2023-2024学年福建省泉州市九年级数学第一学期期末达标测试试题

这是一份2023-2024学年福建省泉州市九年级数学第一学期期末达标测试试题，共16页。试卷主要包含了定义新运算，一元二次方程的解是等内容，欢迎下载使用。

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，已知，直线与直线相交于点，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在圆，平行四边形、函数的图象、的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．如右图要测量小河两岸相对的两点、的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽为（ ）
A．米B．米C．米D．米
4．二次函数经过平移后得到二次函数，则平移方法可为（ ）
A．向左平移1个单位，向上平移1个单位
B．向左平移1个单位，向下平移1个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移1个单位，向上平移1个单位
5．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A．B．C．D．
6．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．－1B．－1或C．D．1或
7．一元二次方程的解是（ ）
A．5或0B． 或0C．D．0
8．如图，一次函数y＝ax+a和二次函数y＝ax2的大致图象在同一直角坐标系中可能的是（ ）
A．B．
C．D．
9．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在矩形中，，点在边上，，则BE=__________；若交于点，则的长度为________．
12．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是5”的概率是___________．
13．已知1是一元二次方程的一个根，则p=_______.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=1．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______.
15．如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点.若，则的面积为__________．
16．边心距为的正六边形的半径为_______．
17．已知两个相似三角形与的相似比为1．则与的面积之比为________．
18．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为__．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为元件，每销售一件需缴纳平台推广费元，该款小电器每天的销售量（件）与每件的销售价格（元）满足函数关系：．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于元件且不得高于元件．
（1）写出每天的销售利润（元）与销售价格（元）的函数关系式；
（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
20．（6分）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸袋（为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含的代数式表示．
（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付元，求关于的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？
21．（6分）如图为一机器零件的三视图．
（1）请写出符合这个机器零件形状的几何体的名称；
（2）若俯视图中三角形为正三角形，那么请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积（单位：cm2）
22．（8分）解方程：
（1）x2-3x+1=1；
（2）x（x+3）-（2x+6）=1．
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．
24．（8分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．
25．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
26．（10分）如图，已知中，，是的中点，．
求证：四边形是菱形．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据平行线分线段成比例的性质逐一分析即可得出结果．
【详解】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD，则，所以B选项的结论错误；
C、由CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥EF，则，所以D选项的结论正确．
故选：B．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
2、C
【分析】根据轴对称图形又是中心对称图形的定义和函数图象，可得答案．
【详解】解：圆是轴对称图形又是中心对称图形；
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
函数y=x2的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；的图象是中心对称图形，是轴对称图形；
故选：C．
本题考查了反比例函数和二次函数的图象，利用了轴对称，中心对称的定义．
3、A
【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ACP中，tan∠ACP=
∴米
故选A．
此题考查是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键．
4、D
【分析】解答本题可根据二次函数平移的特征，左右平移自变量x加减（左加右减），上下平移y加减（下加上减），据此便能得出答案．
【详解】由得
平移方法可为向右平移1个单位，向上平移1个单位
故答案为：D．
本题考查了二次函数的平移问题，掌握次函数的平移特征是解题的关键．
5、D
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【详解】解：∵与都是所对的圆周角，
∴．
故选D．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6、B
【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：当x>0时，有，解得， (舍去)，
x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．
故选B.
此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．
7、B
【解析】根据因式分解法即可求出答案．
【详解】∵5x2=x，
∴x(5x﹣1)=0，
∴x=0或x．
故选：B．
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
8、B
【分析】根据a的符号分类，当a＞0时，在A、B中判断一次函数的图象是否相符；当a＜0时，在C、D中判断一次函数的图象是否相符．
【详解】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2的开口向上，一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限，A错误，B正确；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2的开口向下，一次函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，C错误，D错误．
故选：B．
此题主要考查了二次函数与一次函数的图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．
9、A
【解析】试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P（一次就能打该密码）＝，故答案选A.
考点：概率.
10、A
【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A．
考点：抛物线的平移规律．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、5
【分析】根据矩形的性质得出∠DAE=∠AEB，再由AB和∠DAE的正切值可求出BE，利用勾股定理计算出AE的长，再证明△ABE∽△FEA，根据相似三角形的性质可得，代入相应线段的长可得EF的长，再在在Rt△AEF中里利用勾股定理即可算出AF的长，进而得到DF的长．
【详解】解：∵点在矩形的边上，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴.
∵
∴△ABE∽△FEA，
∴，即，解得.
∵.
∴.
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握相似三角形的判定方法和性质定理．相似三角形对应边的比相等，两个角对应相等的三角形相似．
12、
【分析】“正面朝上的数字是5”的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【详解】解：∵抛掷六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子共有6种结果，其中“正面朝上的数字是5”的只有1种，
∴“正面朝上的数字是5”的概率为，
故答案为：．
此题主要考查了概率公式的应用，概率等于所求情况数与总情况数之比．
13、2
【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义，将代入方程中，即可得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵1是一元二次方程的一个根
∴
∴
故答案是：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14、1
【分析】三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．
【详解】解：阴影部分的面积为：1×1÷1---=1-．
故答案为1-．
本题主要考查了扇形的面积计算，关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．
15、
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【详解】∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，
即AD= AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，
∵AB=CD=6
∴DE=DC-EC=AB-EC=6-x，AD=CD×tan∠ACD=×6=2，
根据勾股定理得：x2=（6-x）2+（2 ）2，
解得：x=4，
∴EC=4，
则S△AEC=EC•AD=4
故答案为：4
此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
16、8
【分析】根据正六边形的性质求得∠AOH=30°，得到AH=OA，再根据求出OA即可得到答案.
【详解】如图，正六边形ABCDEF，边心距OH=，
∵∠OAB=60°，∠OHA=90°，
∴∠AOH=30°，
∴AH=OA，
∵，
∴,
解得OA=8，
即该正六边形的半径为8，
故答案为：8.
此题考查正六边形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，正确理解正六边形的性质是解题的关键.
17、2
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为1，
∴这两个三角形的面积之比为2．
故答案为：2．
此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
18、
【解析】试题解析：如图：
连接OA交BC于D，连接OC，
是等边三角形，是外心,
故答案为
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）当时，w有最大值，最大值为750元
【分析】（1）直接利用“总利润=每件的利润×销量”得出函数关系式；
（2）由（1）中的函数解析式，将其配方成顶点式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）依题意得：
（2）
∵
∴当，w随x的增大而减小
∴当时，w有最大值，
最大值为：元．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数关系式及熟练掌握二次函数的性质．
20、（1）每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；（2）购买小红旗袋恰好配套；（3）需要购买国旗图案贴纸和小红旗各48，60袋，总费用元．
【解析】（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有，解得，检验后即可求解；
（2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有，解得；
（3）如果没有折扣，，国旗贴纸需要：张，小红旗需要：面，则袋，袋，总费用元.
【详解】（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有，
解得，
经检验是方程的解，
∴每袋小红旗为元；
答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；
（2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有，
解得，
答：购买小红旗袋恰好配套；
（3）如果没有折扣，则，
依题意得，
解得，
当时，则，
即，
国旗贴纸需要：张，
小红旗需要：面，
则袋，袋，
总费用元．
本题考查分式方程，一次函数的应用，能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键.
21、（1）直三棱柱；（2）
【解析】试题分析：（1）有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体为三棱柱；
（2）根据正三角形一边上的高可得正三角形的边长，表面积=侧面积+2个底面积=底面周长×高+2个底面积．
试题解析：（1）符合这个零件的几何体是直三棱柱；
（2）如图，△ABC是正三角形，CD⊥AB，CD=2，，
在Rt△ADC中，，
解得AC=4，
∴S表面积=4×2×3+2××4×2 =(24+8)（cm2）.
22、（4）x4=，x2=；（2）x4=-3，x2=2．
【解析】试题分析：（4）直接利用公式法求出x的值即可；
（2）先把原方程进行因式分解，再求出x的值即可．
试题解析：（4）∵一元二次方程x2-3x+4=4中，a=4，b=-3，c=4，
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×4×4=3．
∴x=．
即x4=，x2=；
（2）∵因式分解得 （x+3）（x-2）=4，
∴x+3=4或x-2=4，
解得 x4=-3，x2=2．
考点：4．解一元二次方程-因式分解法；2．解一元二次方程-公式法．
23、（1）见解析；（2）2
【分析】(1)欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题．
【详解】(1)∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠PCB=∠A，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)∵CP=CA，
∴∠P=∠A，
∴∠COB=2∠A=2∠P，
∵∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∵OC=OA=2，
∴OP=2OC=4，
∴PC==2．
本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
24、解：（1）P（抽到2）= ．
（2）不公平，修改规则见解析
【详解】解：（1）P（抽到2）= ．
（2）根据题意可列表
从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种，
∴P（两位数不超过32）= ．
∴游戏不公平．
调整规则：
法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数不超过32的得5分；能使游戏公平
法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．
25、直线AD与⊙O相切，理由见解析
【分析】先由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而得出∠ABC+∠BAC=90°；接下来再由∠CAD=∠ABC，运用等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，再运用切线的判定即可求解.
【详解】直线AD与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC=90°．
∴直线AD与⊙O相切
本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系. 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
26、详见解析．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和等边三角形的判定定理推知△ACD为等边三角形，则可证平行四边形ACDE是菱形．
【详解】证明：∵AE∥CD，AC∥ED，
∴四边形ACDE是平行四边形．
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=CD，
∴平行四边形ACDE是菱形．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形ACDE是平行四边形是解决问题的关键．
2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
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32
33
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6
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