝eq \f (3,5)，那么sin(α＋β)＝( )
A．eq \f (63,65) B．eq \f (53,65) C．eq \f (43,65) D．eq \f (33,65)
【答案】D
【解析】由于α，β均为锐角，cs(2α＋β)＝eq \f (3,5)，csα＝eq \f (12,13)，所以sinα＝eq \f (5,13)，sin(2α＋β)＝eq \f (4,5)，所以sin(α＋β)＝sin[(2α＋β)－α]＝sin(2α＋β)csα－cs(2α＋β)sinα＝eq \f (4,5)×eq \f (12,13)－eq \f (3,5)×eq \f (5,13)＝eq \f (33,65)，故选D．
16．若tanθ＝－2，则eq \f (sinθ1＋sin2θ,sinθ＋csθ)＝( )
A．－eq \f (6,5)B．－eq \f (2,5)
C．eq \f (2,5) D．eq \f (6,5)
【答案】C
【解析】eq \f (sinθ1＋sin2θ,sinθ＋csθ)＝eq \f (sinθsin2θ＋cs2θ＋2sinθ·csθ,sinθ＋csθ)
＝eq \f (sinθsinθ＋csθ2,sinθ＋csθ)＝sinθ(sinθ＋csθ)＝sin2θ＋sinθ·csθ
＝eq \f (sin2θ＋sinθ·csθ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f (tan2θ＋tanθ,tan2θ＋1)＝eq \f (－22－2,－22＋1)＝eq \f (2,5).故选C．
二、解答题
17．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq \f (3,csα)的值．
【解析】 设α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则r＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|.
当k>0时，r＝eq \r(10)k，所以sinα＝eq \f (－3k,\r(10)k)＝－eq \f (3,\r(10))，eq \f (1,csα)＝eq \f (\r(10)k,k)＝eq \r(10)，
所以10sinα＋eq \f (3,csα)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0；
当k<0时，r＝－eq \r(10)k，所以sinα＝eq \f (－3k,－\r(10)k)＝eq \f (3,\r(10))，eq \f (1,csα)＝eq \f (－\r(10)k,k)＝－eq \r(10)，
所以10sinα＋eq \f (3,csα)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
综上，10sinα＋eq \f (3,csα)＝0.
18．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB．
【解析】 (1)设圆心角是θ，半径是r，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝10，,\f (1,2)θ·r2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4，,θ＝\f (1,2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,θ＝8.))(舍去)．
∴扇形的圆心角为eq \f (1,2).
(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝2.))
∴圆心角α＝eq \f (l,r)＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 raD．
∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，
∴AB＝2sin1(cm)．
19． (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (7π,6)))＝eq \f (1,3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))的值；
(2)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，eq \r(3))，求eq \f (tan－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋α)),csπ－αsin－π－α)的值．
【解析】 (1)解法一：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (7π,6)))＝eq \f (1,3)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝－eq \f (1,3).
而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (2π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)＋\f (π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝－eq \f (1,3).
解法二：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))－2π))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (7π,6)＋α))＝－eq \f (1,3).
(2)∵角α的终边经过点P(－3，eq \r(3))，
∴r＝|OP|＝eq \r(－32＋\r(3)2)＝2eq \r(3)，
∴sinα＝eq \f (1,2)，csα＝－eq \f (\r(3),2)，tanα＝－eq \f (\r(3),3).
∴原式＝eq \f (－tanα＋csα,－csα·sinα)＝eq \f (1,cs2α)－eq \f (1,sinα)＝eq \f (1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (\r(3),2)))2)－eq \f (1,\f (1,2))＝－eq \f (2,3).
20．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，满足eq \r(6)sinα＋eq \r(2)csα＝eq \r(3).
(1)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,12)))的值．
【解析】 (1)由eq \r(6)sinα＋eq \r(2)csα＝eq \r(3)，
得2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),2)sinα＋\f (1,2)csα))＝eq \r(3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \f (\r(6),4).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))>0，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6))))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(6),4)))2)＝eq \f (\r(10),4).
(2)由(1)可得cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))
＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(6),4)))2＝eq \f (1,4)，sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝2×eq \f (\r(10),4)×eq \f (\r(6),4)＝eq \f (\r(15),4).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))－\f (π,4)))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))cseq \f (π,4)＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))sineq \f (π,4)＝eq \f (1,4)×eq \f (\r(2),2)＋eq \f (\r(15),4)×eq \f (\r(2),2)＝eq \f (\r(30)＋\r(2),8).
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f (l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f (π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f (1,2)lr＝eq \f (1,2)|α|r2
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f (π,2)－α
eq \f (π,2)＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
csα
csα
余弦
csα
－csα
csα
－csα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
函数
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠))))
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,2)，k∈Z))))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f (π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f (π,2)))(k∈Z)；
减区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f (π,2)，2kπ＋\f (3π,2)))
(k∈Z)
减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
增区间eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f (π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,2)))(k∈Z)
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,2)，0))
(k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (kπ,2)，0))(k∈Z)
对称轴
x＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)
x＝kπ
(k∈Z)
无
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角,和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，csα＝x，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq \f (y,r)，csα＝eq \f (x,r)，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
4．常用结论
（1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
（2）象限角
（3）轴线角
5．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f (sinα,csα)＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f (π,2)＋kπ，k∈Z)).
6．三角函数的诱导公式
7．常用结论
（1）同角三角函数的基本关系的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f (π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
8．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ.
cs(α∓β)＝csαcsβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝eq \f (tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
9．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcsα.
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝eq \f (2tanα,1－tan2α).
10．辅助角公式
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq \f (b,\r(a2＋b2))，csφ＝eq \f (a,\r(a2＋b2)).
11．两角和与差的正切公式的变形
(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
12．倍角公式的变形
(1)降幂公式：sinαcsα＝eq \f (1,2)sin2α；sin2α＝eq \f (1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f (1＋cs2α,2).
(2)升幂公式：1±sin2α＝(sinα±csα)2；1＋cs2α＝2cs2α；1－cs2α＝2sin2α.
13．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，－1))，(2π，0)．
余弦函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，0))，(2π，1)．
14．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z)
考点一 象限角与终边相同的角
【例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f (π,3)，k∈Z))
B．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f (2π,3)，k∈Z))
C．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (2π,3)，k∈Z))
D．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (π,3)，k∈Z))
【答案】D
【解析】因为直线y＝－eq \r(3)x的倾斜角是eq \f (2π,3)，tanα＝－eq \r(3)，
所以终边落在直线y＝－eq \r(3)x上的角的取值集合为{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f (π,3)，k∈Z))或{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f (2π,3)，k∈Z))，
即{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (π,3)，k∈Z)).故选D．
归纳点拨
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq \f (α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq \f (α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f (α,k)的终边所在的位置．
对点训练
1．集合{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,4)≤α≤kπ＋\f (π,2)，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【答案】C
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f (π,4)≤α≤2nπ＋eq \f (π,2)，此时α表示角的终边的范围与eq \f (π,4)≤α≤eq \f (π,2)表示角的终边的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f (π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f (π,2)，此时α表示角的终边的范围与π＋eq \f (π,4)≤α≤π＋eq \f (π,2)表示角的终边的范围一样，故选C．
2．若角α是第二象限角，则eq \f (α,2)是第________象限角．
【答案】一或三
【解析】∵α是第二象限角，∴eq \f (π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq \f (π,4)＋kπ
【例2】 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝eq \f (π,3)，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f (π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【解析】 (1)因为α＝eq \f (π,3)，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝eq \f (π,3)×10＝eq \f (10π,3)(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝eq \f (1,2)lR＝eq \f (1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝eq \f (2π,3) cm，
所以S弓形＝eq \f (1,2)×eq \f (2π,3)×2－eq \f (1,2)×22×sineq \f (π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－\r(3)))cm2.
归纳点拨
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
对点训练
1．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．3 D．eq \r(3)
【答案】D
【解析】如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq \f (2π,3)，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq \f (π,3)，∴AM＝eq \f (\r(3),2)r，AB＝eq \r(3)r，∴l＝eq \r(3)r，由弧长公式得α＝eq \f (l,r)＝eq \f (\r(3)r,r)＝eq \r(3).
2．已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为__________cm2.
【答案】4
【解析】设扇形半径为r cm，弧长为l cm，则2r＋l＝8(0
【例3】(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且csα＝－eq \f (4,5)，则m的值为( )
A．－eq \f (1,2)B．－eq \f (\r(3),2)
C．eq \f (1,2) D．eq \f (\r(3),2)
(2)已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq \f (\r(2)m,4)，则csα＝__________，tanα＝__________.
【答案】(1)C (2)－eq \f (\r(6),4) －eq \f (\r(15),3)或eq \f (\r(15),3)
【解析】(1)由题意得点P(－8m，－3)，r＝eq \r(64m2＋9)，
所以csα＝eq \f (－8m,\r(64m2＋9))＝－eq \f (4,5)，所以m>0，解得m＝eq \f (1,2).
(2)设P(x，y)．由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m，
所以r2＝OP2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq \r(3＋m2)，
所以sinα＝eq \f (m,r)＝eq \f (\r(2)m,4)＝eq \f (m,2\r(2))，所以r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，csα＝eq \f (－\r(3),2\r(2))＝－eq \f (\r(6),4)，tanα＝－eq \f (\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，csα＝eq \f (－\r(3),2\r(2))＝－eq \f (\r(6),4)，tanα＝eq \f (\r(15),3).
归纳点拨
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
对点训练
1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq \f (1,csα)等于( )
A．－eq \f (1,5) B．eq \f (37,15) C．eq \f (37,20) D．eq \f (13,15)
【答案】D
【解析】因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sinα＝－eq \f (4,5)，csα＝eq \f (3,5)，所以sinα＋eq \f (1,csα)＝－eq \f (4,5)＋eq \f (5,3)＝eq \f (13,15).故选D．
考点四 三角函数值符号的判定
【例4】(1)设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f (θ,2)))＝－cseq \f (θ,2)，则eq \f (θ,2)是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
(2)sin2·cs3·tan4的值( )
A．小于0B．大于0
C．等于0D．不存在
【答案】(1)B (2)A
【解析】(1)由θ是第三象限角知，eq \f (θ,2)为第二或第四象限角，因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f (θ,2)))＝－cseq \f (θ,2)，所以cseq \f (θ,2)<0，综上可知，eq \f (θ,2)为第二象限角．
(2)因为eq \f (π,2)<2<3<π<4
归纳点拨
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
对点训练
1．(2022·江苏无锡期末)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】∵点P(sinα，tanα)在第四象限，∴sinα>0，tanα<0，∴角α的终边在第二象限，故选B．
考点五 同角三角函数“知一求二”问题
【例5】(1)已知α∈(0，π)，csα＝－eq \f (3,5)，则tanα＝( )
A．eq \f (3,4)B．－eq \f (3,4)
C．eq \f (4,3)D．－eq \f (4,3)
(2)已知α是三角形的内角，且tanα＝－eq \f (1,3)，则sinα＋csα的值为__________．
【答案】(1)D (2)－eq \f (\r(10),5)
【解析】(1)因为csα＝－eq \f (3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f (4,5)，所以tanα＝eq \f (sinα,csα)＝－eq \f (4,3).故选D．
(2)由tanα＝－eq \f (1,3)，得sinα＝－eq \f (1,3)csα，将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f (10,9)cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f (9,10)，易知csα<0，所以csα＝－eq \f (3\r(10),10)，sinα＝eq \f (\r(10),10)，故sinα＋csα＝－eq \f (\r(10),5).
归纳点拨
利用同角基本关系“知一求二”的方法
对点训练
1． (多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋csθ＝eq \f (1,5)，则下列结论正确的是( )
A．sinθ＝eq \f (4,5)B．csθ＝－eq \f (3,5)
C．tanθ＝－eq \f (3,4)D．sinθ－csθ＝eq \f (7,5)
【答案】ABD
【解析】由题意知sinθ＋csθ＝eq \f (1,5)，∴(sinθ＋csθ)2＝1＋2sinθcsθ＝eq \f (1,25)，∴2sinθcsθ＝－eq \f (24,25)<0，又∵θ∈(0，π)，∴eq \f (π,2)<θ<π，∴sinθ－csθ>0，∴sinθ－csθ＝eq \r(1－2sinθcsθ)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (24,25))))＝eq \r(\f (49,25))＝eq \f (7,5)，∴sinθ＝eq \f (4,5)，csθ＝－eq \f (3,5).∴tanθ＝－eq \f (4,3)，故A、B、D正确．
考点六 同角三角函数“弦切互化”问题
【例6】 (1)已知P(－1,3)为角α终边上的一点，则eq \f (sinα－2csα,3sinα＋csα)＝__________.
(2)(2022·吉林长春高三一模)已知sinα＝3csα，则sin2α－2cs2α＝__________.
【答案】(1)eq \f (5,8) (2)eq \f (7,10)
【解析】(1)因为P(－1,3)为角α终边上的一点，所以tanα＝－3，故eq \f (sinα－2csα,3sinα＋csα)＝eq \f (tanα－2,3tanα＋1)＝eq \f (－3－2,3×－3＋1)＝eq \f (5,8).
(2)因为sinα＝3csα，所以tanα＝eq \f (sinα,csα)＝3，所以sin2α－2cs2α＝eq \f (sin2α－2cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (tan2α－2,tan2α＋1)＝eq \f (32－2,32＋1)＝eq \f (7,10).
归纳点拨
利用“弦切互化”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以csα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求解．
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cs2α替换，再将分子与分母同除以cs2α，化为只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解.
对点训练
1．已知eq \f (sinα＋3csα,3csα－sinα)＝5，则eq \f (2,sinαcsα)的值为________．
【答案】5
【解析】由eq \f (sinα＋3csα,3csα－sinα)＝5，得eq \f (tanα＋3,3－tanα)＝5，所以tanα＝2，所以eq \f (2,sinαcsα)＝eq \f (2sin2α＋cs2α,sinαcsα)＝eq \f (2tan2α＋1,tanα)＝eq \f (2×22＋1,2)＝5.
考点八 同角三角函数“和积转换”问题
【例8】(1)已知sinαcsα＝eq \f (1,8)，且eq \f (5π,4)<α
(2)已知sinθ＋csθ＝eq \f (4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f (π,4)))，则sinθ－csθ的值为( )
A．eq \f (\r(2),3)B．－eq \f (\r(2),3)
C．eq \f (1,3)D．－eq \f (1,3)
【答案】(1)B (2)B
【解析】(1)(csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝1－2×eq \f (1,8)＝eq \f (3,4).∵eq \f (5π,4)<α
(2)∵sinθ＋csθ＝eq \f (4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f (π,4)))，
∴1＋2sinθcsθ＝eq \f (16,9)，2sinθcsθ＝eq \f (7,9).
∴sinθ－csθ＝－eq \r(sinθ－csθ2)
＝－eq \r(1－2sinθcsθ)＝－eq \f (\r(2),3).故选B．
归纳点拨
“和积转换”解决求值问题
(1)由同角的三角函数关系可知：(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，(sinα＋csα)2＋(sinα－csα)2＝2，(sinα－csα)2＝(sinα＋csα)2－4sinαcsα，因此已知sinα＋csα，sinα－csα，sinαcsα三个式子中的任何一个，即可求出另外两个式子的值，这体现了“和积转换”．
(2)求sinα＋csα，sinα－csα的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断．
考点九 诱导公式
【例9】sin570°的值是( )
A．－eq \f (1,2) B．eq \f (1,2) C．eq \f (\r(3),2) D．－eq \f (\r(3),2)
【答案】A
【解析】sin570°＝sin(720°－150°)＝－sin150°＝－eq \f (1,2).
归纳点拨
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
对点训练
1．化简eq \f (csπ＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (11π,2)－α)),csπ－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (9π,2)＋α)))的结果是( )
A．－1B．1
C．tanαD．－tanα
【答案】C
【解析】由诱导公式，得原式＝eq \f (－csα·－sinα·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)－α)),－csα·sinα·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋α)))＝eq \f (－sin2α·csα,－sinα·cs2α)＝tanα，故选C．
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＝eq \f (4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (13π,6)))的值是( )
A．eq \f (4,5)B．－eq \f (4,5)
C．eq \f (3,5)D．－eq \f (3,5)
【答案】B
【解析】sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (13,6)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋α－\f (π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)＋α＋\f (π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＝－eq \f (4,5)，故选B．
3．若3sinα－sinβ＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f (π,2)，则sinα＝__________，cs2β＝__________.
【答案】eq \f (3\r(10),10) eq \f (4,5)
【解析】由α＋β＝eq \f (π,2)，得β＝eq \f (π,2)－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－α))＝3sinα－csα＝eq \r(10).①
又sin2α＋cs2α＝1，②
联立①②解得sinα＝eq \f (3\r(10),10)；cs2β＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－α))))
＝cs(π－2α)＝－cs2α＝2sin2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3\r(10),10)))2－1＝eq \f (4,5).
考点十 同角三角关系和诱导公式的综合应用
【例10】(1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－θ))的值是__________．
(2)若点P(csθ，sinθ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝__________.
【答案】(1)0 (2)eq \f (5π,12)(满足θ＝kπ＋eq \f (5π,12)，k∈Z即可)
【解析】(1)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)＋θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝－a，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝a，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－θ))＝0.
(2)∵P(csθ，sinθ)与Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,6)))))关于y轴对称，即θ，θ＋eq \f (π,6)关于y轴对称，∴θ＋eq \f (π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋eq \f (5π,12)，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f (5π,12).
归纳点拨
(1)利用同角三角函数关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的范围对三角函数值符号的影响．
(2)用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有eq \f (π,3)－α与eq \f (π,6)＋α，eq \f (π,3)＋α与eq \f (π,6)－α，eq \f (π,4)＋α与eq \f (π,4)－α等，常见的互补关系有eq \f (π,6)－θ与eq \f (5π,6)＋θ，eq \f (π,3)＋θ与eq \f (2π,3)－θ，eq \f (π,4)＋θ与eq \f (3π,4)－θ等．
对点训练
1．已知α为锐角，且eq \f (sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))，则角α＝( )
A．eq \f (π,12) B．eq \f (π,6) C．eq \f (π,4) D．eq \f (π,3)
【答案】C
【解析】由条件得eq \f (sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))))＝eq \f (sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3))))，又因为α为锐角，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))))，所以有α－eq \f (π,3)＝eq \f (π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))，解得α＝eq \f (π,4)，故选C．
2．已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,4)))＝eq \f (3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f (π,4)))＝________.
【答案】－eq \f (4,3)
【解析】由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f (π,4)))＝eq \f (3,5)，知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)－θ))＝eq \f (3,5).因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，eq \f (π,4)－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)－θ))＝eq \f (3,5)，所以eq \f (π,4)－θ为第一象限角．所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)－θ))＝eq \f (4,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f (π,4)))＝－eq \f (4,3).
考点十一 和、差、倍角公式的直接应用
【例11】1．计算sin133°cs197°＋cs47°cs73°的结果为( )
A．eq \f (1,2)B．－eq \f (1,2)
C．eq \f (\r(2),2) D．eq \f (\r(3),2)
【答案】B
【解析】sin133°cs197°＋cs47°cs73°＝－sin47°cs17°＋cs47°cs73°＝－sin47°sin73°＋cs47°cs73°＝cs(47°＋73°)＝cs120°＝－eq \f (1,2)，故选B．
归纳点拨
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
对点训练
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝eq \f (4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (π,2)))，则csα＝( )
A．eq \f (\r(2),10) B．eq \f (3\r(2),10) C．eq \f (\r(2),2) D．eq \f (7\r(2),10)
【答案】A
【解析】由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (π,2)))，得α＋eq \f (π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，\f (3π,4)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4))))＝－eq \f (3,5)，csα＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))－\f (π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))cseq \f (π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))sineq \f (π,4)＝－eq \f (3,5)×eq \f (\r(2),2)＋eq \f (4,5)×eq \f (\r(2),2)＝eq \f (\r(2),10)，故选A．
2．已知sinα＝eq \f (3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f (1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f (2,11) B．eq \f (2,11) C．eq \f (11,2) D．－eq \f (11,2)
【答案】A
【解析】∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，sinα＝eq \f (3,5)，∴csα＝－eq \f (4,5)，tanα＝－eq \f (3,4)，又tan(π－β)＝eq \f (1,2)，∴tanβ＝－eq \f (1,2)，∴tan(α－β)＝eq \f (tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ)＝eq \f (－\f (3,4)＋\f (1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,2))))
＝－eq \f (2,11).故选A．
3．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，tan2α＝eq \f (csα,2－sinα)，则tanα＝( )
A．eq \f (\r(15),15) B．eq \f (\r(5),5) C．eq \f (\r(5),3) D．eq \f (\r(15),3)
【答案】A
【解析】∵tan2α＝eq \f (csα,2－sinα)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，∴eq \f (sin2α,cs2α)＝eq \f (csα,2－sinα)，
∴2sin2α＝csαcs2α＋sinαsin2α，即4sinαcsα＝cs(2α－α)＝csα，又csα≠0.∴4sinα＝1，
∴sinα＝eq \f (1,4)，∴csα＝eq \f (\r(15),4)，∴tanα＝eq \f (\r(15),15).故选A．
考点十二 和、差、倍角公式的逆用及变形应用
【例12】(1)(2022·江苏无锡联考)设a＝eq \f (\r(3),2)cs29°－eq \f (1,2)sin29°，b＝eq \r(\f (1－cs66°,2))，c＝eq \f (2tan16°,1＋tan216°)，则有( )
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>a>bD．c>b>a
(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则csC＝__________.
【答案】(1)B (2)eq \f (\r(2),2)
【解析】(1)a＝eq \f (\r(3),2)cs29°－eq \f (1,2)sin29°＝sin(60°－29°)＝sin31°，b＝eq \r(\f (1－cs66°,2))＝eq \r(\f (2sin233°,2))＝sin33°，c＝eq \f (2tan16°,1＋tan216°)＝eq \f (\f (2sin16°,cs16°),1＋\f (sin216°,cs216°))＝2sin16°cs16°＝sin32°，显然sin31°
归纳点拨
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
对点训练
1．已知sinα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＋eq \f (1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))的值为( )
A．eq \f (1,3)B．－eq \f (1,3)
C．eq \f (2\r(3),3)D．－eq \f (2\r(3),3)
【答案】B
【解析】由sinα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,3)))＋eq \f (1,3)，得sinα＝sinαcseq \f (π,3)＋csαsineq \f (π,3)＋eq \f (1,3)＝eq \f (1,2)sinα＋eq \f (\r(3),2)csα＋eq \f (1,3)，则eq \f (\r(3),2)csα－eq \f (1,2)sinα＝－eq \f (1,3)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝－eq \f (1,3).
考点十三 辅助角公式的运用
【例13】 化简：(1)sineq \f (π,12)－eq \r(3)cseq \f (π,12)；
(2)cs15°＋sin15°；
(3)eq \f (1,sin10°)－eq \f (\r(3),sin80°)；
(4)3eq \r(15)sinx＋3eq \r(5)csx.
【解析】 (1)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)sin\f (π,12)－\f (\r(3),2)cs\f (π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f (π,12)cs\f (π,3)－cs\f (π,12)sin\f (π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,12)－\f (π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)))＝－2sineq \f (π,4)＝－eq \r(2).
(2)cs15°＋sin15°＝eq \r(2)(cs45°cs15°＋sin45°sin15°)＝eq \r(2)cs(45°－15°)＝eq \r(2)×eq \f (\r(3),2)＝eq \f (\r(6),2).
(3)原式＝eq \f (cs10°－\r(3)sin10°,sin10°cs10°)＝eq \f (2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)cs10°－\f (\r(3),2)sin10°)),sin10°cs10°)
＝eq \f (4sin30°cs10°－cs30°sin10°,2sin10°cs10°)
＝eq \f (4sin30°－10°,sin20°)＝4.
(4)3eq \r(15)sinx＋3eq \r(5)csx＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),2)sinx＋\f (1,2)csx))＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinxcs\f (π,6)＋csxsin\f (π,6)))＝6eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6))).
归纳点拨
对asinx＋bcsx化简时，注意辅助角φ的值的确定和函数名的对应．
对点训练
1．若eq \r(3)sinx＋csx＝eq \f (2,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (7π,6)))＝__________.
【答案】±eq \f (\r(2),4)
【解析】由eq \r(3)sinx＋csx＝eq \f (2,3)，得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝eq \f (2,3)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝eq \f (1,3)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝±eq \f (2\r(2),3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝±eq \f (\r(2),4)，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (7π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f (π,6)))＝±eq \f (\r(2),4).
考点十四 角的变换
【例14】 (1)已知锐角α，β满足csα＝eq \f (2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f (3,5)，则sinβ的值为( )
A．eq \f (2\r(5),5) B．eq \f (\r(5),5) C．eq \f (2\r(5),25) D．eq \f (\r(5),25)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－α))＝eq \f (\r(3),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－2α))的值为________．
[思路引导] (1)用α、α－β表示β→求α、α－β的三角函数值→代入公式求解．
(2)用eq \f (π,6)－α表示eq \f (5π,6)－2α→利用二倍角公式求值．
【答案】(1)A (2)－eq \f (1,3)
【解析】(1)∵α是锐角，β是锐角，csα＝eq \f (2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f (3,5)，∴sinα＝eq \f (\r(5),5)，cs(α－β)＝eq \f (4,5)，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝eq \f (\r(5),5)×eq \f (4,5)－eq \f (2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (3,5)))＝eq \f (2\r(5),5).故选A．
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－2α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－2α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－α))))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),3)))2－1＝－eq \f (1,3).
归纳点拨
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
对点训练
1．已知tan(α＋β)＝1，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝eq \f (1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f (π,3)))的值为( )
A．eq \f (2,3) B．eq \f (1,2) C．eq \f (3,4) D．eq \f (4,5)
【答案】B
【解析】taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f (π,3)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))))＝
eq \f (tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3))))＝eq \f (1－\f (1,3),1＋1×\f (1,3))＝eq \f (1,2).故选B．
2．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝eq \f (1,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)＋2α))＝( )
A．－eq \f (7,8)B．－eq \f (1,4)
C．eq \f (1,4) D．eq \f (7,8)
【答案】A
【解析】cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)＋2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－2α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)－2α))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))))＝－eq \f (7,8).故选A．
考点十五 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例15】(1) (多选)下列四个函数中，以π为周期且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增的偶函数为( )
A．y＝cs|2x|B．y＝|tanx|
C．y＝sin|x|D．y＝lg|sinx|
(2)函数f (x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (π,3)＋φ))＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝__________，f (x)图象的对称中心为__________．
【答案】(1)BD (2)eq \f (5π,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)＋\f (kπ,2)，0))，k∈Z
【解析】(1)若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，则2x∈(0，π)，显然函数y＝cs|2x|在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递减，故A不符合题目要求；将函数y＝tanx在x轴下方的图象“翻折”到x轴的上方(x轴上方的图象保持不变)，即可得到函数y＝f (x)＝|tanx|的图象，显然函数y＝f (x)＝|tanx|的周期为π，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增，又f (－x)＝|tan(－x)|＝|tanx|＝f (x)，所以y＝f (x)＝|tanx|为偶函数，所以B符合题目要求；先作出y＝sinx在[0，＋∞)上的图象，再作出其关于y轴的对称图象，即可得到函数y＝sin|x|的图象，通过图象(图略)可知函数y＝sin|x|不是周期函数，所以C不符合题目要求；将函数y＝sinx在x轴下方的图象“翻折”到x轴的上方(x轴上方的图象保持不变)，即可得到函数y＝|sinx|的图象，易知函数y＝|sinx|是周期为π的偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增，所以函数y＝g(x)＝lg|sinx|(x≠kπ，k∈Z)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上单调递增，且g(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|＝g(x)，g(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|＝g(x)，所以D符合题目要求．故选BD．
(2)∵f (x)为偶函数，
∴－eq \f (π,3)＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ，k∈Z，得φ＝eq \f (5π,6)＋kπ，k∈Z.
又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f (5π,6).
∴f (x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f (π,2)))＝3cs2x.
由2x＝eq \f (π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f (π,4)＋eq \f (kπ,2)，k∈Z，
∴f (x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)＋\f (kπ,2)，0))，k∈Z.
归纳点拨
(1)三角函数周期的一般求法
①公式法．
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期．
(2)对于可化为f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或f (x)＝Acs(ωx＋φ))形式的函数，如果求f (x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或令ωx＋φ＝\f (π,2)＋kπk∈Z))，求x即可．
(3)对于可化为f (x) ＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f (x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x即可．
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)．
对点训练
1．已知函数f (x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)为奇函数，且存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，使得f (x0)＝2，则φ的一个可能取值为( )
A．eq \f (5π,6) B．eq \f (π,3) C．－eq \f (π,6) D．－eq \f (2π,3)
【答案】C
【解析】∵f (x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)＋cs(2x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f (π,6)))为奇函数，∴φ＋eq \f (π,6)＝kπ(k∈Z)，可得φ＝kπ－eq \f (π,6)(k∈Z)，故排除B、D选项．对于A，当φ＝eq \f (5π,6)时，f (x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))时，2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (2π,3)))，f (x)<0，不符合题意．对于C，当φ＝－eq \f (π,6)时，f (x)＝2sin2x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)))＝2sineq \f (π,2)＝2，满足题意．故选C．
2． (多选)已知函数f (x)＝sinxcsx＋eq \f (\r(3),2)(1－2sin2x)，则有关函数f (x)的说法正确的是( )
A．f (x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，0))对称
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)的图象关于直线x＝eq \f (π,6)对称
D．f (x)的最大值为eq \r(3)
【答案】AB
【解析】由题可知f (x)＝eq \f (1,2)sin2x＋eq \f (\r(3),2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f (π,3))).当x＝eq \f (π,3)时，2x＋eq \f (π,3)＝π，故函数f (x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，0))对称，故A正确；函数f (x)的最小正周期T＝eq \f (2π,2)＝π，故B正确；当x＝eq \f (π,6)时，2x＋eq \f (π,3)＝eq \f (2π,3)，所以函数f (x)的图象不关于直线x＝eq \f (π,6)对称，故C错误；函数f (x)的最大值为1，故D错误．
考点十六 求三角函数的单调区间
【例16】 (1)已知函数f (x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，－\f (π,6)))上单调递减
B．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (π,12)))上单调递增
C．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))上单调递减
D．f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (7π,12)))上单调递增
(2)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－\f (1,2)x))，x∈[－2π，2π]的单调递减区间是__________．
【答案】(1)C (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,3)，\f (5π,3)))
【解析】(1)由二倍角公式可知f (x)＝cs2x－sin2x＝cs2x.对于A选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，－\f (π,6)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f (π,3)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，－\f (π,6)))上单调递增，所以不正确；对于B选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (π,12)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，\f (π,6)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (π,12)))上不单调，所以不正确；对于C选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (2π,3)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))上单调递减，所以正确；对于D选项，因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (7π,12)))，所以2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，\f (7π,6)))，故函数f (x)＝cs2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,4)，\f (7π,12)))上不单调，所以不正确．故选C．
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－\f (1,2)x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)x－\f (π,3))).由－eq \f (π,2)＋2kπ≤eq \f (1,2)x－eq \f (π,3)≤eq \f (π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f (π,3)＋4kπ≤x≤eq \f (5π,3)＋4kπ(k∈Z)．故在[－2π，2π]上的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,3)，\f (5π,3))).
归纳点拨
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
对点训练
1．设函数f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－2x))，则f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))上的单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,6))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,3)，\f (π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,6)，\f (π,2)))
【答案】D
【解析】由已知f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (π,3)))，2kπ≤2x－eq \f (π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，kπ＋eq \f (π,6)≤x≤kπ＋eq \f (2π,3)，k∈Z，又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，∴单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,6)，\f (π,2))).
2．已知f (x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,3)))－1(ω>0)，若f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,6)，\f (π,4)))上单调递增，则ω的取值范围为__________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (2,3)))
【解析】因为f (x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,3)))－1＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f (2π,3)))，f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,6)，\f (π,4)))上单调递增，所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ω×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,6)))＋\f (2π,3)≥0，,2ω×\f (π,4)＋\f (2π,3)≤π，,ω>0，))解得0<ω≤eq \f (2,3).
一、选择题
1．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f (k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f (k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么( )
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
【答案】B
【解析】由于M中，x＝eq \f (k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq \f (k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
2．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1,2)，y))，则sinα·tanα等于( )
A．－eq \f (\r(3),3)B．±eq \f (\r(3),3)
C．－eq \f (3,2)D．±eq \f (3,2)
【答案】C
【解析】由|OP|2＝eq \f (1,4)＋y2＝1，得y2＝eq \f (3,4)，y＝±eq \f (\r(3),2).当y＝eq \f (\r(3),2)时，sinα＝eq \f (\r(3),2)，tanα＝－eq \r(3)，此时sinα·tanα＝－eq \f (3,2).当y＝－eq \f (\r(3),2)时，sinα＝－eq \f (\r(3),2)，tanα＝eq \r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq \f (3,2).综上sinα·tanα＝－eq \f (3,2).
3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )
A．1B．4
C．1或4D．2或4
【答案】C
【解析】设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则l＋2r＝6，S＝eq \f (1,2)lr＝2，解得r＝2，l＝2或r＝1，l＝4，故α＝eq \f (l,r)＝1或4，故选C．
4．已知角α与角β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若角α的终边与角β的终边关于x轴对称，则下列式子一定成立的是( )
A．sinα＝sinβB．sinα＝csβ
C．csα＝csβD．csα＝sinβ
【答案】C
【解析】由角α的终边与角β的终边关于x轴对称，知α＋β＝2kπ，k∈Z，故csα＝csβ，sinα＝－sinβ，故选C．
5．已知角α的终边过点P(sin1180°，cs1180°)，则cs(3α＋60°)＝( )
A．eq \f (\r(3),2) B．eq \f (1,2)
C．1D．0
【答案】A
【解析】设O为坐标原点，由题意知|OP|＝eq \r(sin21180°＋cs21180°)＝1，
∴sinα＝eq \f (cs1180°,|OP|)＝cs(100°＋3×360°)＝cs100°＝－sin10°＝sin(－10°)，
csα＝eq \f (sin1180°,|OP|)＝sin(100°＋3×360°)＝sin100°＝cs10°＝cs(－10°)，
∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cs(3α＋60°)＝cs(－30°＋3k·360°＋60°)＝cs30°＝eq \f (\r(3),2).故选A．
6．(2022·山东济南外国语学校模拟)下列结论中错误的是( )
A．若0<α
C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝eq \f (4,5)
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
【答案】C
【解析】若0<α
A．－eq \f (5,13)B．－eq \f (12,13)
C．eq \f (5,13) D．eq \f (12,13)
【答案】C
【解析】由三角函数的定义可得csα＝eq \f (－5,\r(－52＋－122))＝－eq \f (5,13)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)＋α))＝－csα＝eq \f (5,13).
8．已知tanα＝－eq \f (1,2)，eq \f (π,2)<α<π，则sinα＝( )
A．eq \f (2\r(5),5)B．－eq \f (\r(5),5)
C．－eq \f (2\r(5),5) D．eq \f (\r(5),5)
【答案】D
【解析】由tanα＝eq \f (sinα,csα)＝－eq \f (1,2)，得csα＝－2sinα.又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝eq \f (1,5).因为eq \f (π,2)<α<π，所以sinα＝eq \f (\r(5),5).故选D．
9．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝eq \f (1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－α))＝( )
A．eq \f (1,3)B．－eq \f (1,3)
C．eq \f (2\r(2),2)D．－eq \f (\r(2),3)
【答案】B
【解析】由题意知，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝－eq \f (1,3).故选B．
10．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f (sinα,\r(1－sin2α))＋eq \f (\r(1－cs2α),csα)的值等于( )
A．2B．－2
C．1D．0
【答案】D
【解析】eq \f (sinα,\r(1－sin2α))＋eq \f (\r(1－cs2α),csα)＝eq \f (sinα,|csα|)＋eq \f (|sinα|,csα).因为α的终边在直线x＋y＝0上，所以α是第二或第四象限角，sinα与csα异号，所以原式＝0.故选D．
11．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－3，－4)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))的值为( )
A．－eq \f (24,7)B．－7
C．eq \f (24,7) D．eq \f (17,31)
【答案】B
【解析】因为角α的终边过点P(－3，－4)，所以tanα＝eq \f (4,3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,4)))＝eq \f (tanα＋1,1－tanα)＝eq \f (\f (4,3)＋1,1－\f (4,3))＝－7，故选B．
12． eq \f (\r(1－sin270°),\r(3)－tan20°)＝( )
A．4 B．eq \f (\r(3),2) C．eq \f (2\r(3),3) D．eq \f (1,4)
【答案】D
【解析】eq \f (\r(1－sin270°),\r(3)－tan20°)＝eq \f (cs70°·cs20°,\r(3)cs20°－sin20°)＝eq \f (sin20°·cs20°,2sin60°－20°)＝eq \f (\f (1,2)sin40°,2sin40°)＝eq \f (1,4).故选D．
13．设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \f (4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,3)))的值为( )
A．eq \f (12,25) B．eq \f (24,25) C．－eq \f (24,25) D．－eq \f (12,25)
【答案】B
【解析】因为α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \f (4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6))))＝eq \f (3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝2×eq \f (3,5)×eq \f (4,5)＝eq \f (24,25)，故选B．
14．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝eq \f (3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))＝( )
A．－eq \f (24,25) B．eq \f (24,25) C．－eq \f (7,25) D．eq \f (7,25)
【答案】D
【解析】解法一：因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝eq \f (3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))
＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3,5)))2＝eq \f (7,25).
解法二：因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)＋θ))＝eq \f (3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2π,3)＋2θ))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3,5)))2－1＝－eq \f (7,25).因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)π＋2θ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋\f (π,6)＋2θ))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋2θ))＝eq \f (7,25).
15．锐角α，β满足csα＝eq \f (12,13)，
cs(2α＋β)＝eq \f (3,5)，那么sin(α＋β)＝( )
A．eq \f (63,65) B．eq \f (53,65) C．eq \f (43,65) D．eq \f (33,65)
【答案】D
【解析】由于α，β均为锐角，cs(2α＋β)＝eq \f (3,5)，csα＝eq \f (12,13)，所以sinα＝eq \f (5,13)，sin(2α＋β)＝eq \f (4,5)，所以sin(α＋β)＝sin[(2α＋β)－α]＝sin(2α＋β)csα－cs(2α＋β)sinα＝eq \f (4,5)×eq \f (12,13)－eq \f (3,5)×eq \f (5,13)＝eq \f (33,65)，故选D．
16．若tanθ＝－2，则eq \f (sinθ1＋sin2θ,sinθ＋csθ)＝( )
A．－eq \f (6,5)B．－eq \f (2,5)
C．eq \f (2,5) D．eq \f (6,5)
【答案】C
【解析】eq \f (sinθ1＋sin2θ,sinθ＋csθ)＝eq \f (sinθsin2θ＋cs2θ＋2sinθ·csθ,sinθ＋csθ)
＝eq \f (sinθsinθ＋csθ2,sinθ＋csθ)＝sinθ(sinθ＋csθ)＝sin2θ＋sinθ·csθ
＝eq \f (sin2θ＋sinθ·csθ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f (tan2θ＋tanθ,tan2θ＋1)＝eq \f (－22－2,－22＋1)＝eq \f (2,5).故选C．
二、解答题
17．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq \f (3,csα)的值．
【解析】 设α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则r＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|.
当k>0时，r＝eq \r(10)k，所以sinα＝eq \f (－3k,\r(10)k)＝－eq \f (3,\r(10))，eq \f (1,csα)＝eq \f (\r(10)k,k)＝eq \r(10)，
所以10sinα＋eq \f (3,csα)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0；
当k<0时，r＝－eq \r(10)k，所以sinα＝eq \f (－3k,－\r(10)k)＝eq \f (3,\r(10))，eq \f (1,csα)＝eq \f (－\r(10)k,k)＝－eq \r(10)，
所以10sinα＋eq \f (3,csα)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
综上，10sinα＋eq \f (3,csα)＝0.
18．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB．
【解析】 (1)设圆心角是θ，半径是r，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝10，,\f (1,2)θ·r2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4，,θ＝\f (1,2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,θ＝8.))(舍去)．
∴扇形的圆心角为eq \f (1,2).
(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝2.))
∴圆心角α＝eq \f (l,r)＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 raD．
∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，
∴AB＝2sin1(cm)．
19． (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (7π,6)))＝eq \f (1,3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))的值；
(2)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，eq \r(3))，求eq \f (tan－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)＋α)),csπ－αsin－π－α)的值．
【解析】 (1)解法一：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (7π,6)))＝eq \f (1,3)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝－eq \f (1,3).
而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (2π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)＋\f (π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝－eq \f (1,3).
解法二：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (5π,3)))－2π))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f (π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,6)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (7π,6)＋α))＝－eq \f (1,3).
(2)∵角α的终边经过点P(－3，eq \r(3))，
∴r＝|OP|＝eq \r(－32＋\r(3)2)＝2eq \r(3)，
∴sinα＝eq \f (1,2)，csα＝－eq \f (\r(3),2)，tanα＝－eq \f (\r(3),3).
∴原式＝eq \f (－tanα＋csα,－csα·sinα)＝eq \f (1,cs2α)－eq \f (1,sinα)＝eq \f (1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (\r(3),2)))2)－eq \f (1,\f (1,2))＝－eq \f (2,3).
20．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，满足eq \r(6)sinα＋eq \r(2)csα＝eq \r(3).
(1)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,12)))的值．
【解析】 (1)由eq \r(6)sinα＋eq \r(2)csα＝eq \r(3)，
得2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(3),2)sinα＋\f (1,2)csα))＝eq \r(3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝eq \f (\r(6),4).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,3)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))>0，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6))))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(6),4)))2)＝eq \f (\r(10),4).
(2)由(1)可得cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))
＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (\r(6),4)))2＝eq \f (1,4)，sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))＝2×eq \f (\r(10),4)×eq \f (\r(6),4)＝eq \f (\r(15),4).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f (π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))－\f (π,4)))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))cseq \f (π,4)＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f (π,6)))sineq \f (π,4)＝eq \f (1,4)×eq \f (\r(2),2)＋eq \f (\r(15),4)×eq \f (\r(2),2)＝eq \f (\r(30)＋\r(2),8).
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f (l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f (π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f (1,2)lr＝eq \f (1,2)|α|r2
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f (π,2)－α
eq \f (π,2)＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
csα
csα
余弦
csα
－csα
csα
－csα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限
函数
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠))))
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,2)，k∈Z))))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f (π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f (π,2)))(k∈Z)；
减区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f (π,2)，2kπ＋\f (3π,2)))
(k∈Z)
减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
增区间eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f (π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,2)))(k∈Z)
对称
中心
(kπ，0)(k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,2)，0))
(k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (kπ,2)，0))(k∈Z)
对称轴
x＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)
x＝kπ
(k∈Z)
无
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