2023-2024学年北京市重点中学数学九年级第一学期期末质量监测试题

这是一份2023-2024学年北京市重点中学数学九年级第一学期期末质量监测试题，共18页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，若∽，相似比为，则与的周长比为等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．海南渔民从事海洋捕捞已有上千年历史，南海是海南渔民的“祖宗海”，目前海南共有约25万人从事渔业生产．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×106人B．25×104人C．2.5×104人D．2.5×105人
2．如图，△ABC的顶点在网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是( )
A．B．
C．D．
4．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EBB．DE=EBC．DE=DOD．DE=OB
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是：
A．5米B．6米C．6.5米D．7米
7．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cs∠AOB的值为（ ）
A．B．C． D．
8．如图，在▱ABCD 中，若∠A+∠C=130°，则∠D 的大小为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
9．如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．若∽，相似比为，则与的周长比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程2x2﹣6=0的解是_____．
12．北京时间2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约55000000年，那么55000000用科学记数法表示为_______．
13．圆锥的底面半径为6㎝，母线长为10㎝，则圆锥的侧面积为______cm2
14．已知方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x12+x22=_________．
15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2020次得到正方形，那点的坐标是__________．
16．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
17．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么__________．
18．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动．则A′C的取值范围为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）化简并求值： ，其中m满足m2-m-2=0.
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（6分）足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为本，销售单价为元.
（1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元？
22．（8分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少.
23．（8分） “早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？
24．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．
25．（10分）如图，四边形中，平分.
（1）求证：；
（2）求证：点是的中点；
（3）若，求的长.
26．（10分）一次函数y＝x+2与y＝2x﹣m相交于点M（3，n），解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.
【详解】25万人=2.5×105人.
故选D.
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2、A
【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．
【详解】解：如图作CD⊥AB于D,
CD=,AD=2,
tanA=,
故选A.
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3、C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：它的主视图是：
故选：C．
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是解题的关键.
4、D
【解析】解：连接EO.
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D.
5、A
【分析】根据二次函数图像的特点可得.
【详解】解：二次函数与轴有两个不同的交点，开口方向向上．
故选：A．
本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是二次函数的开口方向和与x轴的交点．
6、A
【分析】在，直接根据正弦的定义求解即可.
【详解】如图：
AB=13，作BC⊥AC，
∵
∴.
故小车上升了5米，选A.
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题.解决本题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造，在中解决问题.
7、B
【详解】
解：连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD=AD=，
OC=AC=，
∠OCD=90°．
则cs∠AOB=．故选B．
8、D
【解析】根据平行四边形对角相等,邻角互补即可求解.
【详解】解：在▱ABCD 中，∠A=∠C,∠A+∠D=180°,
∵∠A+∠C=130°，
∴∠A=∠C=65°,
∴∠D=115°,
故选D.
本题考查了平行四边形的性质,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键.
9、D
【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.
【详解】由题意可得，，所以，
故选D.
在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若，则说明点A的对应点为点，点B的对应点，点C的对应点为点.
10、B
【分析】根据相似三角形的性质：周长之比等于相似比解答即可.
【详解】解：∵∽，相似比为，∴与的周长比为.
故选：B.
本题考查的是相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x1=，x2=﹣
【解析】此题通过移项，然后利用直接开平方法解方程即可.
【详解】方程2x2﹣6=0，即x2=3，
开方得：x=±，
解得：x1=，x2=﹣，
故答案为：x1=，x2=﹣
此题主要考查了一元二次方程的解法—直接开平方法，比较简单.
12、
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为：5.5×1，
故答案为：5.5×1．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13、60π
【详解】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm1．
14、1．
【解析】试题解析：∵方程的两根为


故答案为1.
点睛：一元二次方程的两个根分别为

15、（-1，-1）
【分析】连接OB，根据图形可知，点B在以点O为圆心、、OB为半径的圆上运用，将正方形OABC绕点O逆时针依次旋转45°，可得点B的对应点坐标，根据图形及对应点的坐标发现是8次一个循环，进而得出结论．
【详解】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1,1），
连接OB，由勾股定理可得 ，由旋转的性质得：
将正方形OABC绕点O逆时针依次旋转45°，得：
，
∴，，，，…，可发现8次一循环，
∵，
∴点的坐标为,
故答案为．
本题考查了几何图形的规律探究，根据计算得出“8次一个循环”是解题的关键．
16、k≥-1
【解析】首先讨论当时，方程是一元一次方程，有实数根，当时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．
【详解】当时，方程是一元一次方程：，方程有实数根；
当时，方程是一元二次方程，
解得：且.
综上所述，关于的方程有实数根，则的取值范围是.
故答案为
考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略
这种情况.
17、
【分析】根据黄金分割的概念得到 ，把 代入计算即可．
【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，
∴
故答案为．
本题考查了黄金分割点的应用，理解黄金分割点的比例并会运算是解题的关键．
18、4cm≤A′C≤8cm
【分析】根据矩形的性质得到∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，当折痕EF移动时，点A’在BC边上也随之移动，由此得到：点E与B重合时，A′C最小，当F与D重合时，A′C最大，据此画图解答.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，
当点E与B重合时，A′C最小，
如图1所示：
此时BA′＝BA＝6cm，
∴A′C＝BC﹣BA′＝10cm﹣6cm＝4cm；
当F与D重合时，A′C最大，
如图2所示：
此时A′D＝AD＝10cm，
∴A′C＝＝8（cm）；
综上所述：A′C的取值范围为4cm≤A′C≤8cm．
故答案为：4cm≤A′C≤8cm．
此题考查折叠问题，利用了矩形的性质，解题中确定点E与F的位置是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、，原式=
【分析】根据分式的运算进行化简，再求出一元二次方程m2-m-2=0的解，并代入使分式有意义的值求解.
【详解】==，
由m2-m-2=0
解得，m1=2,m2=-1,
因为m=-1分式无意义，
所以m=2时，代入原式==.
此题主要考查分式的运算及一元二次方程的求解，解题的关键熟知分式额分母不为零.
20、（1）；（2）对称轴l与⊙C相交，见解析；（3）P（30，﹣2）或（41，100）
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）分∠ACP＝90°、∠CAP＝90°两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣11）2﹣，
∵抛物线经过点A（0，8），
∴8＝a（0﹣11）2﹣，
解得a＝，
∴抛物线为y＝＝；
（2）设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC＝∠AOB＝90°．
∵y＝＝0时，x1＝11，x2＝1．
∴A（0，8）、B（1，0）、C（11，0），
∴OA＝8，OB＝1，OC＝11，BC＝10；
∴AB＝＝＝10，
∴AB＝BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC＝∠EBC+90°＝∠OAB+90°，
∴∠EBC＝∠OAB，
∴，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴OB＝EC＝1．
设抛物线对称轴交x轴于F．
∵x＝11，
∴F（11，0），
∴CF＝11﹣11＝5＜1，
∴对称轴l与⊙C相交；
（3）由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，
①当∠ACP＝90°时，
则直线CP的表达式为：y＝2x﹣32，
联立直线和抛物线方程得，
解得：x＝30或11（舍去），
故点P（30，﹣2）；
当∠CAP＝90°时，
同理可得：点P（41，100），
综上，点P（30，﹣2）或（41，100）；
本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，正确表示出S△PAC=S△AQP+S△CQP是解题关键.
21、（1）（2）当x=52时，w有最大值为2640.
【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x-44）元，每天销售量减少10（x-44）本，所以y=300-10（x-44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x-40）（-10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．
【详解】（1）由题意得：y=300-10（x-44）=-10x+740，
每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故：44≤x≤52，
（2）w=（x-40）（-10x+740）=-10（x-57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．
此题考查二元一次函数的应用，二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，解题关键在于确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=−时取得．
22、（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是1；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）w＝（x﹣30）•y
＝（﹣x+60）（x﹣30）
＝﹣x2+30x+60x﹣1800
＝﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+1，
∵﹣1＜0，
当x＝45时，w有最大值，最大值是1．
（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，
解得x1＝40，x2＝50，
∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
23、（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元
【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y元，则每天售出（200+50y）千克，根据题意列出关于y的一元二次方程，求解方程即可.
【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为，根据题意得
解得，（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.
（2）设售价应降低元，则每天可售出千克
根据题意，得
整理得，，解得，
∵要减少库存
∴不合题意，舍去，∴
答：售价应降低3元.
本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键.
24、1
【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA＝OD，根据∠AOD＝60°可得△AOD为等边三角形，即OA＝AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．
【详解】解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝OD＝AD＝1，
答：OE的长度为1．
本题考查了矩形对角线的性质,利用矩形对角线相等是解题关键.
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；
（2）通过和相似得出∠MBD=∠MDB，在利用同角的余角相等得出∠A=∠ABM，由等腰三角形的性质可得结论；
（3）由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得.
【详解】解：（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴，
∴BD2=AD•CD
（2）证明：∵，
∴∠MBD=∠BDC，∠MBC=90°，
∵∠MDB=∠CDB，
∴∠MBD=∠MDB，
∴MB=MD，
∵∠MBD+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CBD，
∵∠CBD=∠A，
∴∠A=∠ABM，
∴MA=MB，
∴MA=MD，
即M为AD中点；
（3）∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD•CD，且CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
∴BC2=BD2-CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28
∴MC=，
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴，且MC=，
∴.
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
26、﹣1＜x≤3，见解析
【分析】根据已知条件得到2x﹣m≤x+2的解集为x≤3，求得不等式组的解集为﹣1＜x≤3，把解集在数轴上表示即可．
【详解】解：∵一次函数y＝x+2与y＝2x﹣m相交于点M（3，n），
∴2x﹣m≤x+2的解集为：x≤3，
不等式x+1＞0的解集为：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
把解集在数轴上表示为：
本题考查了一次函数与一元一次不等式，不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键．