【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）03第三章 函数的概念与性质-讲义

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1．函数的概念
2．同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同．
(2)结论：这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
5．常用结论
（1）直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
（2）判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
6．函数的定义域
(1)求定义域的步骤
①写出使函数式有意义的不等式(组)．
②解不等式(组)．
③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
(2)基本初等函数的定义域
①整式函数的定义域为R．
②分式函数中分母不等于0．
③偶次根式函数被开方式大于或等于0．
④一次函数、二次函数的定义域均为R．
⑤函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．
⑥指数函数的定义域为R．
⑦对数函数的定义域为(0，＋∞)．
7．函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|y≥\f(4ac－b2,4a)))；当a<0时，值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|y≤\f(4ac－b2,4a)))．
(3)y＝eq \f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝lgax(a>0且a≠1)的值域是R．
7．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
8．函数的最值
9．常用结论
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
10．增函数(减函数)的等价变形
(1)∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．
(2)∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)
－f(x2)]<0⇔eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
11．函数的奇偶性
12．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
考点一 函数的概念
【例1】下列函数f(x)，g(x)表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝3x，g(x)＝lg3x
B．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
C．f(x)＝x，g(x)＝eq \f(x2,x)
D．f(x)＝2lgx，g(x)＝lg2x
归纳点拨
(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，
即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．两个函数的定义域和对应关系分别相同时，两函数是同一个函数．
对点训练
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是__________．(填序号)
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；
③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x)．
考点二 函数的解析式
【例2】根据下列条件求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x)－2f(x－1)＝2x＋5，求f(x)的解析式；
(2)已知函数f(x)满足f(csx－1)＝cs2x－1，求f(x)的解析式；
(3)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq \f(1,x4)，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．
归纳点拨
对点训练
1．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
2．(2023·江苏徐州期中)若f(1－2x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，那么feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))等于( )
A．8 B．3 C．1 D．30
3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \r(x)－1，则f(x)的解析式为__________．
考点三 分段函数求值问题
【例3】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x<1，,fx－3，x≥1，))则f(9)＝( )
A．2 B．9 C．65 D．513
归纳点拨
求解分段函数求值问题的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定所求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
对点训练
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f[f(a)]＝2，则a的值为__________．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<1，,2x＋1，x≥1，))则feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(3,2)))))＝( )
A．0 B．2 C．4 D．6
考点四 分段函数与方程、不等式问题
【例4】若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0A．－2 B．0
C．2
归纳点拨
解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略
(1)分类讨论：解由分段函数构成的方程、不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨
论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可．
(2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题．
对点训练
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是__________．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≤2，,lg2x－1，x>2，))则f[f(5)]＝________，不等式f(x＋2)＋f(x)>f(2)的解集为__________．
考点五 求给定解析式的函数的定义域
【例5】 (1)函数f(x)＝eq \r(－x2＋9x＋10)－eq \f(2,lnx－1)的定义域为( )
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
(2)函数y＝eq \f(1,\r(lg eq \s\d8(\f(1,2)) 2－x))＋eq \f(1,2x－3)的定义域为________．
归纳点拨
求函数定义域的策略
对点训练
1．函数f(x)＝eq \r(x2－5x＋6)的定义域为( )
A．{x|x≤2或x≥3} B．{x|x≤－3或x≥－2}
C．{x|2≤x≤3} D．{x|－3≤x≤－2}
考点六 求抽象函数的定义域
【例6】已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则f(x)的定义域是________．
对点训练
1．已知函数f(x)的定义域为(0,1)，则f(2x＋1)的定义域是________．
2．已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则f(1－x)的定义域是________．
3．若函数f(x)的定义域为[－1,2]，则函数g(x)＝eq \f(fx－2,\r(x－1))的定义域是( )
A．[1,4] B．(1,4]
C．[1,2] D．(1,2]
考点七 求抽象函数的定义域
【例7】求下列函数的值域：
(1)y＝eq \f(5x－1,4x＋2)，x∈[－3，－1]；
(2)y＝2x＋eq \r(1－2x)；
(3)y＝x＋4＋eq \r(9－x2)；
(4)y＝eq \f(2x2＋4x－7,x2＋2x＋3)；
(5)y＝lg3x＋lgx3－1．
归纳点拨
求函数值域的一般方法及注意点
(1)求函数值域常用的方法有：分离常数法、反解法、配方法、不等式法、单调性法、换元法、数形结合法、导数法．
(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．
(3)判别式法适用于y＝eq \f(ax2＋bx＋c,px2＋qx＋r)(ap≠0，x∈R)类型(即f(x)是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x值，还要注意对二次项系数是否为零进行讨论)，但若给定x一个范围，则此方法不再适用．
对点训练
1．求下列函数的值域：
(1)y＝eq \f(3x＋1,x－2)；(2)y＝eq \f(2x2－x＋1,2x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)))；(3)y＝eq \f(2－sinx,2＋sinx)；(4)y＝|x＋1|＋|x－2|．
考点八 确定函数的单调性(区间)
【例8】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋csx D．y＝eq \r(x2＋x－2)
归纳点拨
(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
(2)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法．
(3)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
对点训练
1．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是__________．
3．试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
考点九 求函数的最值
【例9】 (1)设函数f(x)＝eq \f(2x,x－2)在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq \f(m2,M)＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,8) C．eq \f(3,2) D．eq \f(8,3)
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．
(3)函数y＝eq \r(x)－x(x≥0)的最大值为______．
(4)函数f(x)＝3x＋eq \f(2,x)，x∈[1,2]的最大值为________．
归纳点拨
求函数最值的五种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
对点训练
1．函数y＝eq \f(2－x,x＋1)，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－1,2)
C．[1,2) D．[－1,2)
2．已知函数f(x)＝x＋eq \r(1－2x)，则函数f(x)有( )
A．最小值eq \f(1,2)，无最大值 B．最大值eq \f(1,2)，无最小值
C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f(x)的最小值是__________．
考点十 函数奇偶性的应用
【例10】若f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝a＋2csx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)))＝( )
A．－3 B．1 C．3 D．2＋eq \r(3)
(2)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__________．
归纳点拨
(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值．
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
对点训练
1．已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
2．若f(x)＝lneq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝__________，b＝__________．
考点十一 函数的周期性
【例11】 (1)函数f(x)＝lg|sinx|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105．5)＝( )
A．－2．5 B．2．5
C．5．5 D．－5．5
归纳点拨
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
对点训练
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(lg210)的值为( )
A．－eq \f(2,5) B．eq \f(2,5) C．－eq \f(3,5) D．eq \f(3,5)
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当x∈[－3,3)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋22，－3≤x<－1，,x，－1≤x<3，))则f(4)＝__________，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＋f(2023)＝__________．
考点十二 函数的对称性
【例12】 (多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于x＝2对称
B．f(x)的图象关于(2,0)对称
C．f(x)的最小正周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
归纳点拨
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
对点训练
1．已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(π)B．f(π)C．f(eq \r(2))D．f(eq \r(2))2．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2022)＝__________．
一、选择题
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,x2，x>0，))若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．4或－2 D．2或－2
2．若函数f(x)满足f(1－lnx)＝eq \f(1,x)，则f(2)等于( )
A．eq \f(1,2) B．e C．eq \f(1,e) D．－1
3．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ex－1，x<2，,lg3x2－1，x≥2，))则不等式f(x＋1)>2的解集为( )
A．(－2,4) B．(0,1)∪(eq \r(10)－1，＋∞)
C．(1,2)∪(eq \r(10)，＋∞) D．(2,3)∪(eq \r(10)＋1，＋∞)
4．函数f(x)＝eq \r(1－4x2)＋ln(3x－1)的定义域为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
5．函数y＝eq \f(1,2x)＋lg eq \s\d8(\f(1,2)) x，x∈[1,2)的值域为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4)))
6．若函数f(x)＝x2－6x－16的定义域为[0，m]，值域为[－25，－9]，则实数m的取值范围是( )
A．[3,6] B．[3,7]
C．[6,7] D．{7}
7．函数f(x)＝|x－1|＋3x的单调递增区间是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
8．已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
二、解答题
9．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)．当－1≤x≤0时，f(x)＝－x．
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①∀x∈I，都有f(x)≤M
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
①∀x∈I，都有f(x)≥M
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
方法
条件
思路
待定系
数法
已知函数类型
①设出含有待定系数的函数解析式
②将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数
换元法
形如y＝
f[g(x)]的函数
①令t＝g(x)，求出x＝φ(t)，换元注意给出新元t的取值范围
②将x＝φ(t)代入表达式求出f(t)
③将t换成x得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围
配凑法
形如f[g(x)]＝F(x)的函数
①由已知条件f[g(x)]＝F(x)将F(x)改写成关于g(x)的表达式
②以x替代g(x)，得f(x)的解析式，同时注意给出x的取值范围
构造法
已知关于f(x)
与f(－x)或f(eq \f(1,x))的表达式
①把x换成－x或eq \f(1,x)，构造出另外一个等式，与原等式组成方程组
②通过解方程组求出f(x)
类型
策略
具体函数
已知函数的解析式，构建使解析式有意义的不等式(组)求解
抽象函数
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域
实际问题
既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求